《解析几何》向量的线性运算

1、解析几何向量的线性运算解析几何向量的线性运算 课 程 简 介 坐标法: 在平面(或空间)中建立适当的坐标系, 平面(或空间)中的点就可以用有序数组 (或其他数量关系, 即点的坐标)来表示, 几何图形就可用方程(组)-即几何图形 的点的坐标所满足的数量关系-来表示, 于是几何问题就可转化为代数问题, 从而 代数方法被引入到几何学的研究中来.简言之: 坐标法就是建立从几何学对象到某种 数量形式的对应关系, 由此利用代数 方法解决几何问题. 课 程 简 介 坐标法: 在平面(或空间)中建立适当的坐 课 程 简 介 向量法: 把几何问题用向量来表述, 然后利用 向量的运算来解决. 它也是把代数运算 引

2、进几何学的方法, 是建立各种坐标系 的基础.几何变换法: 通过讨论几何图形在各类几何变换 中性质的变化规律, 由此解决相应 的几何问题. 常见的几何变换: 保距变换, 仿射变换, 射影变换 课 程 简 介 向量法: 把几何问题用向量来表述, 然后 课 程 简 介 解析几何的主要创始人 1. 费马 (Fermat Pierre de, 1601-1665, 法国人) 出身商人家庭, 学法律并以律师为职业, 数学只是他的业余爱好, 尽管如此, 他对数论和微积分作出了第一流的贡献, 并同帕斯卡(Pascal Blaise) 一起开创了概率论的研究工作, 他与笛卡儿都是坐标几何的发明者. 费马关于曲线

3、的工作, 是从研究古希腊几何学家特别是阿波罗尼(Apollonius)开始的. 课 程 简 介 解析几何的主要创始人 1. 费马 ( 课 程 简 介 2. 笛卡儿 (Descartes Ren, 1596-1650, 法国人) 是一位杰出的近代哲学家, 是近代生物学的奠基人, 是第一流的物理学家, 只偶然地是个数学家. 1637年, 笛卡儿写的更好地指导推理和寻求科学真理的方法论一书出版, 其中包括三个著名的附录, 几何是其中之一, 这是他写的唯一的一本数学书, 他关于坐标几何的思想, 就包括在这本几何中.笛卡儿是通过三个途径来研究数学的: 课 程 简 介 2. 笛卡儿 (Descartes

4、Ren 课 程 简 介 (1) 作为哲学家, 他把数学方法看作是一切领域建立真理的方法来研究; (2) 作为自然科学的研究者, 他广泛地研究了力学、光学和生物学等各个方面, 他的几何的一部分就是讲光学的; (3) 作为一个关心科学用途的人, 他强调把科学成果付之于应用, 他不推崇纯粹数学, 他说: “我决心放弃那个仅仅是抽象的几何, 这就是说, 不再去考虑那些仅仅是用来训练思想的问题, 我这样做是为了研究另一种几何, 即目的在于解释自然现象的几何”. 课 程 简 介 (1) 作为哲学家, 他把数学方法看作是 课 程 简 介 解析几何的重要性 解析几何把代数和几何结合起来, 把数学造成了一个双面

5、的工具. 一方面, 几何概念可用代数表示, 几何的目的可通过代数达到; 反过来, 给代数概念以几何解释, 可以直观地掌握这些概念的意义, 又可以得到启发去提出新的结论. 课 程 简 介 解析几何的重要性 解析几何把 课 程 简 介 学习解析几何的一点启示 解析几何的重要性在于它的方法-建立适当的坐标系,用方程来表示几何图形, 通过研究方程来研究几何图形. 前苏联著名几何学家波格列诺夫说过: “ 解析几何没有严格确定的内容, 对它来说, 决定性的因素, 不是研究对象, 而是方法”.因此, 我们学习解析几何主要是掌握它的基本方法, 而不仅仅在于记住它的某些结论! 课 程 简 介 学习解析几何的一点

6、启示 解析 课 程 简 介 第四章 保距变换和仿射变换 第一章 向量代数 第二章 空间解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线的分类 第五章 射影几何学初步 - 介绍向量及其基本运算, 由此建立仿射坐标系 - 用坐标法和向量法讨论空间中某些几何图形及其相关几何问题 包括空间中的平面, 直线, 柱面, 锥面, 旋转面以及二次曲面等 - 利用坐标变换研究二次曲线分类, 讨论圆锥曲线 的仿射特征 和度量特征.- 研究两类重要几何变换-保距变换和仿射变换, 讨论图形的 仿射分类和度量分类.- 射影几何学初步介绍, 将给出射影平面, 射影变换, 射 影坐标系, 交比等基本概念以及二次曲线的射影理论. 课 程

