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文档简介

1、定积分及其应用 冯伟杰 求极限问题利用定积分的定义对照定积分的定义可知，只要将原式中的 设法换成即可解决此问题。但是为此，由Taylor公式不能使用等价无穷小替换。 求极限问题利用洛必达法则+变限积分函数的求导设函数满足 且对 有 试证明极限存在，且极限值不大于 试证明极限 存在. 求极限问题利用广义积分的收敛证明： 在上单调递增，且 故由广义积分的比较判别法可知，设函数满足 且对 有 试证明极限存在，且极限值不大于 试证明极限 存在.提示： 留作练习. 见教材3.3 例3 求导数问题及应用利用变限积分函数的求导法则证一作辅助函数 Cauchy积分不等式 证二 利用教材习题5.2 5（1） 在

2、空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中， 称为一组标准正交基 三角函数系的正交性 三角函数系 但是在三角函数系中两个相同的函数的内积不为零，有 n阶三角多项式 记T为所有n阶三角多项式的全体. 其中 积分中值定理分点为取极限 特别的， 见教材5.5 例5 加权平均值 积分第一中值定理 证由闭区间上连续函数的介值定理知 积分不等式或等式的证明证明：利用f(x)的Taylor公式修改后可以得到正确的证明证明： 令 则 令 则 上式为常义积分 广义积分 试证明极限 存在.常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法思路： 定积分的近似计算则有矩形法则有梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形

3、的面积，如图梯形法用矩形法和梯形法计算积分的近似值解相应的函数值为列表:利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得利用梯形法公式（），得实际上是前面两值的平均值，辛普森公式因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,于是所求面积为求质量为 的物体飞到距离地面高度为处克服地球引力所做的功解 以地球质心为原点建立如图所示的一维坐标. 设物体在r处所受的地球引力为则由万有引力定律，有 其中物体从飞到处克服地球引力所做的功为 定积分的应用物理应用注：计算第二宇宙速度即物体脱离地球引力范围的最低初速度 物体脱离地球引力范围需要做的功为 而在地球表面，地球的引力即为重力，因此有从而求得代入得地球引力范围，则由功能原理，知设物体从地面垂直向上发射的最低初速度为，才能飞出 利用变化率求总量函数 定积分的应用经济应用 已知边际成本、边际收入、边际利润 资本投资 已知一笔收益流的收入为 假设以连续复利率为 r 计息，则 T 时间后总现值为一对夫妇准备为孩子存款积攒学费

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