空间几何-平行垂直证明高一

1、空间几何平行垂直证明专题训练知识点讲解、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1）利用某些平面图形的特性：如 平行四边形的对边互相平行2）利用三角形中位线性质3）利用空间平行线的传递性：m/a,m/b n a/b平行于同一条直线的两条直线互相平行4）利用直线与平面平行的性质定理:那么这条直线和交线平如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平5）利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.6）利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行 7）利冲肺直线打直线垂直的性质：在同一个平面

2、内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 r 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1）利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行2）利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面第1页共6页3）利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（二）平面与平面平行的证明 常见证明方法:1）利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a ? P 、b ? Pa n b = P口a 口b / a J2）利用某些空间几何体的特性：如

3、3）利用定义：两个平面没有公共点二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1）利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。2）看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90 ,则两直线互相垂直。3）利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。4）利用平面与平面垂直的性质推论:如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直第2页共6页C( 1 P 、 0( c P = la a otb c Pa _L lb _L l J =a _

4、L b 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于 i I 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂5） =a _L b 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于 i I 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂 TOC o 1-5 h z 直。ba _La I/7a a 卜= a_Lb/a/（二）b/a J直线与彳面盅直的证71）利用某些空间几何体的特性：如 长方体侧棱垂直于底面 等2）看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面

5、。3）利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。4）利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。5）利用常用结论：一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则钳直线也垂直于另一个平面。（三）平面与平面垂 0f p 1直的证 aa1）利用某些空间几何ala Jfa / /体的特性：如长方体侧面垂直于底面等2）看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），3)就说这连个平面互相垂直。3)利用平面与平面垂直的判定

6、定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。题型一：平行al P a 一 题型一：平行al P a 一 二I- 0MB （线线平行J线面平行n面面沙行）例1.如图，在直三棱柱 ABC-ABiCi中，E、F分别！ iAr、AC的中点j冲证：EF/平面 ABC第3页共6页（两种方法证明）方法一：方法例2.如图，正三棱柱ABC-AB中，D是BC的中点，求证：AB 平面ADG.（两种方法证明）V / ；方法一：方法二：3.如图，在底面为平彳T四边行的四棱锥 P-ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB平面AEC;（两 种方法证明）方法一：方法二：匚1-I4.如图，E、F、O分别为PA, PB ,

7、 AC的中点，G是OC的中点，求证：FG/平面BOE;（两 种方法证明）方法一：方法二：课后练习.已知空间四边形 ABCm，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA勺中点.求证：AC平面EFG.已知空间四边形 ABCm,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA勺中点.求证：EF平面BGH.已知在四棱锥P-ABCLfr, ABC师平行四边形，E为PC的中点，O为BD的中点.求证：OE平面 ADP.已知在四棱锥P-ABCLfr, ABC师平行四边形，E为PC的中点.求证：PA平面BDE.正方体ABCD -A1B1c1D1中，E,G分别是BCCD1中点.求证：EG平面BDD1B1.如图，在四棱锥

8、O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中证明：直线MN |平面OCD ;.在四棱锥P-ABCDK 底面四边形ABCD1平行四边形，E,F分别是AB, PD的中点.求证：AF 平 面PCE第4页共6页P9.已知正方体 ABCB-A1B1GD, O是底ABCD寸角线的交点.求证： GO平面ABD;题型二：垂直(线线垂直、线面垂直、面面垂直).如图，在直三棱柱 ABC-ABCi中，点D在BiCi上，AD_LBC 求证：平面ACD _L平面BBiCiC .如图，正三棱柱 ABC-AB1cl中，D是BC的中点，.求证：直线AD 1 BiCi;.如图，四棱锥 P-ABCD

9、的底面是正方形，PD_L底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC _L 平面 PDB ;.如图，直三棱柱 ABCAB1cl 中，AB=i, AC = AA=J3, /ABC=60。求证：AB _L AC / I 1J J.直三棱柱 ABC-AB1cl 中，/BAC=90、AB=AC=AA,=2, M、N 分别是 BC、CG 的中点，求证：BiM _L 平面 AMN ;.如图，在三棱锥P-ABC中，/PAB是等边三角形，/ PA/PB90o。求证：AB PC课后练习.如图，ABCD-A1B1GD是正四棱柱.求证：BDL平面ACCAi；.如图，四棱锥 P-ABCD的底面是正方形，PD_L底面

10、ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC _L 平面 PDB ;.如图，三棱柱ABC -AB1cl的所有棱长都相等，且AA_L底面ABC, D为CiC的中点，庆81与人8相交于点O,连结OD, (1)求证：OD 平面ABC; (2)求证：ABi，平面ABD。.如图所示，四边形ABCD为矩形，AD _L平面ABE , F为CE上的点，AE = EB=BC = 2,且BF 1 平面ACE(1)求证：AE_L平面BCE; (2)求证：AE平面BFD; (3)求三棱锥C - BGF的体积。第5页共6页二1 ，二1 ，(3).如图，正四棱柱ABCD -A1B1C1D1的侧棱长为1,底面边长为2, E是棱BC的中点。(1)求证：BDi平面CiDE ； (2)求三棱锥D