高中数学新人教A版必修二 第六章平面向量及其应用本章总结 学案

1、第六章 平面向量其应用本总专题一 向的线性运算平面向量的线性运算是近几年高考的考查重点和热点常以几何图形为依托考查向量 的线性运算，重在对向量的分解与合成，一般以选择题或填空题的形式出现 例 1 如，已知AOBbC 为线 上距 较的一个三等分点 为段CB 上距 C 近的一个三等分点，则用 a， 表的表达式为 )1A. (4b) 9B.1(9b) 161C. (2)3 1解析 OCCD 3 1 2 1 ) OC 3 3 3 4 1 1 (43)，故选 A. 9 3 9答案 A1D. (3a) 45 9 8 9 55 2 55 55 2 55 5 9 8 9 55 2 55 55 2 55 专题二

2、 向的数量积运算数量积的运算是本章的核心，由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度以及不 等式等此它的应用也最广泛数量积可以求长度判断直线与直线之间的关系(相 交的夹角以及垂)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知 识融合在一起，当然更为重要的还在于向量与解析几何中的交汇例 2 平内给定三个向量 a(3,2)，(，(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m、；(2)若a)(2a，求实数 k(3)设 d(，满足d(，且d1，求向量 d.解 (1)，(3,2)(4n,2)， ，解得 (2)(kc(2a，又 a(34k,2，2a(5,2)，162(3k5(2)0即

3、.13(3)(4，1)b(2,4)， 又d()，|d|1x4 2 y ， x4 1 1 ， 解得或 ， .(45 2 5 5 ，1 )或 d(4 ，1 )5 5 5 5 例 3 如所示，在平行四边形 中AP，足为 P，且 ， _. 解 AP AP AB ) AP AB BC AB (BD ) AP2， 又，0. |AB|cosBAP|AP|，a 3 2 3 a 3 2 3 2|2918. 答案 18平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要 的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂 直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长

4、度等例 4 已 中 是直角CACBD 是 CB 的中点 上一点，且 AE 2EB，求证：CE.证明 建如图所示的直角坐标系，设 (a,0)，E(，)，则 B(0，a 是 的中点，(0， )2 又2，即x，)2(，y)， ，解得 a 2( ， a)3 3a a(0 (0)(a， )， 2 2 a 2 1 1() a a 3 2 3 3 3 0.，即 ADCE专题三 向与其他问题的综合例 5 设 ，b， 是位向量，且 ab0，()(bc的小值为 ) A B. 22C D1 2解析 ，b，c 是单向量ab0，|b 2.(cbabb)cc设量 与 c 的角为 则a)(bc1abc 2cos1 2，故所

5、求的最小值为 2. 答案 D例 6 已点 (2,0)B(0,2)，(cos，sin)(中 0) 为标原点 (1)若OA| 7，求OB与的夹角； (2)若，求 tan 的值 解 (1)由知OC(2cos | 7，(2cossin，即 44coscossin7，1 cos ，又 (0，)sin ，2 2 3从而 (0,2)， 2 cosBOCOC 3 ， . 2 6| 故与的夹角为 .6 (2)由已知得，AC2，sin)，(cos，sin2) ，BC0cos(cos2)sin2)0.1sincos ，21两边平方得(sincos) ，432sincos 0432sincos (sincos0，4即

6、 8sincos3cos，两边同除以 cos得 3tan8tan3 82 7 4 7tan .6 332sincos 0，cos0，2sinsincos， ，舍去34 7故 为求3专题四 正余弦定理的基本应用应用正弦理解三角形问题往和三角形面积公式弦定理的变形等结合 解三角形时，注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的选择和方 程思想的应用例 7 在ABC 中，角 ，B， 的边分别为 ，b，且满(2)coscos， 的面积 10 3，7.(1)求角 C(2)求 ， 的解 (1)(2a)coscos，(2sinAsin)cossincos，2sincossinCcossin，

7、即 cossin()2sinAcossin.(0)sin01 cos . .2 31 (2)由 absin10 3，C ，2 3得 ab由余弦定理得 cb2cos，即 (a)2 3 ，7()240 2，13.由得 a8，5 a5，8.正、余弦定理常与三角恒等变换、三角形面积公式结合在一起综合考查学生的能力，解 题的关键是结合条件，利用正、余弦定理进行边角互化，然后在此基础上再进行三角恒等变 换，解题时要注意公式的变形及熟练应用专题五 判三角形的形状根据已知条(通常是含有三角形的边和角的等式或不等)判断三角形的形状时要 灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系判断三角形的形状是高考中

8、考 查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三 角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法 求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解在解三角形时常用的结论有：(1)在 中，asincos；AsinAsinBcoscos.AB (2)在 ，A， ，则 cos()cos，2 2 2A sin(sin，sin cos 2 2 (3)在 中，accos0 2 cos00C .2例 8 在ABC 中， 若 c2cos，则 的状一定( )A等腰直角三角形

9、 B直角三角形C等腰三角形 等边三角形解析 2cos，由正弦定理得：2cossinsinsin()，sincosBcossinB0.即 )0.又，0A， 是腰三角形答案 C专题六 正定理和余弦定理的实际应用例 9 为障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 千米处不能收到手机信号，检员抽查某市一考点，在考点正西 3千米有一条北偏东 60 方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，问最长需 要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如所示，考点为 A，检查开始处为 B，设检查员行驶到公路上 D 两点间时收不到信号，即公路上 两到考点的距离 为 1 千米在ABC 中， 3千米AC1 千米，ABC30