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1、2023届高三数学一轮大题专练10导数（双变量与极值点偏移问题2）1已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数（）若，（）当时，求曲线在处的切线方程（）当时，判断函数在区间，上零点的个数（）若，当时，求证：若，且，则（）解：（）当，时，则（1），所以（1），故切点坐标为，切线的斜率为0，故切线方程为；由可得，令，解得，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以当时，取得极小值即最小值，当时，无零点；当时，在区间，上单调递减，且，所以是在，上的唯一零点；当时，在区间上单调递减，且又（1），所以在区间，上仅有一个零点综上所述，当时，在区间，上无零点；当时，在区间，上仅有一个零点；（）证明：当，当时

2、，令，不妨设，令，其中，因为，所以当时，故若，且，则2已知函数（1）当，时，求的单调区间；（2）当时，若函数有两个不同的极值点，且不等式有解，求实数的取值范围；（3）设，若有两个相异零点，求证：解：（1）当，时，令，则，令，则，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：由题可得，函数有两个不同的极值点，方程有两个不相等的正实数根，于是有解得不等式有解，设（a），（a），故（a）在上单调递增，故（a），故实数的取值范围为（3），设的两个相异零点为，设，欲证，需证，要证，即证，即，即，设上式转化为，设，在上单调递增，（1），3已知函数（1）求函数的图象在点，处的切线方程；（2）若存在两个不相等

3、的数，满足，求证：（1）解：函数，则，则，又，则切点为，切线的斜率为1，所以的图象在点，处的切线方程为，即；（2）证明：令，解得，当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以当时，取得极大值，即为极大值点，不妨设，由题意可知，令，则，因为，所以，则单调递减，又，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，所以，因为，又在上单调递增，所以，故4已知函数有两个不同的零点，且（）求实数的取值范围；（）若不等式对任意的，恒成立，求实数的最大值；（）求证：解：（）显然不是的零点，令，则，依题意，直线与函数的图象有两个交点，又，则函数在，上单调递减，在上单调递增，当时，当时，（1），其草图如下，由图象可知，实数的取值范

4、围为；（），即，的一个必要条件是，又，则，当时，单调递增，而，在，上单调递增，故，符合题意，实数的最大值为2；（）证明：易知，即，即，要证，即证，只需证，记，则，易知在上单调递增，（e），即得证5已知，（）若在点，（1）处的切线斜率为，求实数的值；（）若有两个零点，且，求证：（）解：，由（1），得（）证明：有两个零点，即有两个不等根，即，即令，则记，则记，则，所以（3），即，即在上单调递增，即（3），所以，所以6已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，设，分别为点，的横坐标，求证：（1）解：的定义域为，且当时，则在上单调递增当时，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）证明：当时，所以，所

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