7、 简 介 第四章 保距变换和仿射变换 第一章 第一章 向 量 代 数4 向量的外积 1 向量的线性运算2 仿射坐标系 3 向量的内积 5 向量的多重乘积 第一章 向 量 代 数4 向量的外积 1 1 向量的线性运算 1.1 向量的概念1.2 向量的线性运算 1.3 向量的分解 1.4 在三点共线问题上的应用 1 向量的线性运算 1.1 向量的概念1.2 向1.1 向量的概念现实中：温度、时间、身高、体重等量而位移、速度、加速度、力、力矩等量只有大小，称为数量 (或标量) ;既有大小又有方向，称为向量(或矢量) .记号: 黑斜体小写西文字母, 如向量 , , , a, b, c 等.用绝对值记号

8、表示向量的大小, 如 | | 表示向量 的大小. 1.1 向量的概念现实中：温度、时间、身高、体重等量而位移1.1 向量的概念向量的表示: 几何上, 用有向线段表示向量, 有向 线段的长度和方向分别表示了向量 的大小和方向.记起点、终点分别为A, B的有向 线段为 AB 如右图, 有向线段AB 表示向量 AB注: 今后就把有向线段看作向量, 向量与有向 线段的起点选取无关, 也称为自由向量; 向量的大小也称为向量的长度或模. 1.1 向量的概念向量的表示: 几何上, 用有向线段表示1.1 向量的概念零向量: 大小为 0 的向量, 其方向不定, 记为0.单位向量: 长度为 1 的向量, 与 同方

9、向的单位向量记为0向量相等: 若向量 与 大小相等, 方向相同, 则称 与 相等, 记作 .平行向量: 若向量 与 方向相同或相反, 则称 与 平行, 记作 .规定: 零向量与任何向量平行 .1.1 向量的概念零向量: 大小为 0 的向量, 其方向1.1 向量的概念反向量: 与 的长度相同, 但方向相反的向量 称为 的反向量, 记作 .正交向量: 若向量 与 的方向互相垂直, 则称 与 垂直或正交, 记作 .规定: 零向量与任何向量正交 .1.1 向量的概念反向量: 与 的长度相同, 但方1. 向量的加法三角形法则:ABC+平行四边形法则:ABCD+1.2 向量的线性运算1. 向量的加法三角形

10、法则:ABC+平行四边形法则:交换律向量加法运算律 : + = + 结合律( + ) + = + ( + ) = + + ABCD+(+) + + ( +) = + + 1.2 向量的线性运算交换律向量加法运算律 : + = + 结合律(三角形法则可推广到多个向量相加, 如下图:s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 , 12345sn个向量相加法则:使前一向量的终点作为次一向量的起点, 相继作向量1, 2, , n, 再以第一向量的起点为起点, 末一向量的终点为终点, 作一向量, 即为和向量1.2 向量的线性运算三角形法则可推广到多个向量相加, 如下图:s = 1 + 1.2 向量的线性

11、运算2. 向量的减法规定: = +()ABCD +() 三角不等式:| + | | | + | |, | | | | + | |常用等式:AB = OB OA, AB = AO BO 1.2 向量的线性运算2. 向量的减法规定: =1.2 向量的线性运算例 1 设A, B, C, D是空间中任意四点, 则AB + CD = AD + CB证明:方法1. 因为 AB + CD AD CB =AB + BC + CD + DA= AA = 0 .作移项, 即得结果. 方法2. 在空间任取一点O, 则所求等式左边 AB + CD =OB OA + OD OC等式右边 AD + CB =OD OA +

12、 OB OC两边相等1.2 向量的线性运算例 1 设A, B, C, D是3. 向量与数的乘积(向量的数乘)1.2 向量的线性运算向量 与实数 的乘积是一个新向量, 记作, 的长度为| | = | | | 的方向为 与 同向, 0 与 反向, 0, 0,从而 + 和( +)方向一致, 并且= | + | |= | + | | |= |+ | |1.2 向量的线性运算验证分配律: (1) ( +1.2 向量的线性运算将系数为负数的项移到等式的另一边就可化为上述情形. ( + ) = + = ( + ) + ( )当, , + 中出现负数时,例如当 0, 0时, = ( + ) 1.2 向量的线性

