高三职高数学复习资料2

1、高三职高数学复习资料 第一章 集合与函数概念 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性,互异性和无序性 . （ 2）常用数集及其记法 N表示自然数集, N或 N表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 . （ 3）集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 aM,或者 aM,两者必居其一 . （ 4）集合的表示法 自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x| x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 . （ 5）集合的分类 含有有限个元素的集

2、合叫做有限集 . 含有无限个元素的集合叫做无限集 . 不含有任何元素的集合 叫做空集 . （6）子集,真子集,集合相等 名称 记号 意义 性质 2n 示意图 A A B 1 AB B 子集 （或 A 中的任一元素都属 2 A B A 于 B 3 如 A BB C ,就 A C或 4 如 A 且 B A,就 A B且 A （A 为非空子集） B 真子集 （或 ） A B,且 B 中至 （ 1） B A 2 如 A B 且 B C,就 A C少有一元素不属于 A 集合 A B A 中的任一元素都属 1 AB 于 B ,B 中的任一元素 相等 2 都属于 A 1 个非空子（ 7）已知集合 A 有 n

3、n 1 个元素,就它有 2 n 个子集,它有 2 n 1 个真子集,它有 集 （ 8）它有 2 n 2 非空真子集 . 示意图 名 记号 意义 性质 称 交 A B x | x A, 且 （ 1） A A A （2） A B （ 3） A B A A B A B 集 x B 并 A B x | x A, 或 （ 1） A A A （2） A B A （ 3） A B A A B A B 集 x B 1 / 20 第 1 页,共 20 页高三职高数学复习资料 补 UA x | x U ,且 x A 1 A A A 2 A A U B U A B U集 U A B UA U B 其次章 不等式 （

4、 1）含确定值的不等式的解法 不等式 0 把 ax b解集 | x | a, | x | a a 0 x | ax a | x | aa 0 x | x a或 x a 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | ax b | c,| ax b | cc | x | aa 0 型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 b24ac 000二次函数 y 2 ax bx c a 0 的 x1,2 bb24ac x x2 bO 图象 一元二次方程 2 ax bx c 0 a 0 的 2a 无实根 2a 2 ax 根 0 的 （其中 x1 x2 x | x b 2 a Rbx c 0 a x | x

5、 x1 或 x x2 2 ax 解集 0 的 x | x1 x x2 bx c 0a 解集 3. 常用的基本不等式 2 / 20 第 2 页,共 20 页高三职高数学复习资料 第三章 函数 （ 1）函数的单调性 定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 函数的 假如对于属于定义域 I 内某 y y=fX fx2 x （ 1）利用定义 个区间上的任意两个自变量 （ 2）利用已知函数的 的值 x1,x2, 当 x x 时,都 单调性 有 fx fx , 那 么 就 说 fx1 （ 3）利用函数图象 （在 fx 在这个区间上是 增函数 某个区间图 ox1x 2象上升为增） （ 4）利用复

6、合函数 单调性 假如对于属于定义域 I 内某 y y=fX x （ 1）利用定义 （ 2）利用已知函数的 单调性 个区间上的任意两个自变量 fx 1（ 3）利用函数图象 （在 的值 x 1, x2,当 x1fx 2 , 那 么 就 说 某个区间图 象下降为ox 1x 2减） fx 在这个区间上是 减函数 （ 4）利用复合函数 在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为 增函数,减函数减去一个增函数为减函数 （ 2）函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 假如对于函数 fx 定义域内 任意一个 x,都有 fx= （ 1）利用

7、定义（要先 判确定义域是否关于 fx,那么函数 fx 叫做 原点对称） 数 奇函（ 2）利用图象（图象 关于原点对称） 函数的 奇偶性 假如对于函数 fx 定义域内 （ 1）利用定义（要先 任意一个 x,都有 fx x, 判确定义域是否关于 那么函数 fx 叫做 偶函数 原点对称） （ 2）利用图象（图象 关于 y 轴对称） 指数与对数运算 一分数指数幂与根式： 假如 n x a,就称 x 是 a 的 n 次方根, 0 的 n 次方根为 0,如 a0,就当 n 为奇数时, a 的 3 / 20 第 3 页,共 20 页高三职高数学复习资料 n 次方根有 1 个, 记做 na；当 n 为偶数时,

