高一数学基础知识点归纳总结

1、名 师 归 纳 总 结 | | 大 肚 有 容 , 容 学 习 困 难 之 事 , 学 业 有 成 , 更 上 一 层 楼 高一数学基础学问点总结第 1 页,共 26 页1集合名 师 归 纳 总 结 | | 大 肚 有 容 , 容 学 习 困 难 之 事 , 学 业 有 成 , 更 上 一 层 楼 2函数 3基本初等函数 4立体几何初步 5平面解析几何初步 6基本初等函数 7平面对量 8三角恒等变换 9解三角形 10.数列 11.不等式第 2 页,共 26 页1 集合 肯定范畴的,确定的,可以区分的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集名 师 归 纳 总 结 | | 大

2、 肚 有 容 , 容 学 习 困 难 之 事 , 学 业 有 成 , 更 上 一 层 楼 合的元素或简称元；如（1）阿 Q 正传中显现的不同汉字（2）全体英文大写字母集合的分类 :并集 ：以属于 A 或属于 B 的元素为元素的集合称为A 与 B 的并（集）,记作A B（或 B A）,读作 A并 B （或 B并 A）,即 A B=x|x A,或 xB 交集 ： 以属于 A 且属于 B 的元素为元素的集合称为A 与 B 的交（集）,记作AB （或 BA ）,读作 A交 B （或 B交 A）,即 AB=x|x A,且 xB 差：以属于 A 而不属于 B 的元素为元素的集合称为A 与 B 的差（集）注

3、:空集 包含于任何集合,但不能说空集属于任何集合注:空集属于任何集合,但它不属于任何元素. 空集属于任何集合吗 . 你这句话是错误的 , 空集也是集合 ,而集合跟集合之间的关系只能是包含和被包含的关系.只有集合里的元素与集合间的关系才是属于关系 但是假如你把 “ 属于 ” 改成 “ 包含于 ” 就对了 . 也就是 “ 空集包含于任何集合 ” .空集真包含于任何非空集合也是对的.某些指定的对象集在一起就成为一个集合,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做 ；集合的性质：确定性： 每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如 个子高的

4、同学 小的数 都不能构成集合；互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象；不能写成 无序性： a,b,cc,b,a 是同一个集合1, 1, 2,应写成 1,2；集合有以下性质：如 A 包含于 B,就 AB=A ,A B=B 常用数集的符号：（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集）,记作 N （2）非负整数集内排除 0 的集,也称正整数集,记作 N+（或 N*）（3）全体整数的集合通常称作整数集,记作 Z （4）全体有理数的集合通常简称有理数集,记作 Q （5）全体实数的集合通常简称实数集,级做 R 集合的运 算 ：1.交换律A B=BAAB=B A 2.结合律A B C=A B

5、CA B C=A B C 3.安排律第 3 页,共 26 页A BC=A B A CAB C=AB A C 例题已知集合 A a 2, a1, 3, B a3,2a1,a 21,且 AB 3,求名 实数 a 的值这一区师 归 AB 3纳 总 结 3B| | 如 a3 3,就 a0,就 A 0,1, 3, B 3, 1,1大 肚 有 AB 3,1与 B 3冲突,所以a3 3容 , 容 如 2a 1 3,就 a 1,就 A 1,0, 3, B 4, 3,2学 习 此时 AB 3符合题意,所以a 1困 难 之 2 函数事 , 学 业 有 成 函数的单调性：设函数fx 的定义域为I. , 更 假如对于

6、属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 当 x1x2 时：上 （1）如总有 fx1fx2, 就称函数 y=fx 在这个区间上是减函数；楼 假如函数 y=fx 在某个区间上是增函数或减函数,就称函数 y=fx 在这一区间上具有严格的单调性,间叫做函数 y=fx 的单调区间；函数的奇偶性：在函数 y=fx 中,假如对于函数定义域内的任意一个 x. （1）如都有 f-x=-fx, 就称函数 fx为奇函数；（2）如都有 f-x=fx, 就称函数 fx 为偶函数；假如函数 y=fx 在某个区间上是奇函数或者偶函数,那么称函数 y=fx 在该区间上具有奇偶性；1作法与图形：通过如下 3

