高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理

1、三角函数恒等变换学问归纳与整理 一、基本公式 1、必需把握的基本公式（1） 两角和与差的三角函数CCCSS同名乘积的和与差S SCCS异名乘积的和与差TT 1TT T（2） 二倍角的三角函数S 22 SC2C21122 S差点等于 1 C2C22 ST22 T1 T2（3） 半角的三角函数S 21C 2T21sin1cosC21C 2T21C C1cossin2、懂得记忆的其他公式（1） 积化和差CC11CC同名相乘用余弦；2SSC-C异名相乘用正弦；2留首项,用加法；SC1S S 剩尾项,用减法；2CS1S S 2第 1 页 共 23 页（2） 和差化积SS2S2C2正弦加减得异名；SS2S

2、2C2余弦加减得同名；CC2 C2C22加法得 2 倍首项；减法得 2 倍尾项；CC2S2S（3） 万能公式全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式SCT2 T21T221T221T222 T21T22（4） 帮助角公式asinxbcosxa2b2sinx其中：tanba常见的几种特殊帮助角公式：sinxcosx2sinx4sinx3cosx2sinx33 sinxcosx2sinx6sinxcosx2sinx4sinx3cosx2sinx33 sinxcosx2sinx6第 2 页 共 23 页二、懂得证明 1、两个基本公式的证明CCCSS的证明方法：在单位圆内利用两点间的距离公式证明；运

3、算纷杂；在化简中留意使用“sin22 cos1”S的证明方法：CCCS在单位圆内利用向量的数量积证明；运算简便；运用向量数量积与两向量的 夹角关系来证明；或者：在单位圆内利用三角函数线证明；平移来代换；2、由两角和向差的演化构图较难； 利用三角函数线的加减、方法：用代替,代入两角和的公式即可推导出两角的差公式；3、由余弦向正弦的演化方法：用诱导公式把余弦转化为正弦：cos 2sin,绽开即可推导出正弦的两角的和公式；4、由正弦和余弦推导正切方法：利用：sintan可以推导出正切的两角和与差有的公式；cos5、由两角和推导二倍角方法：把换成代入两角和的公式,即可得到二倍角的三角函数公式；6、由余

4、弦的二倍角推导半角2 2 2 2方法：由余弦的二倍角公式：C 2 C S 2 C 1 1 2 S,把 2 换成,即 换成,通过移项,整理,开方即得正弦、余弦的半角公式；然2后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式；另外：关于正切的另一个半角公式：T 2 1 sincos 1sin cossin可以通过：tan 2 来懂得；特殊体会其演化过程中的转化思想：分子、2 cos2分母同时乘一个式子,向二倍角靠拢！然后再利用二倍角化简；第 3 页 共 23 页7、由两角的和与差推导积化和差方法：整体摸索法：两角的和与差的和差必定会相互抵清一些项；相加会抵消尾项,相减会抵消首项；这与完全平方的和与差的加减类

5、似；ab2ab 2会抵消中间项,剩下首尾项的 2 倍；而ab 2ab 2会抵消首尾项,剩下中间项的2 倍；8、由两角的和与差推导和差化积方法：对于两角和差的和与差来说,化成积并不难；利用绽开相抵原就即可得到；关键是角度的转换问题；只有一个角无法绽开；因此引入了一个合新的角度变换方法： 把单角：和 转换成两角的和与差：,2 2；于时可以利用和差绽开相抵原就得到和差化积的目的；2 29、万能公式的懂得方法：利用二倍角公式转换：sin 2 sin cos,然后把分母“1” 奇妙利2 22 sin cos用；sin 2 2,这种思路在三角函数的转化中应用特别广泛；值12 sin cos 2 sin c

6、os得高度关注；sin 2 2 2 2,然后上下再同时除以1 2 2sin 2 cos 22cos 2 即得；2 2同样利用二倍角公式转化余弦：cos cos 22 sin 22 = cos 2sin1 22 2再奇妙利用“1” 的转化：cos2 2 sin2 2,上下同时除以 cos 22 即得；sin 2 cos 2对于正切的万能公式,直接利用二倍角公式即得；10、帮助角公式的懂得方法：帮助角公式实际上是两角和与差的逆运算；只是通过一些转换化成：sincoscossin的形式而已；对于asinxbcosx来说：要通过换元法来转换,这种换元法叫三角换元法 以前的换元法叫代数换元法 ；三角换元

