2021年河南省中考数学总复习：类比、拓展探究题

1、2021年河南省中考数学总复习：类比、拓展探究题2021年河南省中考数学总复习：类比、拓展探究题例 1(2019河南22题10分)在ABC中，CACB，ACB.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP.(1)观察猜想如图，当60时， 的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.类型一图形旋转、平移和折叠引起的探究 (2013、20152019.22)典例精讲例 1(2019河南22题10分)在ABC中，CACB(1)【思维教练】要求 的值，可将转化为求BD和CP所在的CAP和BAD的相似比，由60，结合CACB，得到

2、ABC为等边三角形，由旋转性质可得，PAPD，APD60，得到APD为等边三角形，结合PAB为公共角，继而证明CAPBAD，最后利用全等三角形的性质可得BDCP，ACPABD，继而求得 的值，最后作直线BD与直线CP的夹角，利用三角形内角和为180，求得这两条直线的夹角大小.【自主作答】解：(1)1，60；(1)【思维教练】要求 的值，可将转化为求BD和【解法提示】ACB60，APD60，ACBC，APPD，ACB与APD都是等边三角形，ACAB，APAD，而CAPCABPABPADPABBAD，APCADB(SAS)BDCP， 1；APCADB，ACPABD，如解图，设CP与BD的延长线交于

3、点I，CIB180PCBCBD180(60ACP)(60ABD)60ACPABD60，直线BD与直线CP所在直线的夹角等于60.例1题解图【解法提示】ACB60，APD60，ACBC(2)类比探究如图，当90时，请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图的情形说明理由.(2)类比探究(2)【思维教练】要求线段BD与CP的比值，可以转化为求BD和CP所在的CAP和BAD的相似比，根据题意可知ACB90，CACB，ABC为等腰直角三角形，可得 的值，同理，由旋转可知APD90，APPD，可得 的值.已知两条对应边的比值相等，可以推出PAD和CAB相等，继而推出PAC和DAB相等

4、，从而证明DABPAC，即可解决问题.【自主作答】(2) ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.(2)【思维教练】要求线段BD与CP的比值，可以转化为求BDCABDACPADDAC.即DABPAC.DABPAC. ，DBAPCA.设BD交CP于点G，BD交CA于点H.如解图，BHACHG，CGHBAH45；例1题解图ACB90，CACB，CAB45， .同理可得：PAD45， ， ，CABPAD.理由如下：CABDACPADDAC.即DABPA备用图(3)解决问题当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 的值.备用图(3)解

5、决问题(3)【思维教练】要求当点C，P，D在同一直线上时 的值，需分两种情况进行讨论：第一种当点P在线段EF上时，结合第(2)问的结论，和中位线的性质得到CP与AD的数量关系；第二种当点D在线段PC上时，利用第(2)问的结论和中位线的性质，得到CP和AD的数量关系，即可求解.【自主作答】(3)2 或2 .(3)【思维教练】要求当点C，P，D在同一直线上时 【解法提示】分两种情况：如解图，由EFAB得，CEPCAB45，由题可知，CPADPA90，在RtAPC中，点E为AC中点PE ACAECE.ECPEPC67.5，EAPEPA22.5.DAC67.5ECP.DADC，设DAa，则DCDAa，

6、PD a.PCa a. 2 ；例1题解图【解法提示】分两种情况：如解图，由EFAB得，CEP如解图，可设APDPb，则AD b，由EFAB，PEACAB45，在RtCPA中，E为AC的中点，PE ACAEEC，可证ECDEAD22.5，易得CDAD b，CP bb， 2 .例1题解图如解图，可设APDPb，则AD b，由EF类型二图形形状变化引起的探究(2014、2012.22)典例精讲例 2(2014河南22题10分)(1)问题发现如图，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.填空：AEB的度数为；线段AD、BE之间的数量关系为；类型二图形形状变化引起的探究典例精讲

7、例 2(2014河南(1)【思维教练】由ACB和DCE均为等边三角形可证ACDBCE，即可知AD与BE之间的数量关系，再由等边三角形和全等三角形的性质可求得AEB；【自主作答】(1)60；ADBE；(1)【思维教练】由ACB和DCE均为等边三角形可证A【解法提示】如解图，ABC和DCE均为等边三角形，ACBC，CDCE，ACBECD60，ACDDCBDCBBCE60，ACDBCE，ACDBCE(SAS)，ADCBEC，ADBE，CDECED60，ADCBEC120，AEBBECCED60.ACDBCE，ADBE.例2题解图【解法提示】如解图，ABC和DCE均为等边三角形，(2)拓展探究如图，A

