石墨烯电子的能带和狄拉克方程

1、石墨烯电子能带之数理演绎2022 年2 月20 日为苦研物理学理论的探路者供给数理根底的参考 北京东之星应用物理争辩所伍 勇 ， 贺 宁计算机软件工程师石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢YaYa10Xa2kyb1KkxK ”b2图1晶格原胞与基矢图2布里渊区与倒格子基矢1 中a3 1 a(3,3,0) 3a(i j)12221a3 1 a(3,3,0) 3a(i j)2222这里a =1.42A 是C-C 最近邻原子间距，即正六边形单胞的边长晶格常数。1可计算出倒格子基矢2：2413 b (1,3,0) (i j)13a3a2222413 b(1,3,0) (i j)23a3a222 第一布里渊区的

2、两个狄拉克(Dirac)K K” 的坐标是：K K”213,0)2 23 i 9aj33a13,0) 2 23 i 9aj下面能带计算说明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上Dirac K ( K ”)点44H (aa bb )t (a h.c)2pziiiiijii,j上式还可表为矩阵形式：a 0ta (ab i (ab)j 2pziiib iii,jit0 bjta (ab) j ii,jitbijjpz模型不考虑电子自旋，表示只对最近邻格点的电子跃迁求和， 2是单电子2pz 轨道能量pzaa1RRj1a -R1Rij1BRR iaRj2iaARj2j3R2j3rrrABBA2图3.参考原

3、子R的三个最近邻RiR和Rj2j3石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A，B 构成，任意选定一个格点位矢是R 的Ai原子为参考原子，围绕它的是三个最近邻B 类原子R,R和R，如图3.j1j2j3a biR Ri的电子的产生消灭算符，4中的对算符aib 表示的物理过程描述被b Rjj处消灭一个电子后又在Ri由a 产生一i个电子，此过程等同于电子由Rj1考虑电子算符的傅里叶变换:1Ri，跃迁能t =2.8eV。eikeikR N5aN51ik1NbNjk eikRj k这里N A，B 两个不等价子晶格之间，A，B 两原子相对位矢(3)：6)rrra a- 6)ABBA 12i R R Rij

4、1j2将5代入4，将哈密顿量傅里叶开放，先考虑跃迁项-t (ab h.c)iji,jt (a bii,jabij1abih.c)t(1ei( 1 e ” 1 e ”hc)Nik kkNk,k”ik Rikik Riik a1k”Nk,k”ik Rikik Riik a2k”利用公式：1 ei(k k ”)RiNik,k”哈密顿跃迁项化为：-t1eiei ck a1k a2(7)kkk类似计算哈密顿的原子位能项，可得(aa bb )2pziiii(8)(kk )kk(8(4)得到动量表象的紧束缚模型二次量子化哈密顿是H ( )-t1e e c(9)2pzkkkkkkkk求解薛定谔方程和能量本征值

5、2 2s，2p2p轨道通过sp 2轨道杂化形成共面 键，x ，y，而2pz电子形成垂直于 共价平面之上的离域大键。象 铺垫的刚性平面之上自由流淌的依据电子薛定谔定态方程H(k) (k) E(k) (k)(10)石墨烯一个原胞内包含两个不等价原子A，B，其 2Pz 电子态基矢分别选取为： (k) 0 1k (k) 02k这里 0是粒子真空态。9表达的紧束缚哈密顿H(k)可以写为矩阵形式：HH 0 00 0 1112 kkk(11)HH2122 0b kk00b Hbkk0 设系统的电子态矢量波函数为：(k) C (k) C (k)1122代入薛定谔定态方程10有(H E)(C C)0(12)11

6、22由矩阵表达式11及方程 (12有非平凡解的条件得到久期方程如下：HEH1112 0HHE(13)2122下面先计算哈密顿矩阵1的矩阵元，将代入1，H 0H 0 0 b 0 0b 0 )12k2pzk k”kkk”k-t(1 e eik ”a2 ) 0 b 0 k-t(1-t(1ik e k”k1 eik ”a2 ) 0 kkb k” 0k”k -tkik”a1 eik”a2 )kk” -t(1 eika1 eika2 )同样计算方法可得HH11，2pz H-t(1eika1 eika2 )21将以上结果代入13得： E ika1 eika2 )0(14)-t(1 eika1 eika2 )

7、 E2pz对应石墨烯是抱负构造的状况，可以选取原子轨道能级 参考点。开放14，解得石墨烯的能带：0 作为 E(k的 eika2 )(1eika1eika2 )t23 2cos(k a1) 2cos(k a2) 2cosk (a1a )2其中3a3a3a3a3ak a (k ,k )(,)kk1xy222x2y3a3ak a2kk2x2yk (a a ) 3ak12yE(k)经过初等三角函数和差运算后，得到石墨烯能带，即电子的色散关系:332cos(3k a)4cos(3k a)cos(3k a)yxy22E (k ,k ) txy作者将15尝试用Mathematica 4 所示，-号对应较低

8、轨道能谱，+号对应较高的 反键轨道能谱.。2Density of states (DOS,5 所见，EF 以下的价带EF 以上导带 空空荡荡，视为空穴占据，近空带，导带与价带是连通的，在狄拉克点四周DOS 接近零。对于零温，由15描述的能带， 带与 E=EF=0 完全对称，二者在布里渊区高度对称的六个K 点相交，费米面也刚好穿过，或说费米面在这里退缩为共面的六个点，位于价带导带之间，成为石墨烯导带和价带的对称面，所以石墨烯是零带隙的半导体，因而有卓越的 导电性。在 K 点四周，图4所描绘的能量与动量的色散关系是线性的，这直线在K 点绕布里渊区(B.Z)平面的垂线旋转一周，形成对顶的双圆锥，称狄

9、拉克锥。这种独特的能带构造，打算了石墨烯电子的无质量狄拉克费米子的属性，不能再用传统薛定谔方程描述，必需建立石墨烯的狄 2 维狄拉克方程的数理演绎请见我们将撰写上传的后续文档。6 MATLAB 软件制作的能带图，它在复制到Word 过程中，在狄拉克锥尖端细节丧失较多,但海浪与彩虹交映齐飞的景象，可能更显示石墨烯的独特非凡，我们情愿将它呈现在这篇文档里。 bandKK ”band图4.与导带相交于6个Dirac点K点EE0F图5.石墨烯原子片的电子总状态密度DOS50.06430.0420.02100-1-0.02-2-3-0.04-4-5-0.06-50-2024图6.石墨烯电子的能带构造。(MATLAB )参考文献1). A. H. Castro Neto, F. Guinea et al.:The electronic properties of graphene,14 January 2022 2). 伍勇：碱金属在石墨外表化学吸附的EHT争辩，复旦学报自然科学版，No.2 /2022 3).伍 勇：Theoretical Study on E