7、法是一种特别奇妙的换元方法,利用它能把两个毫不相干的变量联系起来,从而得到简化式子的作用；分析摸索过程如下： 假设直接换元： 令 cosa ,就怎样用三角函数式表示b第 4 页 共 23 页呢？无法完成换元过程,因此：asinxbcosx化不成sincoscossin的形式；假设提公因式呢！假设公因式为 ab ,就得：a sin x b cos x ab 1sin x 1 cos x ,此时令 cos 1,也无法用三角b a b函数表示出 1 ,因而化不成：sin cos cos sin 的形式；a所以公因式必定与 a 、 b 同时有联系；考虑到三角函数的产生环境,我们不妨将常数 a 、b 放

8、到直角三角形中来摸索：假设a 、 b 分别是直角三角形的两2 2 2 2直角边,得斜边为：a b；这个常数 a b 明显与 a 、 b 都有关系；2 2假设公因式是 a b,就 a sin x b cos x 化为：a sin x b cos x a 2b 22 a2 sin x2 b2 cos x a b a b此时令2 a2 cos此时在直角三角形中, a 为邻边,a 2b 2为斜边a b所以：2 b2 sin此时在直角三角形中,b 为对边,a 2b 2为斜边a b于是 a sin x b cos x 化为：2 2a sin x b cos x a b cos sin x sin cos

9、x 依据两角和的正弦公式得：asinxbcosxa2b2cossinxsincosx=a2b2sinx角在直角三角形中：tanb对边：邻边a当然：假设令aab2sin,就ab2 bcos22就于是asinxbcosx化为：asinxbcosxa2b2sinsinxcoscosx=a22 bcos x所以：asinxbcosx=a2b2cos x=a2b2cos x 此时：tana对边：邻边b在此推导过程中,千万留意：两种演化中的是不同的实质上这两个互余；不然就会产生以下错觉：sinxcosx；第 5 页 共 23 页假如留意到两个角互余,那么就会得到：sinxcosx2下面来分析这个结论：si

10、nxcosx2cos2x右边xcosx2cosx2cos2由诱导公式得：cos2xsinx左边所以结论成立；三、实际运用1、给角求值：告知已知角度,求出它的一些倍角、半角等的值；1求 sin 15、 cos15 的值 方法 1：直接用半角公式可求得：sin15=1cos301232323sin42322242231231=2264222323423cos15 =1cos301232222422=3123164222cos45sin3022方法 2：由两角的差求得：sin15sin4530sin45cos30=23216262222244445sin30同理可得：cos 15cos 4530co

11、s45cos30=232162622222444方法 3：用 60 与 45 的差角求得sin15sin6045sin60cos45cos60sin45第 6 页 共 23 页=32126262cos4 5sin60sin4522224464同理可得：cos 15cos 6045cos6 0=12322622222444方法 4：利用直角三角形作图运算如图：直角三角形ABC 中, A=30 , C=90 ；B D 1530C A 延长 CA 到 D,使 AD=AB ；就易知：D=15 设 BC=1,就 AB=2,AC= 3 ；CD=2+ 3sin15BCBC21 113264813（4123）

12、DBBC2CD24=21131222 1263同理可求得 cos15cos 15CD6CD2162232 3 243233）DBBC2CD 283（42=2 632 23424方法 5：利用诱导公式和倍角公式求解：利用诱导公式我们知道：cos150 的值,然后利用倍角公式可求得cos75的值,再利用诱导公式就可以求出sin15 的值；cos150 =3 ,2第 7 页 共 23 页cos75 =1cos 150=1234236264222484sin15642同理可得：sin150 =1 ,22362sin75 =1cos 150=12322284cos 156422求sin15+ cos15

13、 的值方法 1：分别求出sin15的值：64和cos15 的值：二者相加得：sin15+ cos15642+642=24662方法 2：直接利用帮助角公式运算：sin15+cos152sin 15452sin6023611sin3022方法 3：奇妙利用公式：sin22 cos1和倍角公式sin15+ cos15 =sin15cos152 12 sin15cos15=113662242方法 4：运用向量运算：将sin15+cos15 写成：sin151+cos15这 样 可 以 看 成 两 个 向 量 的 数 量 积 ； 如 图 ： 在 单 位 圆 内 , 设 向 量OAcos15,sin15

