高三数学总复习教案第七章直线和圆的方程教育

1、第七章 直线和圆的方程供稿 :中山纪念中学 王家文 【要点与目标】直线的倾斜角和斜角；直线方程的点斜式和两点式；直线方程的一般式；两条直线平行与垂直的条件；两条直线的交角；点到直线的距离；用二元一次不等式表示平面区域；简洁线性规划问题；曲线与方程的概念；由已知条件列出曲线方程；圆的标准方程和一般方程；圆的参数方程；目标（1）懂得直线的倾斜角和斜率的概念,把握过两点的直线的斜率公式,把握由一点和斜率导出直线方程的方法；把握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式,并能依据条件熟 练地求出直线方程；（2）把握两条直线平行与垂直的条件,把握两条直线所成的角和点到直线的距离公式；能够依据直线的方程判

2、定两条直线的位置关系；（3）会用二元一次不等式表示平面区域；（4）明白简洁的线性规划问题,明白线性规划的意义,并会简洁应用；（5）明白解析几何的基本思想,明白用坐标法争论几何问题的方法；（6）把握圆的标准方程和一般方法,明白参数方程的概念,懂得圆的参数方程；6.1 直线方程和两条直线的位置关系【基础练习】1、直线 l 经过原点和点（1, 1）,就它的倾斜角是（）；A.4B. 5 4C. 4或5 4D. 4答案： A 2、两平行直线y52x 和y2x5间的距离是（）A.5 2B.D.5 2C. 3 2答案： B 解析：化成一般式,由平行线距离公式xydC 1C 2a 的值等于（）2 AB23、假

3、如直线ax2y10与直线y20相互垂直,那么A. 1B.1C.23D. 20的夹角是（）33答案： D 解析：直线相互垂直,k k2144、两直线x3y20与3xA.300B.0 60C.900D. 1200答案： B 解析：tank 2k 12x3y0的直线方程是；1k k 25、过点 A3 ,0,且平行于直线答案： 2x3y60；0的对称点的坐标是6、点（ 2,5）关于直线xy答案：（ 5, 2）【典型例题】【例 1】求满意以下条件的直线 l的方程；（1）在 y 轴上的截距为 3 ,且它与两坐标轴围成的三角形面积为 6；0（2）与直线 2 x y 4 0 的夹角为 45 ,且焦点在 x 轴

4、上；解：（1）设直线的方程为 x y 1,由题意得1 a 3 6,a 4；a 3 2当 a 4 时,直线 l 的方程为 x y 1 即 3 x 4 y 12 0；4 3当 a 4 时,直线 l 的方程为 x y 1 即 3 x 4 y 12 0；4 3（2）直线 2 x y 4 0 交 x 轴于点（2,0 ）,可设 l 的方程为 y k x 2；由两直线夹角公式有 tan 45 0 2 k,k 1或 k 3；1 2 k 3l 的方程为 y 1 x 2 或 y 3 x 2,即 x 3 y 2 0 或 3 x y 6 0；3留意：求直线方程时,可依据题中已知条件适当地挑选所求直线的形式,再依据题中

5、其他条件确定方程中的待定系数；变式 1.将直线 y x 3 1 绕它上面一点 1, 3 沿逆时针方向旋转 15 ,得到的直线方程 0是；变式 2.垂直于直线 2 x 3 y 4 0,且被坐标轴所截得的线段长为 13 的直线方程是；【例 2】 如图 7.1-1,已知点 A 2,1 ,直线 l 1: y x 2 和直线 l 2 : y 1 x 交于点 B, 1l 交2y 于点 C,求 ABC中 A的平分线方程；解：解方程组 得点 B 4,2,明显点 A 在 2l 上,1l 交 y 于点 C 0,2 ,直线 AC 的斜率k 1121；,x1,即点B 2lT C yA x202设A 的平分线 AT 的

6、方程为y1k x20 CATTAB ,就k1k1k1l2211k2得1,1122解得k0；T直线 AT 得方程为y1,将其代入yx；A的平分线方程为y1 1x2；留意：涉及三角形有关问题要考虑将直线与三角形的学问结合起来；变式 1：已知ABC 中A3, 2,B 1,5,C 点在直线 3xy30上,如1ABC 的面l1:x3y积为 10,就 C 点的坐标是；100与【例 3】求 过 点P0,1 的 直 线 l 的 方 程 , 使 l 夹 在 两 条 直 线l2: 2xy80之间的线段恰被P 点平分；ykx,解：但斜率 k 不存在时,明显不满意条件,设过点P0,1的直线方程为与直线1l ,2l 分

