2023届高三数学2023届高三数学一轮大题专练7-导数（构造函数证明不等式1）

1、2023届高三数学一轮大题专练7导数（构造函数证明不等式1）1已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：解：（1），时，函数在上单调递增时，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增（2）证明：当时，要证明：，即证明，令，令，解得；令，解得函数在上单调递增，在上单调递减时，函数取得极大值即最大值，（e）令，令，解得；令，解得函数在上单调递减，在上单调递增时，函数取得极小值即最小值，（2），即，也即2已知函数（）求曲线在点，（1）处的切线方程；（）求的单调区间；（）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：（）解：由，可得，则（1），又（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为

2、，即（）解：的定义域为，当时，在上单调递增；当时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增（）证明：由（）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，则要证，即证，即证，而，则，否则方程不成立），所以即证，化简得，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以（1），而，所以，所以，得证3已知函数，函数，（1）记，试讨论函数的单调性，并求出函数的极值点；（2）若已知曲线和曲线在处的切线都过点求证：当时，解：（1），记，当时，在单调递增，无极值点，当时，有异号的两根，在单调递减，在，单调递减，有极小值点；（2）证明：，（1），在处的切线方程为，过点得：，（1），在处的切线方程为，过点得：，要证

3、：，即证：，即证：，构造函数，则，时，时，在单调递减，时，在单调递增，（1），故原不等式成立4已知函数在处取得极值（）若对，恒成立，求实数的取值范围；（）设，记函数在，上的最大值为，证明：（）解：，则，又在处取得极值，则有（1），解得，此时，当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以确实在处取得极值，故，设，则在上恒成立，即在上恒成立，因为，当，即时，在上恒成立，不符合题意；当时，令，解得，当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以当时，取得最大值，要使得在上恒成立，则有，解得，综上所述，实数的取值范围为，；（）证明：要证，即证明即可，因为，则，因为，时，恒成立，设，则为单调递增函数，又，则存在，

4、使得，即，则当时，则，故单调递增，当，时，且不同时为0，则，故单调递减，所以在，上的最大值为，又，则，设，则对于恒成立，故在上单调递增故，于是，故5已知函数，对于，恒成立（1）求实数的取值范围；（2）证明：当时，解：（1）由恒成立，得对恒成立，令，当，单调递增，当，单调减，故所求实数的取值范围为，；（2）证明：由（1）得欲证，只需证即可，令，令，则易知在单调递增，且，故存在，使得；当，时，单调递减，当时，单调递增，又，故当时，6已知函数，（）已知恒成立，求的值；（）若，求证：解：（1）已知恒成立，即恒成立，令，则有，当时，则恒有，此时函数单调递增，并且当时，不满足题意；，此时令；，即函数在上单

5、调递减，在上单调递增，若要满足题意，则需使，恒成立，令（a），则有（a），由此可得，当时，（a）；当时，（a）（a）（1），即得（a），（2）令，则有恒成立，故可得在上单调递增，即有恒成立，故有在上恒成立；根据题意，要证，即证明，即证，即证，令，则有，在上恒成立，即得函数在上单调递减，（1），由此得证当时，原不等式成立7已知函数，的反函数为（其中为的导函数，（1）判断函数在上零点的个数；（2）当，求证：解：（1）由题意得，则，由得或，由，得或，由，得，当在上变化时，变化情况如下表：，100单调递增极大值单调递减极小值单调递增根据上表知，（1），根据零点的存在性定理，函数在上存在唯一零点，又因为（1），所以根据的单调性可知，函数在上零点的个数为2（2）证明：因为，其反函数为，所以不等式为，当时，所以在上单调递减，所以（1），设函数，则，设函数，则，所以在上单调递增，因为（1），所以存在，使得