13、运算将系数为负数的项移到等式的另一边就可1.2 向量的线性运算(2) ( + ) = + 则可设 = , 此时 ( + ) = ( + ) = + 如果与 不平行, 则可 用作图法证明. 如右图:( + ) +不妨假定, , 都不为0.如果与 平行,= (1+)= ( + ) = + 1.2 向量的线性运算(2) ( + ) = 1.2 向量的线性运算例 2 设AC, BD是平行四边形ABCD的两条对角线, 已知向量AC = , BD = , 求向量AB和BC.解: ABCD设AC与BD相交于O. O 易见 AB = AO BOBC = BO + OC而 AO = OC = 1/2 AC, B

14、O = 1/2 BD,故 AB = 1/2 1/2 = 1/2 ( ) , BC = 1/2 +1/2 = 1/2 ( +) . 1.2 向量的线性运算例 2 设AC, BD是平行四边1.3 向量的分解定义1 设1, 2, , n, 是一组向量, 若 = k11+ k22+ + knn ,则称 是向量组1, 2, , n 的线性组合,或称 可由向量组1, 2, , n 线性表示.k1, k2, , kn 是一组实数,也称 可对向量组1, 2, , n 分解.k1, k2, , kn 称为组合系数或分解系数,1.3 向量的分解定义1 设1, 2, , n定义2 如果一组向量平行于同一直线, 就称

15、 它们共线;如果一组向量平行于同一平面, 就称它们共面.1.3 向量的分解由定义易知, 向量组1, 2, , n共线(面)就是:当用同一起点O作有向线段OAi =i, i =1,2,n时, O, A1, A2, , An共线(面).注: 向量组共线就是其中任何两个向量平行, 向量组共面就是其中任何三个向量共面. 于是判别“两向量是否平行”, “三向量是否共面” 成为基本问题. 定义2 如果一组向量平行于同一直线, 就称如果一组向量平定理1.1 (向量分解定理) (2) 若向量 , , 共面, 并且 与 不平行, 则存在唯一的一对实数, 使得 = + .1.3 向量的分解(3) 若向量 , ,

16、不共面, 则任何向量 都可以对, , 分解, 且分解方式唯一.(1) 设 为非零向量, 则 / (与共线) 当且仅当存在唯一实数, 使得 = . 向量分解定理是建立仿射坐标系的 理论基础, 也是仿射几何学的基础!定理1.1 (向量分解定理) (2) 若向量 , , 证明:设 /, 取 1.3 向量的分解其中 =1, 当与 同向时,1, 当与 反向时,容易验证 = .(1) 必要性.充分性由平行定义易知.再证数 的唯一性.设又有 ,则( ) = = 0.又 0 ,故 = 0 ,即 = .注: 为方便, 将这里的数 记为证明:设 /, 取 1.3 向量的分解其中 1.3 向量的分解(2) 存在性.

17、从同一起点 O 作OA = , OB = , OC = . 过 C 作 CD / OB, 且与直线 OA 交于 D. 因为OD 与 共线, 所以有实数 使得OD = . 同理有 DC = . 因此 = OC= OD + DC= + .OABC D 1.3 向量的分解(2) 存在性.从同一起点 O 作OA唯一性. = 1 + 1 ( 1, 1不全为零) , 则有 ( 1 ) +( 1) = 0 ,不妨设 1 0, 则从而, 平行, 与条件矛盾!1.3 向量的分解用反证法. 假如还有另一个分解式 唯一性. = 1 + 1 ( 1, OACBDEF(3) 可分解性.取一点O, 作OA ,OB ,OC

18、 ,OD ,分别表示, , , .过 D 作一直线与OC平行, 且与OA和OB决定的平面交于E.过 E 作一直线与OB平行, 并且与OA交于F.因为OF / ,FE / ,ED / ,1.3 向量的分解OACBDEF(3) 可分解性.取一点O, 作OAOACBDEF1.3 向量的分解由(1), 存在实数 x, y, z 使得OF = x,FE = y,ED = z.从而 = OD= OF + FE + ED= x + y + z .OACBDEF1.3 向量的分解由(1), 存在唯一性.若有两个不同的分解式 = x + y + z = x1 + y1 + z1 ,则得 (xx1) + (y y

19、1) + (zz1) = 0 .1.3 向量的分解不妨设 1 0, 则从而, , 共面, 与条件矛盾!唯一性.若有两个不同的分解式 = x + y + z(1) 向量 与 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 , 使得 + = 0. ()1.3 向量的分解命题1.1(2) 向量, , 共面 的充分必要条件是存在不全为零的实数 , , 使得 + + = 0 . ()(1) 向量 与 共线的充分必要条件是存在 +证明:设与共线, 若 = = 0, 则有 1 + 1 = 0 .若与不全为0, 不妨设 0 ,存在实数 使得 = , 从而有 + (1) = 0.1.3 向量的分解(1) 必要性.充分性