7、别交于A B 两点,如图7,12 k72；由y kxx 3 y1 10 0.及y kx2 x y1 8 0解得xA71,xB3 k又已知P0,1为 AB 的中点,就71k720,解得k1；3 k4所求直线方程为y1x1,即x4y40；4留意：与两直线相关问题,要考虑两直线的位置关系,结合题设条件,寻求解决问题的有效办 法；变式 1：直线 l 经过 2xy40和x3yl50 的 交点,且垂直于直线yy1 2x ,就直线 l 的方程是；1: 3x4y70和3 x480截得的线段长变式 2：直线 l 过点 A2,3 ,且被两平行直线为 3 2 ,就直线的方程是【例 4】点P 4,0关于直线 5x4y

8、210的对称点是PP 的中点A、（ 6,8）B、8, 6 C、（6,8）D、（ 6, 8）解：设点P4,0关于直线 5x4y210的对称点为P x 1,y 1,由轴对称概念Mx 124,y 120在对称轴 5x4y210上,且PP 与对称轴垂直,就有5.x 1244.y 121 0解得x 1426,y 18,P 1 6,8,应选 D y 1x 145留意：对称问题可化为点关于点对称,点关于直线对称的问题；变式 1： 直线 l 与直线 2x3y60关于点A1, 1对称,就直线 l 的方程为: 2x3y变式2：光线由点A 1,4射出,遇直线l60即行反射,已知其反射光线过点B 3,62 13,反射

9、线所在的直线方程为【小结】1、 直线的各种形式均有它的优越性,应在不同的题设下敏捷运用,要留意当直线斜率不存在 时的特别情形；2、 在解析几何中,设而不求往往是简化运算的重要方法之一,3、 在两条直线的位置关系中,争论最多的是平行与垂直,在两条直线的夹角公式tank 1k 2中,当分子为0 时,两条直线斜率相等,平行；当分母为0 时, tan不1k k2存在,900 ,垂直；【达标训练】1、经过点（ 2,1）且倾斜角的正弦等于3的直线方程是（）5A 、y13xx2B、y13x244 4C、D、3 4y12y1x232、过点A 1,1作直线 l ,使 l 在两坐标轴上的截距相等,这样的直线有（）

10、条A 、0 B、1 C、2 D、3 3、三点A 3,1,B 2, k ,C8,11在一条直线上,就k 的值是（）A 、2 B、 3 C、9 D、 9 4、 如直线xa1ya210与直线ax2y60平行但不重合,就a 的值（A 、1 B、 2 C、2 D、 1 或 2 35、三条直线 l 1: x y a 0,l 2: x ay 1 0,l 3: ax y 1 0 能构成三角形的条件是（）A、a 1 B、a 1 C、a 2 D、a 1 且 a 26、如点 P在直线 x y 4 0 上, O 为原点,就 OP 的最小值是；07、已知直线 l : 2 x y 4 0 与 x 轴相交点 P,现将直线

11、l 绕点 P 逆时针旋转 45 所得直线方程是；8、直线 l 与两直线 y 1,x y 7 0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点是 1, 1 ,就直线 l 的斜率为；9、求与直线 2 x y 4 0 的夹角为 45 ,且交点在 0 x 轴上的直线方程；10、（1）求证：无论m为任意实数,直线 2 m x 1 m y 5 m 0 都过肯定点 P,并求出此点坐标；（2）分别在 yx及x轴上各取一点B,C 使BPC的周长最小；6.2 线性规划【基础练习】1、不等式x4y9o 表示直线x4y90（）A、上方的平面区域B、下方的平面区域C、上方的平面区域（包括直线）D、下方的平面区域（包括直线

12、）2、不等式 x y 2 所表示平面区域的面积为（）A、2 B、 4 C、8 D、16 3、如 x 0, y 0,且 x y 1,就 z x y的最大值是（）A、1 B、 1 C、2 D、24、如 0 x 1,0 y 2,且 2 y x 1,就 z 2 y 2 x 4 的最小值为（）A、2 B、 3 C、 4 D、5 5、点 P 0,4 到直线 x 2 y 2 0 的距离等于 2 5 且在不等式 3 x y 3 表示的平面区域内,就点 P 的坐标为；【典型例题】【例 1】设z2xy ,式中变量,x y 满意条件4xy62xy4求 z 的最大值和最小值；解：由已知,变量 ,x y 满意的每个不等

