山西省太原市第十二中学2021-2022学年高二数学第二学期期末联考模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是( )ABCD2已知向量，满足，则向量在向量方向上的投影为（ ）A0B1C2D3某学校高三模拟考试中数学成绩服从正态分布，考生共有10

2、00人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人参考数据：，）A261B341C477D6834若，则的值为（ ）A-2B-1C0D15已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则（ ）ABCD6知是定义在上的偶函数，那么（ ）ABCD7圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ）ABCD8在某次体检中，学号为（）的四位同学的体重是集合中的元素，并满足，则这四位同学的体重所有可能的情况有（ ）A55种B60种C65

3、种D70种9若函数f(x)的导函数的图像关于原点对称，则函数f(x)的解析式可能是（ ）Af(x)=3cosxBf(x)=x310函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD11函数f(x)与它的导函数f(x)的大致图象如图所示，设g(x)=f(x)exA15B25C312已知命题，则命题的否定为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 14设变量满足约束条件：,则目标函数的最小值为15设随机变量服从正态分布N(3,4)，若P(a+2)，则a的值为 .16定积分的值等于_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1

4、7（12分）设函数.（1）解不等式；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.18（12分）如图，在正四棱锥中，为底面的中心，已知，点为棱上一点，以为基底，建立如图所示的空间直角坐标系（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）设二面角的平面角为，且，试判断点的位置19（12分）某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为.认为作业量大认为作业量不大合计男生18女生17合计50（）请完成上面的列联表；（）根据列联表的数据，能否有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有

5、关？（）若视频率为概率，在全校随机抽取4人，其中“认为作业量大”的人数记为，求的分布列及数学期望.附表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：20（12分）在平面直角坐标系中，直线：，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于，两点.（1）当时，求，两点的直角坐标；（2）当变化时，求线段中点的轨迹的极坐标方程.21（12分）已知在中，.（1）求边的长；（2）设为边上一点，且的面积为，求.22（10分）已知集合，若，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分

6、。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】求出函数的导数，问题转化为a- ，而g（x）=在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可【详解】f（x）=+2ax，若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，则f（x）0在x（，2）有解，故a- ，而g（x）=在（，2）递增，g（x）g（）=2，故a2，故选：B【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，也考查转化思想以及计算能力2、D【解析】试题分析：在方向上的投影为，故选D.考点：向量的投影.3、B【解析】分析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是

7、0.6826，根据概率求出位于这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果详解：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人.故选B .点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解4、B【解析】令，即可求出的值.【详解】解：在所给等式中，令，可得等式为，即.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.5、C【解析】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，

8、或是二维变三维；由题目中“在正三角形ABC中，若D是边BC中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2：1”，我们可以推断：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1”故答案为“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1”6、A【解析】分析：偶函数的定义域满足关于原点对称，且由此列方程解详解：是定义在上的偶函数，所以，解得，故选A点睛：偶函数的定义域满足关于原点对称，且，二次函数为偶函数对称轴为轴。7、C【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.

9、详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，过的轴截面如图：，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题8、D【解析】根据中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可.【详解】解：当中全部取等号时，情况有种；当中有两个取等号，一个不取等号时，情况有种；当中有一个取等号，两个不取等号时，情况有种；当中都不取等号时，情况有种；共种.故选：D.【点睛】本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.9、A【解析】求出导函数，

10、导函数为奇函数的符合题意【详解】A中f(x)=-3sinx为奇函数，B中 f(x)=3x2+2x非奇非偶函数，C中f(x)=2故选A【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质10、B【解析】由函数存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，画出与的大致图象，根据使得函数与函数只有唯一一个交点，得到，即可求解.【详解】由题意，函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，因为，所以函数与函数唯一交点为，又因为，且，所以，即函数在上单调递减函数，又因为是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，所以可得与函数的大致图象，如

11、图所示，所以要使得函数与函数只有唯一一个焦点，则，因为，则，所以，解得，又因为，所以实数的范围为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行分析研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11、B【解析】结合图象可得到f(x)-f(x)0成立的x的取值范围，从而可得到g(x)【详解】由图象可知，y轴左侧上方图象为f(x)的图象，下方图象为对g(x)求导，可得g(x)=f(x)-f(x)ex，结合图象可知x(0,1)和x(4,5)时，f(x)-f(x)0，即g(x)在0,1和

12、【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查了数形结合的数学思想，考查了导数的应用，属于中档题.12、A【解析】根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果.【详解】因为命题，所以命题的否定为：故选A【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：考点：定积分14、1【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】的几何意义为区域内点到点G（0，-1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG的斜率最小，由 解得 ，即A（2，1），则AG的斜率k

13、=1，故答案为1【点睛】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键15、7【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布N（3，4）P（2a3）P（a2），所以与关于对称，所以，所以，所以.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目16、ln1【解析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】，故答案为：ln1【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字

14、说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式分类讨论可得不等式的解集为(2)原问题等价于，结合(1)中的结论可得时，则实数的取值范围为试题解析：（1）由题得，则有或或解得或或，综上所述，不等式的解集为（2）存在，使不等式成立等价于由（1）知，时，时，故，即实数的取值范围为18、（1）；（2）点位于棱的三等分点处.【解析】先由题意，得到，的坐标，以及向量，的坐标；（1）根据题中条件，得到，求出平面的一个法向量，根据，结合题中条件，即可求出结果；（2）先由题意，得到存在实数，使得，进而得到，分别求出平面和平面的一个法向量，根据向量夹角公式，结合题中条件

15、，列出等式，求出，即可得出结果.【详解】由题意，可得，则，（1）因为为的中点，所以，因此，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，即，设直线与平面所成角，则；（2）因为点为棱上一点，所以存在实数，使得，则，即；所以，；因为平面与平面是同一平面，因此其一个法向量为；设平面的一个法向量为，则，即，则，令，则，即，因为二面角的平面角为，且，所以，解得：或，即或，因此，点位于棱的三等分点处.【点睛】本题主要考查求线面角，以及已知二面角的余弦值求其它量的问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.19、（）见解析（）有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关（）见解析【解析】分析：（1）先设认为作

16、业量大的共有个人，再求出x的值，完成列联表.(2)先求出，再判断是否有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关.（3）利用二项分布求的分布列及数学期望.详解：（）设认为作业量大的共有个人，则 ，解得或（舍去）；认为作业量大认为作业量不大合计男生18826女生71724合计252550（）根据列联表中的数据，得.因此有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关.（）的可能取值为0，1，2，3，4.由（）可知，在全校随机抽取1人，“认为作业量大”的概率为.由题意可知.所以 .所以的分布列为01234 （或）.点睛：（1）本题主要考查二乘二列联表，考查独立性检验和随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 随机变量服从二项分布，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)20、（1）；（2）.【解析】（1）根据，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，与直线方程联立，即可求解（2）设，根据已知可得在曲线上，即可求解.【详解】（1）由得，联立，消去得，解得，或，当时，当时，两点的直角坐标分别为；（2）直线与曲线有一交点为极点，不妨为，设，则在曲线上，所以，即，因为不重合，所以所以线段中点的轨迹的极坐标方程【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、轨迹方程，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.21、（1）