14、,向量OB ,；就向量 OA 和 OB 之间的夹角为4515 =30|OA|1,|OB|2；由向量数量积公式得：sin151+cos151OA.OB|OA|OB|cos30第 8 页 共 23 页sin15+ cos15 =|OA|OB|cos30123622B O A 3求 1 tan 15 的值1 tan 15分析：方法 1：直接求 tan15 的值有些困难；当然用半角可求；可考虑能否奇妙转化；考虑到常数“1” 的转化； tan45 =1,原式可化为：tan45tan15tan4515tan603cos 15sin 15= sin301tan45tan15sin 15方法 2：代入tan1

15、5sin15得：原式 =1cos15 sin 15cos 15cos 15 sin 15cos151cos 15cos 15cos15sin15cos 15sin1522 cos15sin1511cos15sin15cos 15sin15212cos 15sin151sin30113332222 2得：2 11112226方法 3：直接代入：tan15sin15646cos152641tan 151tan6266226226 23tan 152362621tan 15162262266262方法 4：代入15sin15462并化简得：62cos 15624第 9 页 共 23 页原式 =1ta

16、n 15sin12sin333 3331 31tan 151233124求sin153075的值分析：方法 1：sin30 是特殊角,关键是求sin15 sin75 的值；假设用积化和差来运算,就有些复杂；可考虑把 sin75 转化为 cos15 ,然后利用倍角公式求得：sin 15 sin 30 sin 75 = 1 1 1 1 1sin 15 sin75 sin 15 cos 15（sin 30）2 2 2 2 8方法 2：直接用积化和差运算：sin 15 sin 75原式 = 1sin 15 sin 75 1 1 cos 75 15 cos 75 15 2 2 21 1 1 1= cos

17、 90 cos 60 4 4 2 82 25求 sin 10 cos 40 sin 10 cos 40 的值分析：方法 1：利用余弦的倍角公式化简：sin 210 1 cos202,cos 240 1 cos802,就原式 = 1 cos202 1 cos802 + sin 10 cos 40cos 80 cos 20 11 sin 10 cos 40 1 cos 80 cos 20 sin 10 cos 402 2 2再利用知差化积与积化和差的公式得：11cos 80cos20sin 10cos 40sin40103来分析；2112sin50sin301sin401022311sin501s

18、in501sin301122244cos22方法 2：利用规律：sin22 cos22sin4136求sin22的值10cos 10分析：方法 1：把常数换为特殊的三角函数,就原式=sin30cos 30sin30cos 10sin10cos 30sin 30102sin10cos 10sin 10cos 101sin2022、给值求值15,cosB9cos A,求cosC的值；（1） 在 ABC 中,已知1741第 10 页 共 23 页分析：在三角形 ABC 中, C=180ABcosCcosABcosABcosAcos BsinA sinB=sinAsinBcosAcosBsinAsin

19、B159sinAsinB1351741697sinA1cos 2 A115281717sinB1cos 2 B19 4124041cosCsinAsinB135840135=1856971741697697（2） 已知sincos2,求 sin2的值3分 析 ： 用 完 全 平 方 公 式 和 平 方 关 系 、 及 倍 角 公 式 求 值 ：sincos24sin22 cos2sincos499即：2sincos4152x的值99由倍角公式得：sin2594 cos的值（3） 已知cos23,求sin45分析：由倍角公式求值：2 cossin22 cossin44 cos sin2=2 co

20、ssin2=35（4） 已知cos4x3,17x7,求sin2x2 sintan x51241分析：对于求值的代数式, 要利用化弦的思想, 把正切化成正弦与余弦的比值,再利用和角公式绽开得：cos4xx5cos4cosxsinxsin4即：2（2cosxsinx）3cosxsin325第 11 页 共 23 页所以cosxsinx 21832sinxcosx 2x25即：2 cosxsin2x2sinxcosx18252sinxcosx11872525sin2x2sinxcosx2 cosx172525而cosxsinx2sinx44217x7,cos xsinx3212425252 sins