13、式都表示一个平面区域,因此所表示的区域为如图中的四边形 ABCD. 当z2xy 过点 C 时, z 取最小值,当z2xy 过点 A 时,O CB D A z 取最大值；即当x3,y1时,z min7,当x5,y1时,z max11；留意：求线性规划问题,应用图解法有下面几个步骤：（1）指出线性约束条件和线性目标函数；（2）画出可行域的图；（3）求出目标函数的可行解；（4）求出目标函数的最优解；6 x 7 y 50变 式 1 ： 已 知 ,x y满 足 条 件 x 3, 如 ,x y都 是 整 数 , 就 z 3 x 5 y 的 最大 值y 2是；5 x 3 y 15变 式 2 ： 已 知 ,x

14、 y满 足 条 件 y x 1, 就 z 3 x 5 y 的 最 大 , 最 小 值 分 别x 5 y 3是；y D 【例 2】用图解法求线性规划问题：s minx 1x 22x （即求 S 的最小值）C 2 B A xx 1x2222 x 1x 2x 10,00 解：如图作出直线x 1x 22,x 1x 22,ABCD. l3:x 12x26,x 10,x20的图像,可得其可行域2x24,由s0,2,4,6, 作出等值线；l0:x 12x20,l1:x 12x22,l2:x 1 明显,直线离原点越近,S 值越小,而且在可行域B 点达到最小值；由x 1x 22,求得 B2,0 ,所以S min

15、2202.x 20留意：利用图解法只适用两个变量得线性规划问题；2 x 3 y 12,变式 1:如 3 x y 12, 且 S 5 x 7 , y 就 S maxx 0, y 0【例 3】某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付 3000 元的固定费用,它生产 1 千克糖果的成本是 10 元,而销售价是每千克 15 元,试问：每天应生产并销售多少糖果,才能使收支平稳,即它的盈亏平稳点是多少？解：设生产 x 千克的糖果的成本函数为 y x 3000 10 x ,销售 x 千克的糖果的收益函数为R x 15 x ,在同一坐标系中画出它们的图像,交点的横坐标就是反映盈亏平稳的产销量,令 y x

16、 R x ,得 3000 10 x 15 x 得 x 600.,9000 即每天必需生产并销售 600 千克糖果,这条 y x 流水线才能做到盈亏平稳,从图中可以看出,6000 当 x 600 时,R x y x ,表示有盈利,R x 反之就表示亏本；3000 300 600 【例 5】某人有楼房一幢,室内面积共 180m 2 ,拟分隔成两类房间作为旅行客房,大房间每间面积为 18,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元,小房间每间面积为 15,可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元,装修大房间每间需要 1000 元,装修小房间每间需要 600 元,假如他们只能筹 8000

17、 元用于装修, 且游客能住满客房,它应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益？解：设应隔出大房间x 间和小房间 y 间,就目标函数为z540 x350y ,就约束条件为作出可行域,依据目标函数 z 200 x 150 y ,作出一组平行线 200 x 150 y t ；当此线经过直线 18 x 15 y 180 和直线 1000 x 600 y 8000 的交点 C 20 60 , ,此直7 7线方程为 200 x 150 y 13000,由于20 60 不是整数,所以经过整点（3,8）时,才是他们7 7 7的最优解,即应隔大房间 3 间,小房间 8 间,所获利益最大；【小结】1、中学所学的

18、线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题,而解决这类问题 的最常用和最重要的一种方法就是图解法；2、寻求线性规划问题中最优解的关键问题是应用数形结合的方法,意义,弄清目标函数所表示的几何3、寻求整点最优解的方法仍是平移找解的方法,即先打网格,描整点,平移直线,找最先经过和最终经过的整点便是最优整点解；【达标训练】 A 、B、C、D、1、由 x 0, y 0 及 x y 4 所围成的平面区域的面积是（）A、16 B、8 C、 4 D、2 2、如不等式 ax 2 a 1 y 1 0 表示直线 ax 2 a 1 y 1 0 的下方区域,就 a 的取值范畴是（）A、a 0 B、a 1C、

