2021江苏数学高考真题

1、 11/112021江苏数学高考真题 2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 参考公式： 锥体的体积 1 3 V Sh =，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位 置上 1已知集合0,1,2,8 A=，1,1,6,8 B=-，那么A B= 2若复数z满足i12i z?=+，其中i是虚数单位，则z的实部为 3已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 5 函数()f x =的定义域为 6某兴趣小组有2名男

2、生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 7已知函数sin(2)()22y x ?=+- 的右焦点(,0)F c 到一条渐近 ，则其离心率的值是 9函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=R ，且在区间(2,2-上，cos ,02,2 ()1|,20,2 x x f x x x ?成立的n 的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分14分） 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C = 求证：（1）11AB

3、A B C 平面； （2）111ABB A A BC 平面平面 16（本小题满分14分） 已知,为锐角，4 tan 3 =，cos()+= （1）求cos2的值； （2）求tan()-的值 17（本小题满分14分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD ，大棚内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上设OC 与MN 所成的角为 （1）用分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定

4、sin 的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 18（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1 )2，焦点 12(F F ，圆O 的直径为12F F （1）求椭圆C 及圆O 的方程； （2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P 若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； 直线l 与椭圆C 交于,A B 两点若OAB ， 求直线l 的方程 19（本小题满分16分） 记(),()f x g x 分别为函数(),()f x g x 的导函数

5、若存在0 x R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x =，则称0 x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点” （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值； （3）已知函数2 ()f x x a =-+，e ()x b g x x =对任意0a ，判断是否存在0b ，使函 数()f x 与()g x 在区间(0,)+内存在“S 点”，并说明理由 20（本小题满分16分） 设n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，

6、n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列 （1）设110,1,2a b q =，若1|n n a b b -对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,a b m q =N ，证明：存在d R ，使得1|n n a b b -对 2,3,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,b m q 表示） 数学试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题5分，共计70分 11，8 22 390 48 52，+） 6 310 76 - 82 9 1043 113 123 139 1427 二、解答题 15本小题主要考查直线与直线、直线与平面以

7、及平面与平面的位置关系，考查空间想象 能力和推理论证能力满分14分 证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB A 1B 1 因为AB ?平面A 1B 1C ，A 1B 1?平面A 1B 1C ， 所以AB 平面A 1B 1C （2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1A 1B 又因为AB 1B 1C 1，BC B 1C 1， 所以AB 1BC 又因为A 1B BC =B ，A 1B ?平面A 1BC ，BC ?平面A 1BC ， 所以AB 1平

8、面A 1BC 因为AB 1?平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1平面A 1BC 16本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求 解能力满分14分 解：（1）因为，所以 因为，所以， 因此， （2）因为为锐角，所以 又因为，所以， 因此 因为，所以， 4tan 3= sin tan cos =4 sin cos 3 =22sin cos 1+=29 cos 25 =27 cos22cos 125 =-=-,(0,)+ cos()+= sin()+=tan()2+=-4tan 3= 2 2tan 24 tan 21tan 7 =- - 因此， 17本小题

9、主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建 模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分14分 解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH MN ，所以OH =10 过O 作OE BC 于E ，则OE MN ，所以COE =， 故OE =40cos ，EC =40sin ， 则矩形ABCD 的面积为240cos （40sin +10）=800（4sin cos +cos ）， CDP 的面积为 1 2 240cos （4040sin ）=1600（cos sin cos ） 过N 作GN MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10 令

10、GOK =0，则sin 0=14，0（0，6 ） 当0， 2 ）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin 的取值范围是 1 4 ，1） 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin cos +cos ）平方米，CDP 的面积为 1600（cos sin cos ），sin 的取值范围是 1 4 ，1） （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43， 设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k 0）， 则年总产值为4k 800（4sin cos +cos ）+3k 1600（cos sin cos ） =8000k （sin cos +cos ），0， 2）

11、设f （）= sin cos +cos ，0， 2 ）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f =-=-+-=-+ 令()=0f ，得= 6 ， 当（0， 6 ）时，()0f ，所以f （）为增函数； 当（ 6， 2）时，() 又点1 )2 在椭圆C 上， 所以2222311, 43, a b a b ?+=?-=? ，解得2 24,1,a b ?=?=? 因此，椭圆C 的方程为2 214 x y += 因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y += （2）设直线l 与圆O 相切于0000(),(00)P x y x y

12、，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =- -+，即000 3x y x y y =-+ 由22 0001,43,x y x y x y y ?+=?=-+? ，消去y ，得 222200004243640()x y x x x y +-+-=（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以222222000000()()( 24)(44364820)4x x y y y x ?=-+-=-= 因为00,0 x y ，所以001x y = 因此，点P 的坐标为 因为三角形OAB ，所以1 2AB OP ?= 7AB = 设1122,()(