21、in x2x cossin2x2 sintan x2x=2sinxcosx22 sinxsinxcosx11sinxcosxcosx28=2sinxcosxsinxxcosx745225cosxsin327553、给值求角（1） 已知 ABC 中,tanA 2,tanB 3,求角 C分析：tan A B tan A tan B 2 311 tan A tan B 1 2 3 A B 0, A B = 34C44、证明（1） 已知 A 、 B 、 C 是三角形 ABC 的三个内角；求证： sin A Bcos C2 2 cos A Bsin C2 2分析：使用诱导公式证明：证明：ABBCA2BC

22、2sinA2Bsin2Csin2CcosC 22即：sinA2cosC 2第 12 页 共 23 页同理：cosABcos2Cycos 22CsinCx1y12222即：cosAsinC 2B2（2） 已知xy3cos4,x4sin；求证：22分析：先利用二元一次方程的思想分别求出 公式分析：x和 y 的式子,再利用倍角证明：x3cos424sin2,y23cos424sin2由倍角公式得：cos412sin2x3 122 sin 224 sin22 sin22sin21sin22 1y3 12sin224sin22 sin22sin21sin2122x1sin2121sin22y1sin21

23、21sin2sin212故：x1y11sin21sin2222然后比照摸索：即：x1y1222（3） 已知4,求证：1tan1tan2分析：同时绽开tan和 1tan1tan证明：tantan4tantan11tantantantan1tantan1tan1tan1tantantantan=11tantantantan21tan1tan2（4） 在直角三角形 ABC 中, C 为直角, a 、 b 、 c分别是 A、B、第 13 页 共 23 页C 的对边；求证：sin A c b2 2 c分析：明显两边要平方 sin 2 A2 c2 c b,平方后再利用倍角公式转换2 sin 2 A2 cc

24、 b；2sin 2 A2 1 cos A,而 cc b1 bc；只需要证明：cos A b 即可；c证明：在 Rt ABC 中,cos A bc由倍角公式得：cos A 1 2 sin 2 A22sin 2 A2 1 cos A 1 bc = cc b即：sin 2 A2 c2 c bA 0 , sin A c b2 2 c（5） 已知 A、 B、C 是非直角三角形的三个内角；求证：tanAtanBtanCtanAtanBtanC分析：用化切为弦的思想分析：证明：tanAtanBtanCsinAsinBsinCsinCcosAcosBcosC=sinAcosBcosBsinAsinCsinAB

25、cosAcosBcosCcosAcosBcosCCC而：sinABsinsintanAtanBtanCsinCBsinCsinCcosCcosAcosBcosAcoscosCcosAcosBcosCB而：cosCcosABcosABcos CcosAcosBcosA BcosAcosBcosAcos=cosAcos BsinAsinBcosAcosBcosAcosBsinAsinBBtanC=sinAsinB即：tanAtanBtanCsinAsinBsinCtanAtancosAcosBcos CtanAtanBtanCtanAtanBtanC第 14 页 共 23 页（6） 已知 A、 B

26、、C 是三角形的三个内角；求证：sinAsinBsinC4cosAcosBcosCA2B222分析：使用诱导公式、积化和差与和差化积公式证明：证明：sinAsinBCsinBCcosAcosB1cosABcosAB=1cosA2Bcos22222222而：cosCcosABcos（2A2B）sinA2B224cosAcosBcosC41cosA2BcosA2BsinA2B22222sinA2BcosA2B2sinA2BcosA2B=sinAB21sinA2BA2BsinA2BA2B2sinABsinAsinB而：sinABsinCsinCsinAsinBsinC4cosAcosBcosC222

27、（7） 已知3sinsin2,求证：tan2tan分析：对欲证的式了转化为弦来分析：sin2sincoscos再绽开得：sincos2sincos证明：对已知条件作如下变形：3sinsin即：cos2cossin3sincos3cossinsin移项得：2sincos4cossinsin即：sincos2cossin两边同时除以：coscos得：sincoscos第 15 页 共 23 页tan2tan,且m1,k,m2kkz ,（8） 已知sinmsin22求证：tan1msintan1m证明：由sin得：msin2cossinmsin绽开得：sincoscossinmsincos移项得：1