19、a 0 D、0 a 12 23、方程 x y 2 2 的图像,绕 y 轴旋转一周所得的旋转体体积是（）A、8 B、16 C、D、23 3 34、已知直线 x 3 y 7 0, kx y 2 0 与 x 轴、 y 轴围成的四边形内接一个圆,就实数 k 的值为（）A、3 B、 3 C、 6 D6、5、ABC 的三个顶点为 A 4,1,B 1, 6,C 3,2,R 为这个三角形的三边为成的区域（包括边界） ,当 P x y 在 R 中变动时,S 4 x 3 y 的最大值和最小值分别为（）A、13 和 18 B、18 和 14 C、14 和 18 D、14 和 13 x y 0,6、不等式组 x 1,

20、 表示平面区域的面积是；y 1.2 27、曲线 x y x y 所围成的图形面积是；8、如 x 0, y 0, x y 1 0, x 2 y 5 0,就 t 2 x 5 y 的最大值是；29、已知函数 f x ax c 满意 4 f 1 1, 1 f 2 5,求 f 3 的取值范畴；10、某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示,但国家每天安排给该厂的煤、电有限；每天供煤至多56 吨,供电至多450 千瓦,问该厂如何支配生产,使得该厂日产值大？用煤用电产值（吨）（千瓦）（千元）甲产品7 20 8 乙产品3 50 11 6.3 圆的方程供稿 : 中山纪念中学 常丽霞 要点与目标：学

21、问要点：圆的定义,圆的标准方程,一般方程 ,参数方程；目标：把握圆的定义,会求圆的方程 ,把握简洁的直线与圆的关系 . 【基础练习】1圆x2y24x2y0的圆心和半径分别是（D ）5-2,1, 5 A 2,-1, B 2,-1, 5 C -2,1, 5答案 : A 2点（ 1,1）在圆xa 2ya 24的内部,就a 的取值范畴是（）1 , 或a1D a1A 1a1, B 0aC a1答案 : A 32022 年北京春季高考题 已知直线 ax+by+c=0 abc 0 与圆 x2+y2=1 相切 ,就三条边长分别为 a , b c 的三角形（）A 是锐角三角形 B 是直角三角形 C 是钝角三角形

22、 D 不存在答案 : B 4X 2 与 y2 的系数相同 ,且不等于零 ,并且没有 xy 这样的项是二元二次方程表示圆的（）A 必要条件 B 充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件答案 : A 5过点 C-1,1和 D（1,3）,圆心在 x 轴上的圆的方程是答案 : （x-2）2+y2=10 _；6.方程x11y2 1表示的曲线是 _ ；（答案：两个半圆）7已知圆 C 的圆心在直线 l 1: x y 1 0 上,与直线 l 2:4 x 3 y 14 0 相切,且截直线l 3: 3 x 4 y 10 0 所得弦长为 6,就圆 C 的方程： _ ；2 2（答案：x 2 y 1 25

23、）【典型例题】【例 1】一圆过点 P（2,-1）且和直线xy10相切,圆心在直线y=-2x 上,求此圆的方程；解 ： 设 圆 方 程 为xa2yb22r2, 由 已 知 ,xa221b2r2,解 得ab1r,2a=1,b=-2,r=2 或 a=9,b=-18,r=132 . 22 或x92b2 .2338；18所以圆的方程为x12y留意：求圆的方程,可先设所求圆的标准方程式或一般方程,再由题设条件建立方程组,解方程组确定方程中的待定系数；变式1：假如三角形的顶点分别是o0,0,A0,15,B 8,0,那么它的内切圆方程是_ ；答案：（x-3）2+（y-3）2=9 【例 2】求圆x2y24x12

24、y390关于直线 3x4y50的对称圆方程；解：圆方程可化为x22y621, 圆心 O-2,6, 半径为1；设对称圆圆心为O a b , , 对称,因此有3a24b2650解得a32就 O 与 O 关于直线 3x4y5052b16 3b26所求圆的方程为x322a2 45y2621；55留意：圆的对称问题可以转化为点圆心 的对称问题,由对称性质知对称圆半径相等；变 式1 ： 圆x2y24x12y3q0关 于 点 （ 1 , 1 ） 的 对 称 圆 方 程 是_ ；答案 : （ x-4）2+（y+4）2=40-3q 变式2 ：圆x2y2pxqy0关于y轴对称的圆的方程是_ ；答案 : x2y2x