7、 个步骤（ 1）列表；（ 2）描点；（ 3）连线,可以作出一次函数的图像 一条直线；因此,作一次函数的图像只需知道 2 点,并连成直线即可；（通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点） 2性质：（ 1）在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满意等式：y=kx+b ；（ 2）一次函数与x 轴交点的坐标总是（0, b正比例函数的图像总是过原点； 3 k, b 与函数图像所在象限：当 k 0 时,直线必通过一、三象限,y 随 x 的增大而增大；当 k 0 时,直线必通过二、四象限,y 随 x 的增大而减小；当 b 0 时,直线必通过一、二象限；当 b 0 时,直线必通过三、四象限；特殊地,当 b=O

8、 时,直线通过原点 O（0,0）表示的是正比例函数的图像；这时,当 k0 时,直线只通过一、三象限；当 自变量 x 和因变量 y 有如下关系：y=kx+b k 0 时,直线只通过二、四象限；就此时称 y 是 x 的一次函数；当 b=0 时, y 是 x 的正比例函数；即： y=kx （ k 为常数, k 0）名 例 证明函数在上是增函数师 归 纳 总 结 | | 大 肚 1分析解决问题针对同学可能显现的问题,组织同学争论、沟通有 容 , 证明：任取, 设元容 学 习 困 难 之 求差事 , 学 业 有 变形成 , 更 上 一 层 楼 , 断号即上是增函数定论函数在3 基本初等函数指数函数的一般

9、形式为y=axa0且不 =1 ,从上面我们对于幂函数的争论就可以知道,要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域,就只有使得 如下列图为 a 的不同大小影响函数图形的情形；在函数 y=ax 中可以看到：（1） 指数函数的定义域为全部实数的集合,这里的前提是a 大于 0 且不等于 1,对于 a 不大于 0 的情形,第 5 页,共 26 页就必定使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时 a 等于一般也不考虑；（2） 指数函数的值域为大于 0 的实数集合；（3） 函数图形都是下凹的；名 师 归 纳 总 结 | | 大 肚 有 容 , 容 学 习 困 难 之 事 , 学 业 有 成 ,

10、更 上 一 层 楼 （4） a 大于 1,就指数函数单调递增；a 小于 1 大于 0,就为单调递减的；（5） 可以看到一个明显的规律,就是当a 从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0）,函数的曲线从分别接近于Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置；其中水平直线y=1 是从递减到递增的一个过渡位置；（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴 ,永不相交；（7） 函数总是通过（ 0, 1）这点（8） 明显指数函数无界；（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数；例 1：以下函数在R 上是增函数仍是减函数？y=4x 由于

11、 41 ,所以 y=4x 在 R 上是增函数；y=1/4x 由于 01/41, 所以 y=1/4x 在 R 上是减函数对数函数一般地,假如 a（ a 大于 0,且 a 不等于 1）的 b 次幂等于 N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 log aN=b, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数；真数式子没根号那就只要求真数式大于零 底数就要大于 0 且不为 1 ,假如有根号 ,要求真数大于零仍要保证根号里的式子大于零,对数函数的底数为什么要大于 0 且不为 1 在一个一般对数式里 a0, 或=1 的时候是会有相应 b 的值的；但是,依据对数定义 : logaa=1 ；假如 a=1

12、 或=0 那么 logaa 就可以等于一切实数（比如 log1 1 也可以等于 2,3,4,5,等等）其次,依据定义运算公式：loga Mn = nloga M 假如 a0,N0 ,那么：（1）logaMN=logaM+logaN; （2）logaM/N=logaM-logaN; （3）logaMn=nlogaM （n 属于 R）4 立体几何初步. 1.1.1 构成空间几何体的基本元素柱. 1.1.2 棱、棱锥和棱台的结构特点. 1.1.3 圆柱、圆锥和圆台的结构特点. 1.1.4 投影与直观图. 1.1.5 三视图. 1.1.6 棱柱、棱锥和棱台的表面积. 1.1.7 柱、锥和台的体积棱柱表

13、面积 A=L*H+2*S, 体积 V=S*H L- 底面周长 ,H-柱高 ,S- 底面面积 圆柱表面积 A=L*H+2*S=2 *R*H+2 *R2, 体积 V=S*H= *R2*H L- 底面周长 ,H-柱高 ,S- 底面面积 ,R-底面圆半径 球体表面积 A=4 *R2, 体积 V=4/3 *R3 R- 球体半径 圆锥表面积 A=1/2*s*L+ *R2, 体积 V=1/3*S*H=1/3 *R2*H s- 圆锥母线长 ,L- 底面周长 ,R- 底面圆半径 ,H-圆锥高 棱锥表面积 A=1/2*s*L+S, 体积 V=1/3*S*H 第 7 页,共 26 页s- 侧面三角形的高 ,L- 底