13、),A x y B x y ， 由（* ）得001,2x = ， 所以2222121()()x B y y x A =-+- 2220002222 00048(2) (1)(4)x y x y x y -=+?+ 因为22003x y +=， 所以22 022 016(2)32 (1)49 x AB x -=+，即42002451000 x x -+=， 解得22005(202x x =舍去），则201 2 y =，因此P 的坐标为 综上，直线l 的方程为y =+ 19本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解 决问题以及逻辑推理能力满分16分 解：（1）函数f

14、 （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f （x ）=1，g （x ）=2x +2 由f （x ）=g （x ）且f （x ）= g （x ），得 222 122x x x x ?=+-? =+? ，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点 （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则1 2f x ax g x x = （），（） 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f （x 0）=g （x 0），得 200001ln 12ax x ax x ?-=?=? ，即2 00 201ln 2

15、1ax x ax ?-=?=?，（*） 得01 ln 2 x =-，即1 20e x -=，则12 21e 2 2(e ) a -= = 当e 2 a =时，1 20e x -=满足方程组（*），即0 x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点 因此，a 的值为 e 2 （3）对任意a 0，设32()3h x x x ax a =-+ 因为(0)0(1)1320h a h a a =-+=-0 函数2 e ()()x b f x x a g x x =-+=， 则2 e (1) ()2()x b x f x x g x x -=-= ， 由f （x ）=g （x ）且f （x ）=g （x

16、），得 22e e (1)2x x b x a x b x x x ?-+=?-?-=?，即003 200 30202e e (1)2e (1)2e (1)x x x x x x a x x x x x x x ?-+=?-?-?-=?-? （*） 此时，0 x 满足方程组（*），即0 x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点” 因此，对任意a 0，存在b 0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+）内存在“S 点” 20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分

17、解：（1）由条件知： 因为1|n n a b b -对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立， 即11，1d 3，32d 5，73d 9，得 因此，d 的取值范围为 （2）由条件知： 若存在d ，使得1|n n a b b -（n =2，3，m +1）成立， 即， 即当时，d 满足 因为，则， 112(,)n n n a n d b -=-=1 12|()1|n n d 75 32 d 75 ,32 111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,(1()n b n d b q b n m -+-=+2,3, ,1n m =+11

18、11211 n n q q b d b n n - -q 112n m q q -0时， 所以单调递减，从而-2,3,1n m =+2,3, ,1n m =+121n q n 1 1 n q n -2,3, ,1n m =+2n m 111 2222 111()()() n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n +-+-= 1 12m q 21n m +12 1n q n 121n q n 2 m q m -()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)x f x x =-， 则称(,)s t i i 是排列12n i i

19、 i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序 数例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2记()n f k 为1，2，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数 （1）求34(2),(2)f f 的值； （2）求(2)(5)n f n 的表达式(用n 表示) 数学(附加题)参考答案 21【选做题】 A 选修41：几何证明选讲 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分10分 证明：连结OC 因为PC 与圆O 相切，所以OC PC 又因为PC =OC =2， 所以OP 又因为OB =2，从而B 为Rt

20、 OCP 斜边的中点，所以BC =2 B 选修42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分10分 解：（1）因为2312? =?A ，det()221310=?-?=A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-?=?-? （2）设P (x ，y )，则233121x y ?=?，所以13311x y -?=?-? A ， 因此，点P 的坐标为(3，1) C 选修44：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10分 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆 因为直线l

21、 的极坐标方程为 sin()26 -=， 则直线l 过A （4，0），倾斜角为 6 ， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点 设另一个交点为B ，则OAB = 6 连结OB ，因为OA 为直径，从而OBA =2 ， 所以 4cos 6 AB = 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 D 选修45：不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分10分 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z + 因为22=6x y z +，所以2224x y z +， 当且仅当 122x y z =时，不等式取等号，此时244333 x y z =，

22、 所以222x y z +的最小值为4 22【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用 空间向量解决问题的能力满分10分 解：如图，在正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB OC ，OO 1OC ，OO 1OB ，以1,OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O ?xyz 因为AB =AA 1=2， 所以1110,1,0,0,1,0,0,1,()()()2,0,1,2)()A B C A B C - （1）因为P 为A 1B 1的中点， 所以1 ,2)2 P -， 从而131 (,2)(0,2,22 ),BP AC =- -， 故111|cos ,| | 5 BP AC BP AC BP AC ?= =? 因此，异面直线BP 与AC 1 （2）因为Q 为BC 的中点， 所以1 ,0)2 Q ， 因此33 ( ,0)2 AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC = 设n =（x ，y