8、CB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE.请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；(2)拓展探究(2)【思维教练】由ACB和DCE均为等腰直角三角形可证ACDBCE，即可知ADBE，ADCBEC，再由DCE是等腰直角三角形，可知DMCM，CDECED45，从而证明结论；【自主作答】(2)AEB90，AEBE2CM；理由：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，CDCE，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE，ACDBCE(SAS)，ADBE，BECADC18045135，

9、AEBBECCED1354590.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，CMDMME，DE2CM，AEADDEBE2CM；(2)【思维教练】由ACB和DCE均为等腰直角三角形可证(3)解决问题如图，在正方形ABCD中，CD ，若点P满足PD1，且BPD90，请直接写出点A到BP的距离.(3)解决问题(3)【思维教练】根据题意可作以点D为圆心，PD长为半径的圆，再由过点B作圆的切线可知分两种情况：第一种情况如解图，过点A作AMBP于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点P，易证APDAPB，即可得PBPD，由勾股定理可求PB的长，从而求得PP的长，再由APP是等腰直角三角形可得AM PP

10、即可求解；第二种情况如解图，与第一种情况同理可得AM PP，运用勾股定理和全等三角形求出PB与PB的长即可求解.【自主作答】(3)【思维教练】根据题意可作以点D为圆心，PD长为半径的圆【解法提示】PD1，BPD90，BP是以点D为圆心，以1为半径的D的切线，点P为切点第一种情况：如解图，过点A作AMBP于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点P，可证得APDAPB，PDPB1，APAP，CD ，BD2，PD1，PB ，AM PP (PBPB) ；第二种情况：如解图，同理可得AM PP (PBBP) .综上所述，点A到BP的距离为 例2题解图例2题解图【解法提示】PD1，BPD90，BP是以点D为

11、圆类型三动点引起的探究典例精讲 例 3在ABC中，BAC90，ABAC，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为腰作等腰直角DAF，使DAF90，连接CF.(1)观察猜想如图，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为；CF，DC，BC之间的数量关系为；类型三动点引起的探究典例精讲 例 3在ABC中，BA(1)【思维教练】要求BC与CF的位置关系，可转化为求BCF的度数，根据题意可知ABC和ADF是等腰直角三角形，从而推出DABFAC，继而得到ACFABD，最后根据余角的定义即可求解；根据DABFAC，可得到CFBD，即可求解；【自主作答】(1)BCCF；BCCFDC；(1)

12、【思维教练】要求BC与CF的位置关系，可转化为求B【解法提示】ABC和ADF都是等腰直角三角形，ABAC，ADAF，BACDAF90，BADCAF，在DAB与FAC中， ，DABFAC(SAS)，ABDACF，又ABCACB90，ACBACF90，即BCCF；由知DABFAC，CFBD，BCBDCD，BCCFDC.【解法提示】ABC和ADF都是等腰直角三角形，(2)数学思考如图，当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的、结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；(2)数学思考(2)【思维教练】要求BC与CF的位置关系，可转化为求BCF的度数，根据题意可知ABC

13、和ADF是等腰直角三角形，从而推出DABFAC，继而得到ACFABD，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解；根据DABFAC，可得到CFBD，即可求解；【自主作答】(2)BCCF成立；BCCFDC不成立，结论：DCCFBC.(2)【思维教练】要求BC与CF的位置关系，可转化为求B证明：ABC和ADF都是等腰直角三角形，ABAC，ADAF，BACDAF90，BADCAF，在DAB与FAC中， DABFAC(SAS)，ABDACF，BAC90，ABAC，ACBABC45，ABD18045135，BCFACFACB1354590，CFBC.CDDBBC，DBCF，DCCFBC；证明：ABC和ADF都是等腰直角三角形，(3)拓展延伸如图，当点D在线段BC的延长线上时，将DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，CF，若4CDBC，AC2 ，请直接写出线段CE的长.(3)拓展延伸(3)【思维教练】过点A作AHBC于点H，过点E作EMBD于点M，由等腰三角形的性质求出BC的长，即可求出CD的长，则AH，HD的长即可求出，通过证明ADHDEM，求出EM，CM的长，最后利用勾股定理求出CE的长.(3)线段CE的长为3 .【自主作答】(3)【思维教练】过点A作AHBC于点H，过点E作EMB【解法提示】如解图，过点A作AHBC于点H，过点E作EMBD交BD的延长线于