20、. 若有不全为零的实数, 使得()成立,不妨设 0, 于是由 () 可得因此 与 共线.由定理1.1 (1)可知,证明:设与共线, 若 = = 0, 则有 1 (2) 必要性. 设, , 共面, 若 / , 则有实数, 使得 = +,即 + + (1) = 0.若 / , 由(1) 存在不全为零的实数, 使得 + = 0,从而有 + + 0 = 0 .充分性.不妨设 0, 因此, , 共面. 1.3 向量的分解设有不全为零的实数, , 使得()成立, 则由 () 得(2) 必要性. 设, , 共面, 若 / 1.3 向量的分解推论1 向量 与 不共线的充分必要条件是:由 + = 0 可以推出

21、= = 0 .推论2 向量, , 不共面的充分必要条件是:由 + + = 0 可以推出 = = = 0.定义3 设1, 2, , n 是向量, 若存在不全为零的实数 k1, k2, , kn, 使得k11+ k22+ + knn = 0,则称向量组1, 2, , n 线性相关, 否则, 称向量组1, 2, , n 线性无关. 1.3 向量的分解推论1 向量 与 不共线的充分由定义易知, 向量组1, 2, , n 线性无关由k11+ k22+ + knn = 0可推出 k1= kn = 0,再由前面定理1.1, 命题1.1及推论可知,两向量 , 共线 , 线性相关;两向量 , 不共线 , 线性无

22、关;三向量 , , 共面 , , 线性相关;三向量 , , 不共面 , , 线性无关.1.3 向量的分解空间四向量总线性相关.由定义易知, 向量组1, 2, , n 线性无关 由于上述结论, 使得向量的线性运算可以用来解决有关点的共线、共面问题以及线段的定比分割问题等.1.4 在共线共面问题上的应用证明: 必要性. 由于O, A, B不共线, 命题1.2 假设O, A, B不共线, 则点C 和A, B共线的充分必要条件是: 向量OC 对OA, OB 可分解, 并且分解系数之和等于1.所以OA, OB不平行, 且AB 0. 由于上述结论, 使得向量的线性运算可以用来解决有关1.4 在共线共面问题

23、上的应用于是 C 和A, B 共线 AC / AB 存在实数s, 使得AC = s AB 即 OC OA = s (OB OA) 存在实数s, 使得OC = (1s) OA + s OB OC 对OA, OB 可分解, 且分解系数之和为1. 充分性. 设OC = r OA + s OB, 其中r + s = 1, 于是 OC = (1s) OA + s OB, 即 AC = s AB. 因此 AC / AB, 从而 C 和A, B共线.1.4 在共线共面问题上的应用于是 C 和A, B 共线1.4 在共线共面问题上的应用注: 命题1.2中的数 s 是反映C 在A, B 决定的直线上的位置的一个

24、数量, 即而中学里学的定比概念也是反映C 在A, B 决定的直线上的位置的一个数量, 本书称之为简单比, 并记作(A, B, C) , 根据定义有易求得其中 = (A, B, C) . 1.4 在共线共面问题上的应用注: 命题1.2中的数 练习题:设A, B, C不共线. 证明点M在平面ABC上的充要条件是: 对任意定点O, 存在实数k1, k2, k3, 使得且 k1 + k2 + k3 =1. OM=k1OA + k2OB + k3OC, 1.4 在共线共面问题上的应用证明: ()AB, AC 不共线, AM, AB, AC 共面,故存在实数 k, m 使得AM = k AB + m AC

25、, 对任意定点 O, 有OM OA= k ( OB OA ) + m ( OC OA ),练习题:设A, B, C不共线. 证明点M在平面ABC上的充即令 k1 = 1 k m, k2 = k, k3 = m, 即得结论. () 设 OM = k1OA + k2OB + k3OC, 注意到 k1 = 1 k2 k3 , 有AM = OM OA= ( 1 k2 k3 )OA+k2OB+k3OC OA= k2(OB OA)+k3(OC OA)= k2AB + k3AC可见 AM, AB, AC 共面,即M在平面ABC上. OM = ( 1 k m ) OA + k OB + m OC,1.4 在共线共面问题上的应用k1 + k2 + k3 =1.即令 k1 = 1 k m, k2 = k, k3 1.4 在共线共面问题上的应用例 3 设三角形ABC中, 点D, E, F分别在AB, BC, AC 边上, 使得线段AE, BF, CD 交于一点O(下图).已知(A, B, D) = (C, A, F) = 1/2 , 求(B, C, E), (A, E, O), (C, D, O), (B, F, O).ABCD