14、面周长 ,S- 底面面积 ,H- 棱锥高 名 师 归 纳 总 结 | | 大 肚 有 容 , 容 学 习 困 难 之 事 , 学 业 有 成 , 更 上 一 层 楼 长方形的周长 =（长 +宽） 2 正方形a 边长 C4a Sa2 长方形a 和 b边长C 2a+b Sab 三角形a,b,c 三边长ha 边上的高s 周 长 的一 半A,B,C 内角其 中s a+b+c/2 S ah/2 ab/2 sinC ss-as-bs-c1/2a2sinBsinC/2sinA 四边形d,D 对角线长对角线夹角SdD/2 sin 平行四边形a,b边长h a 边的高两边夹角S ah absin 菱形 a边长夹角

15、D长对角线长d短对角线长S Dd/2 a2sin 梯形 a 和 b上、下底长h高m中位线长S a+bh/2 mh d 直径C d 2 r S r2 d2/4 扇形r 扇形半径正方形的周长 =边长 4 长方形的面积 =长宽正方形的面积 =边长 边长三角形的面积 =底高 2 平行四边形的面积=底 高梯形的面积 =（上底 +下底） 高 2 直径 =半径 2 半径 =直径 2 圆的周长 =圆周率 直径 = 圆周率 半径 2 圆的面积 =圆周率 半径 半径长方体的表面积 = （长 宽+长 高宽 高） 2 长方体的体积=长宽 高 正方体的表面积 =棱长 棱长 6正方体的体积 =棱长 棱长 棱长 圆柱的侧面

16、积 =底面圆的周长 高圆柱的表面积 =上下底面面积 +侧面积圆柱的体积 =底面积 高圆锥的体积 =底面积 高 3 长方体（正方体、圆柱体）的体积 =底面积 高 平面图形名称符号 周长 C 和面积 S a 圆心角度数C 2r2 r a/360 S r2 a/360 弓形l弧长b弦长h矢高r半径圆心角的度数S r2/2 /180-sin r2arccosr-h/r -r-h2rh-h21/2 r2/360 - b/2 r2-b/221/2 rl-b/2 + bh/2 2bh/3 圆环 R外圆半径 r内圆半径 D外圆直径 d内圆直径 S R2-r2 D2-d2/4 椭圆 D长轴 d短轴 S Dd/4

17、 立方图形 名称 符号 面积 S 和体积 V 正方体 a边长 S 6a2 V a3 长方体 a长 b宽 c高 S2ab+ac+bc Vabc 棱柱 S底面积 h高 V Sh 棱锥 S底面积h高 VSh/3 棱台 S1 和 S2上、下底面积 h高 VhS1+S2+S1S11/2/3 拟柱体 S1上底面积 S2 下底面积S0中截面积 h高 VhS1+S2+4S0/6 圆柱 r底半径 h高 C底面周长S 底 底面积 S 侧 侧面积 S 表 表面积 C 2 r S 底 r2 S 侧 Ch S 表 Ch+2S 底 VS 底 h r2h 空心圆柱 R外圆半径 r内圆半径h高 V hR2-r2 直圆锥 r底

18、半径 h高 V r2h/3 圆台 r上底半径 R下底半径h高 V hR2 Rrr2/3 球 r半径d直径 V 4/3 r3 d2/6 球缺 h球缺高 r球半径a球缺底半径 V h3a2+h2/6 h23r-h/3 a2 h2r-h 球台 r1 和 r2球台上、下底半径h高 V h3r12r22+h2/6 圆环体 R环体半径D环体直径 r环体截面半径 d环体截面直径 V 2 2Rr2 2Dd2/4 桶状体 D桶腹直径 d桶底直径 h桶高 V h2D2 d2/12 母线是圆弧形 ,圆心是桶的中心 第 8 页,共 26 页V h2D2 Dd 3d2/4/15 名 师 归 纳 总 结 | | 大 肚

19、有 容 , 容 学 习 困 难 之 事 , 学 业 有 成 , 更 上 一 层 楼 母线是抛物线形 三视图的投影规章是：主视、俯视长对正主视、左视高平齐左视、俯视宽相等点线面位置关系公理一：假如一条线上的两个点在平面上就该线在平面上 公理二：假如两个平面有一个公共点就它们有一条公共直线且全部的公共点都在这条直线上 公理三：三个不共线的点确定一个平面 推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面推论三：两平行直线确定一个平面公理四：和同一条直线平行的直线平行异面直线定义：不平行也不相交的两条直线判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线；等角