25、pxyqy203x214 m2y16m490,如该方程表示一个圆,【例 3】设方程22m求 m 的取值范畴及这时圆心的轨迹方程；解：配方得：xm32y142 m216 m7m2该方程表示圆,就有16m72 m0,得m1,1,此时圆心的轨迹方程为xm3,消去 m,得7y12 4 my4x321,由m1,1得 x=m+320 ,4 77所求的轨迹方程是y4x321,x20 , 4 7留意：方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,肯定要争论变量的取值范畴,如题中x20 ,4 7ax2ay24a1x4y0表示圆,求实数a 的取值范畴,并求出其中半变式 1：方程径最小的圆的方程；解：原方程可化为x2 a12

26、y22 4 a22 a2222aaa2a22a20,当 a0 时,原方程表示圆；又r4a22a22a22a24 a422a22a2a2a当a2,r min2,所以半径最小的圆方程为x12y12AQ ,求 PQ 中点的轨【例 4】已知圆 x2+y2=16,A （ 2,0）,如 P,Q 是圆上的动点,且AP迹方程；解：设 PQ 中点 M 的坐标为（ x,y ）,由已知圆的参数方程,可设P4cos1,4sin1,2sin1sin2- （1）Q4cos2,4sin2,x2cos12cos2x2y2448 cos1cosy2sin12sin2又 APAQ ,KPAKAQ1,4sin114sin2221,

27、化简得4cos2 4cos4 sin1sin2cos1cos22 cos1cos21x1代入（ 1）式,得x2y282x1,所以所求轨迹方程为x2y22x60；【小结】1 求圆方程： 主要用待定系数法,依据题设选用圆的标准方程或一般方程,联立方程求出a,b,r,或 D,E ,F；2 留意数形结合的方法的应用,充分应用圆的几何性质,简化运算过程；【达标训练】1方程x2y2xym0表示一个圆,就m 的取值范畴是（）A m2B m2C m1D m122答案 : C 2已知圆心为点（2, -3）,一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,就这个圆的方程是（）6y80B x2y24x6y80A x2y24

28、xC x2y24x6y0D x2y24x6y0答案 : D 3圆x2y2DxEy30的圆心在 x 轴上,半径r=2, 且 DE ,就 D= （）A C 1 D 2 1B 2答案 : D 4M（3,0）是圆x2y28 xx2y100内一点,过 M 点最长的弦所在的直线方程是（0）A xy30C 2xy60D 2xy6B y30答案 : B 5 过 点A （ 1 , 2 ） 和B （ 1 , 10 ） 且 和 直 线x2y10相 切 的 圆 方 程 为_. 答案 : （ x-3）2+（ y-6）2=80 或（ x+7）2+（y-6）2=80 0的距离等于1 的点有 _个；6圆x32y329上到直线

29、 3x4y11答案 : 2 2 27已知 BC 是圆 x y 25 的弦,且 BC 6,就 BC 的中点的轨迹方程是 _；答案 : x2+y 2=16 8已知直线 y 2 x 4 与 x 轴和 y 轴分别交于 A,B ,求以线段 AB 为直径的圆的方程；答案 : （ x+1）2+（y-2）2=5 29. 直线 y=k（x-3）+4 与曲线 y 1 4 x 有一个交点,求实数 k 的取值范畴；解：直线 y=k（x-3）+4 过定点 P（3, 4）,曲线 y 1 4 x 化为 x2+（ y-1）2=4 2y 1由于 A （2,1）,B（ -2,1）所以可得kPA3,kPB3 5,又设 lPC: y

30、-4=k （x-3）即 kx-y+4-3k=0, 3；由1243 k2得k152 30或k152 30（舍）k155综上所述,所求实数k 的取值范畴是：k152 30或3 5k56.4 直线与圆圆与圆的位置关系（供稿 :中山纪念中学 常丽霞）【要点与目标】学问要点 : 直线与圆 ,圆与圆的位置关系目标 : 通过练习把握基本学问,并能综合运用所学学问正确解题. 【基础练习】1.x 轴与圆x2y22x4y10的位置关系是（）A 相切通过圆心B 相离C 相交且不过圆心D 答案 : A 2x2y24y0的位置关系是（2.圆x2y2x0与圆）A 相离B 外切C 相交D 内切答案 :C 3.由点 M5,3

