抛物线的有关结论

1、探索与研究圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。下面就抛物线的结论作以归整，供参考！一、焦点尸(，0)处的结论21、焦半径长：A(x,y),F(-,0),AF=x+；ii2i22、焦点弦长:A(x)B(x,y)在抛物线上，且AB过焦点F,贝AB=x+x+p,112212或IAB1=(G为直线/与抛物线对称轴的夹角sin203、过焦点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为M、N,

2、MN的中点为G。两相切：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切；以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.三直角：ZAGB=9OoZMFN=90。GF丄AB六定值：焦点弦两端点A(x)B(x,y)的对应坐标1122的乘积是定值：xx=y=_p2,12412OA-OB=一_p2；4112AF=tn,BF=n,贝+=,mnpIGF-mn.AAOBp22sin0、点D(p,O)处的结论例：抛物线护=2四上的点到A(a,O)的最近距离是多少？结论：D(p,O)是抛物线戶=2刃上到点A(a,O)的距离最近的点为顶点的分界点，A(a,O)在D,0)左边顶点到点A(a,O)的距离最近，右边横坐标为a-p的那两个抛

3、物线上的点到点A(a,O)的距离最近三、点E(2p,0)处的结论是抛物线y2=2px(p0)的两点，Q4丄OB,A(x,y),B(x,y),贝I1122i.XX=4/72,yy=-4/?2；ii.直线ABit定点(2p,0)；ill.求AB中点的轨迹方程;1212iv.过0向AB引垂线，求垂足T的轨迹方程；v.求AAOB面积的最小值.结论：A(x,y)是抛物线尸=2四(p0)上的两点，0为抛物线的顶点，1122ZAOB=9Oo直线AB过点E(2p,0).(2)xx=4p2,yy=一4卩2.1212四、准线上的有关结论过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点A,B,再以A,B为切点作抛物线的切线，其交

4、点在抛物线的准线上，且两切线垂直。反过来，准线上任意一点做抛物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。下面对上面的结论做出证明。一、焦点F(,0)处的结论1、焦半径长：A(x,y),F(,0),AF=x+.ii2i2证明：根据抛物线的定义丨AFI=|AM|=%+.12、焦点弦长：4(兀丿)、B(x,y)在抛物线上，且过焦点F,则1122AB=x+x+p,ABl=(G为直线/与抛物线对称轴的夹角).12Fsin29证明：根据焦半径公式,AF=x+,BF=x+.1222/.A.BA.F+BF(x+)+(x+)x+x+p.122212，可得IAF1=一1-cosu根据抛物线的定义，

5、I4FI=|4M|=+|4F|cosBBF=BN=p-BFcosO，得IBF1=一2p1-COS202psin291+COS0AB1=AF+BF=+-1-COS01+COS0(或采用代数法通过联立方程组求出，如下得兀+x12a)直线AB斜率不存在时，经检验符合结论y=tan0(x-)2护=2px消去y得tan29x2-p(tan29+2)x+tan-04b)直线AB斜率存在时，方程为y=tan9(x-),由卩2 p(tan20+2)relx2p、tan20=x+x+p=+p=2p(l+)i2tar)2Htan21)sm2t)3、过焦点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线

6、，垂足分别为M、N,MN的中点为G（1）两相切：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切；证明：焦半径AF的中点到y轴的距离为（利用梯形中位线等于两底和的一半）11nAl/Ad=-（OF+AAf）=-（+AAf）=（A为AM与y轴的交点），这就证明了圆心到y轴的距离等于直径AF的一半，所以以焦半径AF为直径的圆与y轴相切.以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明：焦点弦AB的中点到抛物线的准线的距离为（利用梯形中位线等于两底和的一1A半）d=（|4M|+|BV|）=（|4鬥+艸鬥）=这就证明了圆心到准线的距离等于直径AB的一半，所以以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切（2）三直角：ZAGB=9

7、OoZMFN=9OoGF丄AB证明：根据以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，设切点为G,则G为MN的中点，ZAGB=9Oo.vAMIIFCIIBN（C为准线与对称轴的交点）/.ZAMF=ZMFC（内错角）.又AM=AFZAMF=ZAFM,:.ZAFM=/MFC.同理ZBFN二/NFC,得ZMFN=9Oo.在AAMG与AAFG中，AM=AF,AG=AG,FG=GM.:.AAMG与AAFG全等，ZAFG=ZAMF=9Oo.六定值：焦点弦两端点A(x,y)B(x)的对应坐标的乘积是定值:1122pi3xx二，yy=-p2,OAOB=-p2.124124证明：依据2、焦点弦长的代数法推导过程可知

8、，xx二巴.124因为y-=2px,y2=2px(yy0)00000000 此关于兀二次函数对称轴为兀=a-p.(1)当兀=a-p0即d时,|PA|2=PA2IImin #综上所述，D(pfi)是抛物线戶=2四上到点A(a,O)的距离最近的点为顶点的分界点，A(a,O)在D(p,O)左边时顶点0到点A(a,O)的距离最近，最近距离为a;A(a,O)在D(p,O)右边时横坐标为a-p的两个抛物线上的点到点A(a,O)的距离最近，最近距离为lap-.三、点E(2p,0)处的结论例：是抛物线y2=2px(p0)的两点，Q4丄OB,A(x,y),B(x,y),则1122i.XX=4/72,yy=-4/

9、?2；ii.直线ABit定点(2p,0)。iii.求AB中点的轨迹方程;1212iv.过0向AB引垂线，求垂足T的轨迹方程。v.求AAOB面积的最小值.解：是抛物线产=2四(卩0)上的两点，所以A(2二y),丄,y),TOC o 1-5 h z2p12p2i.0A丄OB,OA-OB=0?即人了2+yy=0.TyyH0yy=-4p2；4#2121212y2y2XX二_=4p2.1247722p2p当过AB的直线与x轴垂直时,二，歹yy=_y又yy=-4p2.4y=2p,AB的直线方程为x=2p,过(2p,0).14当过AB的直线与兀轴不垂直时，由两点式得,化简得22-22打一人2p2p2p”丄八

10、X+13y+yy+y1212(x-2p).y+y1244所以上面直线恒过点(2p,0).综上所述直线AB过定点(2p,0).i+-设AB中点为K(一乞,儿*儿),即点K的坐标的参数方程为y2+y2O肖去2得42.X=t22y(-y)=24p2=4p(利用均值定理，当且仅当y=-y时12121212取等号，即当且仅当直线AB与对称轴垂直时取到)，此时AAOB面积的最小值为4/2.结论：A(x,y)、B(x,y)是抛物线尸=2四(0)上的两点，0为抛物线的顶点,1122(1)ZAOB=9Ooo直线AB过点E(2p,0)；(2)xx=42,yy=_42.1212对于结论中的已知直线AB过点E(2p,

11、0)ZAOB=9Oo,可以根据上面的结论XX=4/2,yy=-4p2,利用数量积证明：1212因为直线AB过点E(2p,0),所以xx=4/72,小=-4/72,所以12120AOB=xx+yy=0证得AAOB=90。.1212四、准线上的有关结论过抛物线的焦点F(-,q的直线交抛物线于两点A,再以A,8为切点作抛物2线y2=2px的切线，其交点在抛物线的准线兀=-彳上，且两切线垂直。反过来，准线兀=_彳上任意一点做抛物线护二2px的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点/二0.U丿证明：抛物线护=2兀上的点A(x)B(x,y)处的切线方程为：1122yy=p(x+x),yy=p(x+x).1122两切线的交点坐标为(纟章二4,仏二