20、定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相同,那么这两个角相等线线平行 线面平行 假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；线面平行 线线平行 假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行；线面平行 面面平行 假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；面面平行 线线平行 假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行；线线垂直 线面垂直 假如一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面；线面垂直 线线平行 假如连条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直

21、线平行；线面垂直 面面垂直 假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直；线面垂直 线线垂直 线面垂直定义： 假如一条直线 a 与一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 a 垂直于平面 ；面面垂直 线面垂直 假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；三垂线定理 假如平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影,就这条直线垂直于斜线；第 9 页,共 26 页例题名 师 归 纳 总 结 | | 大 肚 有 容 , 容 学 习 困 难 之 事 , 学 业 有 成 , 更 上 一 层 楼 对于四周体ABCD,1 如 AB=AC,BD=CD如何

22、证明 BC 垂直于 AD.2 如 AB 垂直于 CD,BD 垂直于 AC, 如何证明 BC 垂直于 AD. 证明：1. 取 BC 的中点 F,连结 AF,DF,就AB=AC,BD=CD, ABC 与 DBC 是等腰三角形,AF BC,DF BC. 而 AF DF= F, BC 面 AFD. 又 AD 在平面 AFD 内,BC 2. 设 A 在面 BCD 上的射影为O.连结 BO,CO,DO. 就CD AB,CD AO,ABAO=A,CD 面 ABO. 而 BO 在平面 ABO 内, BO CD. 同理, DO BC.因此, O 是 BCD 的垂心,因此有CO BD. BD CO,BD AO,C

23、OAO=O, BD面 AOC. 而 AC 在平面 AOC 内, BD AC. 5 平面解析几何初步两点距离公式：根号 x1-x22+y1-y22 中点公式： X=X1+X2/2 Y=Y1+Y2/2 直线的斜率倾斜角不是 90 的直线 ,它的倾斜角的正切,叫做这条直线的斜率 k=tga0 a 180 且 a 90 .通常用 k 来表示,记作：倾斜角是 90 的直线斜率不存在,倾斜角不是 90 的直线都有斜率并且是确定的点斜式 :y-y1=kx-x1 ；斜截式： y=kx+b ；截距式： x/a+y/b=1 直线的标准方程：Ax+Bx+C=0 圆的一般方程：x2y2 Dx EyF 0 第 10 页

24、,共 26 页圆的标准方程 x-a2+y-b2=r2 2 表示平方圆与圆的位置关系：名 师 归 纳 总 结 | | 大 肚 有 容 , 容 学 习 困 难 之 事 , 学 业 有 成 , 更 上 一 层 楼 1 点在圆上 点到半径的距离等于半径 点在圆外 点到半径的距离大于半径 点在圆内 点到半径的距离小于半径 2 1 相切 :圆心到直线的距离等于半径 2相交 :圆心到直线的距离小于半径 3相离 :圆心到直线的距离大于半径3 圆的切线是指垂直于半径 ,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点4 圆心距为 Q 大圆半径为R 小圆半径为r 两圆外切Q=R+r 两圆内切Q=R-r 用大减小 两圆相交

25、QR+r 两圆内含Qr, 反之 dr 就相离 , 相切就 d=r, 反之 d=r 就相切 , 相交就 dr, 反之 d=2 时 有 Sn=3an+2 1 式Sn-1=3an-1+2 （括号代表下标 下同） 2 式 1 式-2 式 得 an=3an-3an-1 【 an=Sn-Sn-1 】所以 3an-1=2an an=3/2an-1 所以 an 是以 -1 为首项 以 3/2 为公比的等比数列 2 已知等差数列 AN 的前 N 项和为 SN,且 A3=5 ,S15=225. 数列 BN 是等比数列, B3=A2+A3 ,B2B5=128. （1）求数列 AN 的通项 AN 及数列 BN 的前

26、9 项的和 T9 解1.设等差数列an 的首项为 a1,公差为 d；等比数列首项b1,公比为 q a3=a1+2d=5 s15=a1+a15*15/2=a1+a1+14d*15/2=225 解出 a1=1 d=2 所以数列 an 通项公式 an=a1+n-1d=2n-1 可以求出 a2=3,a3=5, 所以 b3=8 b3=b1q2=8 b2b5=b1q*b1q4=b12*q5=128 第 22 页,共 26 页解出 b1=1 q=2 所以 bn=b1*qn-1=2n-1 tn=a11-qn/1-q=2n-1 所以 t9=29-1=511 名 师 归 纳 总 结 | | 大 肚 有 容 , 容

