能量不等式波动方程解的唯一性和稳定性

1、匚口.常 A/r I牢性不振动的动能和侯斡 初边值问题解的唯1L振动的动能和位能考察一维初边值问题:q2*=o ( 0, 0 x Z)(1) t(x,0) = cp(x), wr(x,0) = |/(x) (0 x 0(a)，ux. j, 0)=奴x, j), ut (x, j,0) = (x, p)鼠范35=(”4)的解至多有一个。证明：由有关能量积分的推导可知，当/三0,日三0时,有阴。,所以,+ /叱 + ,)心的有阴。,所以,+ /叱 + ,)心的E(t) = E(0) =+ a?”； + *)dxdy11上页I下页I返回11设ur(x,y,t u2(x,y,t)都 是问题0)的解，令

2、V = u1-u2,则满足;%（与/）。工0r（x,j,o）= o,r;（x,j,o）= oy（xyt） . A = 0所以，对任意f 0均有JJ巴2+/（叱+4）依4=0Qv a2 0,二些三0,必三0,从而三C（常数） dt dxf/ lz（x,0） = 0, /. C = 0, i.e., V（xyt） = 0, % 三 %12上页I下页I返回12能量不等式用能量积分法讨论波动方程初边值问题rutt - 02bl = / （羽 j） 0,W（x, j, 0）二（p（x, j）,火（x, y, 0）二之（x, j）,（羽3）L,）3二。记 E(t) = jj记 E(t) = jjQ+ a2

3、(u + u)dxdy珈=2 dt13utf dxdy jjudxdy +JJ f2dxdyQQQ E(t) + JJ f2dxdy上页I下页I返回nE(t IJJ f2dxdydiq/ 今 E(t) M E(0) + J。e , JJ f?dxdydr( T 当 OfT 时 E(t) Co E()+ JIf /公处Q7（其中C0 =d是仅与丁有关的正常数。）记 /=jj u2dxdy a今9di-2JJuu今9di-2JJuutdxdy jju2dx(fy + jjudxdy QQQ0(O+r(O14上页I下页I返回+ 整)V/E atat二石0 - E。(0) +储工厂石北r当0tT时 E

4、o)VG(Eo(0) + Jo E(r)dr) (G =).rE(了 )而.rE(了 )而jHk(o)+j：jjjdxdydTdT C2(E(0) + J：而) 二 coT):.E.(t) 0, 沏=7(%7)0,只要帆勾心) ,麻-外儿(Q)，帆广即|妹)V小ki-L(Q) ，帆-八队(0,T)xQ) 小那么以(卬1,5)为初值，/1为右端项的解的与以(牝,甲2) 为初值，力为右端项的解町之差在WT上满足2(Q)17上页I下页I返回173,柯西问题解的唯一性与稳定性(d)% 一屋(%十%) = 0,(工,0) =(p(x, j), %(*, j, 0)=孤x、y)设是问题(d)的解，记 : (x - %o)2 + (y 盟)2 (/?- at)2瓦(QJ含JJM则有 dE(Qt)+ a2 (u +u)dxdydt0 （证明略）故 ;(QJWE(Q。)18（*0，盟）上页I下页I返回R0定理6.3波动方程初值问