8、 负数没有 n 次方根, 正数 a 的 n 次方根有 2 个, 其中正的 n 次方根记做 na 负的 n 次方根记做 na 1负数没有偶次方根； n an an 为奇2两个关系式： a n na ； | a | 数 n 为偶mn am 数 3,正数的正分数指数幂的意义： a n ； 正数的负分数指数幂的意义： m1annam 4,分数指数幂的运算性质： m a n a amn； amanam n ； m n a amn ； m a b ambm； a0 1,其中 m, 均为有理数, na, 均为正整数 b二对数及其运算 1定义：如 abNa 0 ,且 a 1 , N0 ,就 bloga N 2

9、两个对数： 常用对数： a10 , blog 10 N lg N ； ln N 自然对数： ae , b log e N 3三条性质： 1 的对数是 0,即 log a 1 0 ； 底数的对数是 1,即 log a a 1 ； 负数和零没有对数 4四条运算法就： log a MN log a M log a N； log a Mlog a Mlog a N ； N log a M nnlog a M ； log anM1 nlog M 5其他运算性质： 对数恒等式： alog a b b； 4 / 20 第 4 页,共 20 页高三职高数学复习资料 换底公式： log a b log c a

10、； 1 叫做对数函数 log a x log c b log a b log b c log a c ； log a b log b a1 ； log ambnnloga b m函数 名称 对数函数 定义 函数 y log a xa 0 且 a0 a 1a 1 y x 1y log a x y x 1y 图象 1,0 定义域 O 1,0 x 0, O x 值域 在 0, R过定点 图象过定点 1,0 ,即当 x 1 时, y 0 奇偶性 非奇非偶 单调性 上是增函数 在 0, 上是减函数 函数值的 loga x 0 x 1 loga x 0 x 1 loga x 0 x 1 loga x 0

11、x 1 变化情形 a 变化对 图象的影响 loga x 00 x 1 loga x 00 x 1 a越大图象越靠低；在第四象限a 越大图象越靠高 在第一象限内, 内, 函数名称 定义 函数 y 指数函数 且 a 1 叫做指数函数 x a a 0图象 a10a15 / 20 第 5 页,共 20 页高三职高数学复习资料 y y ax y a x y y 1y 10,1 0,1 定义域 O x O x R值域 0, 0 时, y 1 图象过定点 0,1 ,即当 x 过定点 奇偶性 非奇非偶 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 单调性 函数值的 ax 1 x 0 a x 1 x 0 ax 1 x

12、 0 ax 1 x 0 变化情形 a 变化对 图象的影响 ax 1 x 0 a x 1 x 0 在第一象限内, a 越大图象越高；在其次象限内, a 越大图象越低 （ 3）二次函数解析式的三种形式 一般式： f x ax2bx c a 0 顶点式： f x ax h2ka 0 两根式： f x a x x1 x x2 a 0 （ 2）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时,宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式 如已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f x 更便利 （ 4）二次函数图象的性质 二次函数 f x ax 2b

13、x c a 0 的图象是一条抛物线, 对称轴方程为 x b, 顶点坐标 2a 2是 2a b , 4ac b 4a 当 a 0 时,抛物线开口向上, 函数在 , b 上递减, 在 b, 上递增, 当 x b2a 2a 2a 24ac b b b时, f min x ；当 a 0 时,抛物线开口向下, 函数在 , 上递增, 在 , 4a 2a 2a 6 / 20 第 6 页,共 20 页高三职高数学复习资料 上递减,当 x b时, fmax x 4ac b2 b24ac 0 时,图象与 x 轴有两个交点 2a 4a 二次函数 f x 2 ax bx c a 0 当 M1x1,0,M2x2,0,|