28、m sincosmm1 cossin即：sin cos1sin1mcostan1mtan1m5、化简（1） 化简：1 sin cos1 sin分析：奇妙利用常数“sin 2cos1” 及倍角公式凑成完全平方式来化简：1sinsincossin2=sin2cos2sincos2 coscossincos1cos1sin=sincos2sinsincossincos 11sincos1sincos=sincos2sin4（2） 化简：sin50 13tan 10分析：方法 1：第一考虑“ 化弦” ：即把正切化成正弦与余弦的比值,再通分,最终利用倍角公式及和差公式化简；sin50 113tan10s

29、in5013sin10sin50cos103sin10cos10cos 102sin50cos 103sin1022=cos 10第 16 页 共 23 页= 2 sin 50 cos 60 cos 10 sin 60 sin 10 2 sin 50 cos 50 sin 100cos 10 cos 10 cos 10= sin 90 10 cos 10 1cos 10 cos 10此题解法奇妙：先化切为弦,然后通分；最终向倍角公式靠拢,利用和角公式转化；方法 2：把常数转化为三角函数,观看括号内的形式,利用正切的和角公式化简：sin50 13tan 10= 50tan6060tan10tan

30、60tan1010sin50 1tan60tan10sin1tantan10= tan10sin50tan50tan60tansin50tan6010tan60=cos50sin60sin10cos50sin60cos10cos60sin10cos60cos10cos60cos10=2cos50sin50sin100sin901010cos 101cos10cos10coscos 10（3） 化简：tantan1tantan分析：用正切的两角和公式化简：tantan1tantantantantantan1tantan（4） 化简：sin262tan54tan45tan36sin228分析：利用

31、平方关系和倒数关系求解：sin2622 cos28tan54 =12得：tan36原式 =2 cos281tan45tan36sin22811tan36（5） 化简：tantantantantan式分析：方法 1：将tantantan变形为：1tantantantantan 1tantan代入原得 ：tantantan 1tantan, 同 时 约 去tantan第 17 页 共 23 页1 1tantantantantantantan1tantan2tantan1tantantan=1tantan方法 2：同时除以 tan得：tantan=11tantantantantantantan（6）

32、 化简：1sin2cos21sin2cos2cos21sin2 122 sin 2cos分析：利用倍角公式化简得：1sin21sin211sin2cos2=sin222 sin 2 cos2sincos22 sin 2 cos2sincossintansin222sincos22coscossin（7） 化简：1111tantan分析：通分后,利用倍角公式化简：1111=1tan 1tan=12tantan2tantan12 tan2 tan6、证明不等式（1） 假设0,4,求证：sin2cossin8cos目前仍无思路：7、推导新公式sin3和 cos3sin22sin31请推导出三倍角公式

33、：思路：sin3sin2sin2coscos2sin=2sin2 cos12sin2sin=2sin 1sin2=2sin2 sin3sin2sin3cossin2cos=3sin4sin3cossin2sincos3cos2cos2=2 2cos1 cos2sincossin=23 cos第 18 页 共 23 页=23 coscos212 cos）cos=23 coscos2cos22 cos=3 4cos3cos8、与方程的综合（1） 设 tan和 tan是方程2 x6x70的两个根；171 求tan的值 求证：sincos6,tantan分析：由韦达定理可得：tantan代入正切的两角

34、和公式得：tan1tantan61tantan7tan1sincos即：sincos9、与函数的综合（1） 求函数ysin3xcos3x的值域1,1分析：利用倍角公式得：ysin3xcos3x1sin6x2sin6x的值域为1,1函数ysin3xcos3x的值域为22（2） 已知函数fxsin2x2sinxcosx32 cosx,xR；问： 函数fx的最小正周期是什么？ 函数在什么区间上是增函数？ 函数的图象可以由函数gx 2sin2x,xR的图象经过怎样的变换得到？分析：fxsin2x2sinxcosx32 cosx可化为：第 19 页 共 23 页fxsin2x2 cosx22 cosx2sinxcosx1cos2x1sin2x=sin2xcos2x22sin2x422kZfx2sin2x42它的最小正周期：T22函数的单调递增区间为：2k22x42k即：当xk3,k8,函数是增函数；84个单位, 再向上平函数fx可以看作是函数gx2sin2x向左平移移 2 个单位得到的图象；10、与几何图形的综合4；（1） 如图,三个相同的正方形相接拼成一个长方形；求证：A B C D 分析：实质就是求证： tan11 tan1111151证明：观图可得：tan1tan326 5324326又（0,）说明：假如用中学的学问来分析：就可通过