31、 向圆x2y22x6y90所引切线长是（）x2 1ya21相切 ,A 51B 3C 51 D 1 A-1,0,B0,2 的直线 l 与圆答案 : A 4.（2022 年上海春季高考题）如过两点就 a=_. 答案 : 45x2y22x4y0平分 ,且不通过第四象限,那么l 的斜率取值范畴是5.假如直线l 将圆_. 答案 : 0,212 xy240的曲线外形是 _. 6.方程xy答案 :圆或二射线【典型例题】【例 1】始终线经过点 P 3, 3 被圆 x 2y 225 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程 . 2解: 1 当斜率 k 不存在时 , 过点 P 的直线方程为 x 3 ,代入 x 2y

32、 225 ,得 y 1 4, y 2 4 . 弦长为 y 1 y 2 8 ,符合题意 . 3 32当斜率 k 存在时 ,设所求方程为 y k x 3 ,即 kx y 3 k 0 . 2 22 2由已知 ,弦心距 OM 5 4 3k 0 0 3 k 32 3 , 解 得 k 3. 所 以 此 直 线 方 程 为 y 3 3 x 3 , 即k 2 1 4 2 43 x 4 y 15 0 . 所以所求直线方程为 x 3 0 或 3 x 4 y 15 0 . 留意 : 关于圆的弦长问题 ,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解 ,也可用代数法的弦长公式求解 .此题仍要留意 ,斜率不存在时

33、直线 x 3 0 符合题意 . 【例 2】自点 A-3,3 发出的光线 l 射到 x 轴上 ,被 x 轴反射 ,其反射光线所在的直线与圆2 2x y 4 x 4 y 7 0 相切 ,求光线 l 所在的直线方程 . 解：由已知可得圆 C：x 2 2y 2 21 关于 x 轴对称的圆 C 的方程为2 2x 2 y 2 1,其 C（2,-2）中,就 l 与圆 C相切,设 l: y-3=kx+3, 51 kk 52 1,整理得 12k2+ 25k+12=0, 解得 k 34 或 k 43,所以所求直线方程为 y-3= 3x+3 或 y-3= 4x+3 ,即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.

34、 4 3留意 : 关于求切线问题 ,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件 ,是求圆的切线方程的常用方法 .如此题由“0” 求切线方程也可 ,但过程要复杂些 . 2变式 1. 曲线 y 1 4 x 2 x 2 与直线 y=k （x-2）+4 有两个交点 ,就实数 k 的取值范围是 _. 答案 : 12 , 5假如实数满意x22y23,求【例 3】（1）y的最大值 . 2y23上一点到原点连线的斜率ky的最大值 ,x（2）2x-y 的最小值 . 解: （1）问题可转化为求圆x2x由图形性质可知,由原点向圆x22y23作切线 ,其中切线斜率的最大值即为y的最x大值 . 2 k03,解得k3或k3设

35、过原点的直线为y=kx, 即 kx-y=0, 由k21ymax3. 42 3cos3sin415sinx（2）x,y 满意x22y23, x23 cos2 xyy3sin2xymin415. 留意 : . 圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题 题中应用也特别广泛 . ,由圆的参数方程设圆上一点的坐标在解2 2【例 4】一 个 圆 和 已 知 圆 x y 2 x 0 外 切 ,并 与 直 线 l: x 3 y 0 相 切 于 点 M（ 3, 3 ）,求该圆的方程 . 解: 已知圆方程化为 : x 1 2y 21 ,其圆心 P（1,0）,半径为 1.设所求圆的圆心为 C（a,b）, 2 2 2

36、2就半径为 a 3 b 3 , 由于两圆外切 , PC 1 a 3 b 3 ,从而2 2 2 2a 1 b 1+ a 3 b 3 1 又所求圆与直线 x 3 y 0 相切于 M 3, 3 , 直线 CM l k CM k l 1 ,于是1 b 3 1 ,即 b 3 a 4 3（2）3 a 3将（ 2）代入（ 1）化简 ,得 a2-4a=0, a=0 或 a=4 2当 a=0 时, b 4 3 ,所求圆方程为 x 2y 4 3 362 2当 a=4 时,b=0,所求圆方程为 x 4 y 4 . 2 2 2 2变式 1: 求圆 C1: x y 1 与圆 C2: x y 2 x 2 y 1 0 的公共弦所在直线被圆2 2 25C3: x 1 y 1 所截得的弦长 . 4解: 圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在直线方程为 : x 2 y 2 1 x 2 y 2 2 x 2 y 1 0 即 x+y-1=0 圆心 C3 到直线 x+y-1=0 的距离 d 1 1 1 22 2所以所求弦长为 2 r