14、M1M2 | |x1x2 | |a| 7 / 20 第 7 页,共 20 页高三职高数学复习资料 第四章 平面对量 1.向量：既有大小,又有方向的量 有向线段的三要素：起点,方向,长数量：只有大小,没有方向的量 零向量：长度为 0 的向量 度 单位向量：长度等于 1 个单位平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行 的向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量 2.向量加法运算： 三角形法就的特点：首尾相连 平行四边形法就的特点：共起点 三角形不等式： aba b ab a y2 aCCbC运算性质：交换律： ab b a； 结合律： a b c abc ； a00a坐标

15、运算：设 ax1 , y1 , b x2 , y2 ,就 a bx1 x2 , y1 18,向量减法运算： 三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量 x1 x2 , y1 y2 ab坐标运算：设 ax1 , y1 , bx2 , y2 ,就 a b 设 , 两点的坐标分别为 x1 , y1 , x2 , y2 ,就 x1 x2, y1 y2 3.向量数乘运算： 实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记a a 的方向相反；当 0 时, a作 a； 的方向与 0 时, a的方向与 a的方向相同；0 时, a当 当 a0 aax, y a ； aaa ； abab 运算律：

16、 坐标运算：设 ,就 ax, y x, y 8 / 20 第 8 页,共 20 页高三职高数学复习资料 第五章 数列 一,等差数列的性质： d1. 定义式 : a 2 a1 a3 a2 an an 1d 常数 ； 2. 通项公式： an a1 n 1d,推广型通项公式： an am n md , 变形： ana1ana m； mn1n3. 如成等差数列,就称 A 为 a, b 的等差中项,且 a2b； a p aq ； 4. 等差数列中,已知 * N , 如,就 a p aq an am ,如 2,就 2am 5. 如 an , bn 均为等差数列, 且公差分别为 d12,就数列 pan, a

17、n q , an kbn 也为等差数列,且公差分别为 pd 1 ,d 1 , d 1 kd2 ； 6. 在等差数列 an 中,等距离取出如干项也构成一个等差数列, 即 an , an m ,an 2 m , an 3 m , 为等差数列,公差为； 7. 等差数列 an 前 n 项和为 Sn ,就 Sn , S2n Sn , S3n S2n , 为等差数列, 公差为 2n d； 8. 如等差数列的项数为 2n,就有 S 偶 S 奇 S奇 an ； nd, an 1S等差数列的项数为奇数 n,就 Sn S奇 S 偶 且 a 中间项 S 奇 S偶, S奇 nn 11； 9. an 为等差数列中, S

18、2n 1 2n 1an ； S偶如 an , bn 均为等差数列 , 前 n 项和分别为 An , Bn ,就 A2n 1 an ； B2n 1 bn 10. 等差数列 an 通项公式是： an An B A 0 是一次函数的形式； 前 n 项和公式 Sn An 2 Bn A 0 是不含常数项的二次函数的形式； （注当 0 时, S n na 1 , a n a 1 ） 11. 如 a10, d0,有最大值,可由不等式组 an 0来确定 n； an 1 0如 a10,有最小值,可由不等式组 an 0来确定 n； an 1 0二, 等比数列的性质： 1. 定义式 : a 2 a3 a 4 an

19、q,（ n 2）； a1 a 2 a 3 an 1n 1 n m 2. 通项公式： an a1q ,推广型通项公式： an amq ； 3. 如 a,G, b 为等比数列,就 G 为 a,b 的等比中项,其 ab 0, G ab ； 称 中 * 24. 等比数列 an 中,已知 N , 如,就 a p aq an am ,如 2,就 an aq ap ； 5. 如 , 均为等比数列,且公比分别为 q12,就数列 , 1 , , an , 也为 an bn 9 / 20 第 9 页,共 20 页高三职高数学复习资料 等比数列,且公比分别为 111 q2 q 11| ； 为等比数列,公比为 q2

20、q1 6. 在等比数列 an 中,等距离取出如干项也构成一个等比数列, 即 an ,an m , an2 m , an 3m , 为等比数列, 公比为 m q； 7. 等比数列 an 前 n 项和为 Sn ,就 Sn , S2n Sn , S3n S2n , nq ； 留意：当 q1, n 2* kk N 时,此性质不成立 , 3k , 为等比数列,公比为 k 2 q ； 8. 等比数列 an 前 n 项积为 n,就 k , 2k k 2k 9. 等比数列 an 中,如 a1 0,就 q1 时,数列递增 ;0q1 时,数列递减； 如 a1 1 时,数列递减 ;0q L A LBL A B 公理