27、 学 习 困 难 之 事 , 学 业 有 成 , 更 上 一 层 楼 11 不等式 不等式 inequality 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子；例如2x 2y2xy, sinx 1,ex 0 ,2x 3 等 ；依据解析式的分类也可对不等式分类,不等号两边的解析式都是代数式的不等式,称为代数不等式；只要有一边是超越式,就称为超越不等式；例如lg1 xx 是超越不等式；通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为Fx , y, , z Gx, y, ,z （其中不等号也可以为, 中某一个）,两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个

28、问题；不等式的最基本性质有：假如 x y,那么 y x；假如 y x,那么 xy；假如 x y,y z；那么 xz；假如 x y,而 z 为任意实数,那么x zyz； 假如 xy,z0,那么 xz yz；假如 xy,z0,那么 xz yz；由不等式的基本性质动身,通过规律推理,可以论证大量的初等不等式,其中比较出名的有：柯西不等式：对于2n 个任意实数x1,x2 , ,xn 和 y1,y2 , ,yn,恒有（ x1y1 x2y2 xnyn ）2（x12 x22 xn2 ）（ y12 y22 yn2 ）；排序不等式：对于两组有序的实数x1x2 xn,y1y2 yn,设 yi1,yi2 , ,yi

29、n 是后一组的任意一个排列,记Sx1yn x2yn-1 xny1 , Mx1yi1 x2yi2 xnyin , L x1y1 x2y2 xnyn ,那么恒有 SML；依据不等式的基本性质,也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理；主要的有：不等式F（ x）G（x）与不等式G（x） F（ x）同解；假如不等式F（ x） G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含,那么不等式F（ x） G（x）与不等式F（ x） H（x） G（ x） H（ x）同解；假如不等式 F（x）G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含,并且H（ x） 0,那么不等式Fx G（x）与不等式H（ x） F（ x

30、） H（ x ）G（x） 同解；假如H（x） 0,那么不等式F（ x） G（x）与不等式 H xF （ x） H（x）G（ x）同解；不等式F（ x）G（ x） 0 与不等式同解；不等式F（x）G（x） 0 与不等式同解；不等式分为严格不等式与非严格不等式；一般地,用纯粹的大于号、小于号 连接的不等式称为严格不等式,用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号） 连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式；在一个式子中的数的关系 ,不全是等号 ,含不等符号的式子,那它就是一个不等式 . 如:甲大于乙 甲 乙, 就是一个不等式 .不等式不肯定只有大. ,0,即 AB. 又同理可证 :AC

31、,AD. 所以 ,A 最不等式是不包括等号在内的式子比如：（不等号大于等于号,小于等于号）只要用这些号放在式子里就是不等式咯1.符号：不等式两边都乘以或除以一个负数,要转变不等号的方向；2.确定解集：比两个值都大,就比大的仍大；比两个值都小,就比小的仍小；比大的大,比小的小,无解；比小的大,比大的小,有解在中间；第 23 页,共 26 页三个或三个以上不等式组成的不等式组,可以类推；3.另外,也可以在数轴上确定解集：把每个不等式的解集在数轴上表示出来,数轴上的点把数轴分成如干段,假如数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集；有几个就要几个；名 1.不等式

32、的基本性质: 式 是性质 1:假如 ab,bc, 那么 ac 不等式的传递性 . 师 归 性质 2:假如 ab,那么 a+cb+c 不等式的可加性. 纳 总 性质 3:假如 ab,c0, 那么 acbc; 假如 ab,cd, 那么 a+cb+d. 结 | 性质 5:假如 ab0,cd0, 那么 acbd. | 性质 6:假如 ab0,n N,n1, 那么 anbn, 且. 大 肚 性质 7:假如 a等于 b cb 那么 c 大于等于 a 有 容 均值不等式, 容 学 习 困 A+B/2= 根号下 ab a+b=2 倍根号下 aba0,b0 难 之 当且仅当 a=b 时,式中等号成立事 , 一元

33、二次不等式学 业 有 含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式,它的一般形成 , 更 上 一 层 楼 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c=0 时,二次三项式,ax2+bx+c 有两个实根,那么 ax2+bx+c 总可分解为 ax-x1x-x2 的形式；这样,解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组；一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集；仍是举个例子吧；2x2-7x+60 利用十字相乘法2x 3 1x 2 第 24 页,共 26 页得（ 2x-3x-20 然后,分两种情形争论：一、 2x-30 得 x2 ；不成立名 师 归 纳 总 结 | | 大 肚 有 容 , 容 学 习 困 难 之 事 ,