21、 1 作用：判定直线是否在平面内 （2）公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面； A CB 符号表示为： A, B,C 三点不共线 = 有且只有一个平面 , 使 A, B, C； 公理 2 作用：确定一个平面的依据； （3）公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线； L符号表示为： P = ,且 P L公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 空P 间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内,没有公共点； 13 / 20 第 13 页,共 20

22、 页高三职高数学复习资料 异面直线： 不同在任何一个平面内,没有公共点； 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行； 符号表示为：设 a, b,c 是三条直线 a b c b =ac 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面,空间这个性质都适用； 公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据； 3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 留意点： a 与 b 所成的角的大小只由 a, b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直 线中的一条上； 0 , ； 2 两条异面直线所成的角当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说

23、这两条异面直线相互垂直,记作 a b； 两条直线相互垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形； 运算中,通常 把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角； 空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系 1,直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有许多个公共点 a 来表（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外,可用 a a a 示 直线,平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定 1,直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行； 简记为：线线平行,就线面平行

24、； 符号表示： a = a b ab 平面与平面平行的判定 1,两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行； 符号表示： a b a b = P a 14 / 20 第 14 页,共 20 页高三职高数学复习资料 b 2,判定两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行； 直线与平面,平面与平面平行的性质 1,定理：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； 简记为：线面平行就线线平行； 符号表示： a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题； 2,定理：

25、假如两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行； 符号表示： = a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 直线,平面垂直的判定及其性质 直线与平面垂直的判定 1,定义 假如直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直L 与平面 相互垂直,记L,直 线 作 线 L 叫做平面 的垂线, 平面 叫做直 线 Lp L 的垂面； 如图,直线与平面垂直时 , 它们唯独公共点 P 叫做垂 足； 2,判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直； 留意点： a 定理中的“两条相交直线”这一条件不行忽视； b 定理表达了“直线与平面垂直”与“直

26、线与直线垂直”相互转化的数学思想； 平面与平面垂直的判定 1,二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2,二面角的记法：二面角 或 15 / 20 第 15 页,共 20 页高三职高数学复习资料 3,两个平面相互垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直； 直线与平面,平面与平面垂直的性质 1,定理：垂直于同一个平面的两条直线平行； 2 性质定理： 两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直； （一 ）空间几何体的表面积 1 棱柱,棱锥的表面积： 各个面面积之和 R23圆锥的表面积 S S rl r22 圆柱的表面积 S

27、2rl 2 r24 圆台的表面积 S rl r2Rl 5 球的表面积 4R2（二）空间几何体的体积 1 柱体的体积 V Shh2 锥体的体积 V 1Sh33 台体的体积 V 底 1（S 3 上S 上 S 下S 下 4 球体的体积 底 4R3V 3第十章 解析几何 倾斜角和斜率 1,直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l向上方向之间所成 的角 叫做直 l 的倾斜角 . 特别地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定 = 线 0 . 2, 倾斜角 的取值范 0 180. 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 . 畴： 3,

28、直线的斜率 : 90 的正切值叫做这条直线的斜率 , 斜率常用小写字母 k 表示 , 也就是 k 一条直线的倾斜角 = 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , =0 , k = 0 =0; 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 , k 不存在 . 由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角 确定存 , 但是斜率 k 不愿定存在 . 在 4, 直线的斜率公式 给定两点 P1x112x221 x2, 用两点的坐标来表示直线 : P1P2 的斜率： 斜率公式 : 2121 两条直线的平行与垂直 1,两条直线都有斜率而且不重合,假如它们平行,那么它们的斜率相等；反之,假如它们的斜率相等,那 么 它 们

29、 平 行 , 即 留意 : 上面的等价 下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立即假如 是在两条直线不重合且斜率存在的前提 k12, 那么确定有 L1L2 2,两条直线都有斜率,假如它们相互垂直,那么它们的斜率互为负倒数；反之,假如它们的斜率互为负倒 数,那么它们相互垂直,即 16 / 20 第 16 页,共 20 页高三职高数学复习资料 直线的点斜式方程 1, 直线的 点斜式 方程：直线 l经过点 P0 x0, y0 ,且斜率为 k y y0 k x x0 0, b y kx b2,直线的 斜截式 方程：已知直线 l的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 直线的两点式方程 1,直线的两点式方程：

30、已知两点 P1 x1, x2, P2 x2, y2 其中 x1 x2 , y1 y2 1212 2,直线的截 x2 2y2 y1 2距式方程：已知直线 l与 x 轴的交点为 A a,0 , 与 y 轴的交 P1P2 x2 点为 B 0, b ,其中 a 0,b 0直线的一般式方程 1,直线的一般式方程：关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C0 （ A, B 不同时为 0） 2,各种直线方程之间的互化； 直线的交点坐标与距离公式 两直线的交点坐标 1,给出例题：两直线交点坐标 L1 ： 342=0 L 1：2 +2=0 20得 2, 2 解：解方程组 3x 4 y 2x 2 y 20所以

31、 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2 ,2） 两点间距离 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 1点到直线距离公式： 点 P x0 , y0 到直线 l : Ax By C0 的距离为： dAx 0 By 0 C 2 A 2 B 2, 两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1 ： Ax By C1 0 , l 2 ： Ax By C 2 0 ,就 l1 与 l 2 的距离为 d C1 C 2 A 2 B 2 圆 1,平面内与两个定点 F 1 , F 2 的距离之和等于常数（大于 F 1 F 2 ）的点的轨迹称为 椭圆 即： | MF1 | | MF

32、2 | 2 a, 2a | F1F 2 | ； 这两个定点称为 椭圆的焦点 , 两焦点的距离称为椭圆的焦距 17 / 20 第 17 页,共 20 页高三职高数学复习资料 2, 椭圆的几何性质 ： 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 焦点的位置 图形 标准方程 2 x 2 y 1 a b02 y 2 x 1ab0a2b2a2b2范畴 a1x a 且 by bb1x b 且 a2y a a,0 , 2a,0 0, a, 0, a 顶点 轴长 F1 10, b, 20,b 1b,0 , 2b,0 短轴的长 2b 长轴的长 2a 焦点 F1 c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2 0,c

33、 焦距 F1 F2 2 2c c a2b2对称性 关于 x 轴, y 轴,原点对称 离心率 ec 1b20e 1 aa23,平面内与两个定点 , F 2 的距离之差的确定值等于常数（小于 F 1 F 2 ）的点的轨迹 称为 双曲线 即： | MF1 | | MF 2 | 2a, 2a | F1 F2 | ； 这两个定点称为 双曲线的焦点 ,两焦点的距离称为双曲线的焦距 4, 双曲线的几何性质 ： 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 2 x 2 y 1a0, b 02 y 2 x 1a0, b 0a22 ba2b2范畴 x ax a , y Ry a 或 y a ,

34、x R或 18 / 20 第 18 页,共 20 页高三职高数学复习资料 顶点 1 a,0 , 2 a,0 1 0, a, 2 0, a 轴长 虚轴的长 2b 实轴的长 2a 焦点 F1 c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2 0,c 焦距 F1 F2 2c c 2a 2b 2对称性 关于 x 轴, y 轴对称,关于原点中心对称 2离心率 e c 1 b2 e1a a渐近线方程 y b x y a x a b5,实轴和虚轴等长的双曲线称为 等轴双曲线 6,平面内与一个定点 F 和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹称为 抛物线 定点 F 称为 抛物线的焦点 ,定直线 l 称为抛物线的准线 7,抛物线的几何性质： 2 y 2 px 2 y 2 px 2 x 2 py 2 x 2 py 标准方程 p0p0p0p0图形 顶点 0,0 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F p, 0 F p, 0 F 0, pF 0, p2222准线方程 x px py p 2y p 222离心率 e1y 0y 0范畴 x