波形估计最佳线性估计滤波

1、第四章波形估计(最佳线性估计、滤波)参量估计-静态估计-随机参量，非随机参量波形估计-动态估计-随机过程线性滤波理论是用来估计信号的波形或系统的状态最佳估计-仅当高斯随机过程的特殊情况线性最佳估计，最佳线性滤波-最小方差准则最佳线性滤波要解决的问题：给定有用信号与加性噪声混合的信号波形，寻求作用于此混合波形的一种线性运算，得到的结果将是信号与噪声的最佳分离。最佳-使估计的均方误差最小。维纳滤波(Wiener Filtering)-1940平稳随机过程的最佳线性滤波，必需存储所用到的全部数据，计算量太大，不适 于实时处理。卡尔曼滤波(Kalman Filtering)-1960将状态变量引入滤波

2、理论,利用递推算法，便于实时处理，并可处理非平稳随机 过程。41、线性变换与正交原理线性变换估值N(t)为观测信号Z(t )的线性变换，故可写成：N (t) = L1Z(t) J-( 4 - 1)式中算子L 表示线性变换，估计准则是线性最小均方误差因此，定义误差：e(t )= Z(t )- Zt )- -(4 - 2)希望导出估计准则L ,使下列均方误差最小：E e (t)|2 =E | |Z( t) - Z? (t)2 1 - - ( 4- 3)由于变换是线性的，则对于所有的常数a1,a2和过程Z1(t)和Z2(t)有：若Li和L2是两个线性变换，即：则其差的变换也是线性变换，即：L a1Z

3、1(t)a2Z2(t) 1 = a1LlZ1 t 】a2LZ2 t - (4 - 4)Lja1Z1(t) a2Z2(t) 1 = a1L1 -Z1 ta2L1 Z2 t - - (4 - 5)L2 a1Z1(t)a2Z2(t)二 a1L2 1-Z1 t 卜 a2L21Z2 t - (4 - 6)L = L 2 1 * 1 -L1 * 1 - - ( 4 - 7 )将(4-5)和(4-6)代至ij (4-7)式中，即可证明，对于线性变换有：EL ； = L E- -(4 - 8)式中算子E ,表示数学期望。若X在区间ti,tf对所有的己与Z(E)正交,即：E I.Z (), X (t ) U 0

4、 , -3 , t f - -(4- 9)则对于Z(己)的任何线性变换，在区间Esti,tf对X(t)也正交。若LZ(己)是Z(己) 的线性变换，因为线性变换和期望是可以交换的，故有：E ：L I.Z () 1, X ( t ) ,1 - E ： L I.Z ( ), X ( t) 1?二 L ：EZ ( ), X ( t )- L 0 =0 , - - - t i , t f , - - (4 - 10)二、正交原理线性变换L ,是最小均方误差估值，当且仅当误差 e(t)在区间Wsti*对 Z( )正交。证明：假若所有过程 Z(t)=Y(t)+V(t)是实的、平稳的。考虑线性变换 L /,

5、对所有己， LiEZ(U) = Y?(t)，于是均方误差 E1e2(t) , ei(t) = Y (t) Y?(t)是最小，则L1 Z( ) 1 = Y？(t) - - (4 - 11 )是最佳估值，且% = E - (t)1=E(IY(t) - L(Z(U)12= 0.(4- 12)考虑线性变换L21,对所有己,L 21Z(巴)】=Y?(t)，则误差E12( Ite2(力)=Y (t) - Y?(t)对所有己与数据Z(E)正交，即：E b 2 (t) , Z( ) 1 = E * Y (t) - Y?( t) ! Z( )= 0 .( 4 - 13 )误差e1(t)可用e2(t)表示，如e1

6、(t) = Y (t) - Li Z 1=Y (t) L lZ I - L2 I.Z 1/ - L1 I.Z=e2(t) - L2 lZ 1- Li lZ 1=e2(t)L lZI - - (4 - 14 )由式(4-7)差的变换也是线性变换。将式(4-14)代入式(4-12),由最佳估值，线性均方误差变成：；m= E Y ( t) - L1 Z()I2J=E; Q 2 ( t ) L Z( )I2J=E Ie 2 (t ) + 2 E Ie 2 ( t ), L Z (之)+E 1 Il Z () I2 .( 4 -15)因为e2(t)对数据Z(己)正交，也就对LZ(己)正交，如方程(4-9

7、)所示，于是E *2(t), LZ ( ) 1 = 0.( 4 - 16 )则最小均方误差简化为：8m E E b2(t)】十 E 【LZ ( ) 2.( 4 - 17 )其中 e e2 (t)为估计值L 2 的均方误差。因此em = E2(t)】+ ElLZ(5)F)= Eb2(t)!(4-18)当且仅当非负值E ILZ ( )12为零,即：L=LJI- LJ= 0- -(4- 19)这就证明了上述正交原理；对于误差与数据正交，线性变换导致最小均方误差线 性估计值，反之亦然。维纳滤波器的推导可以用正交原理的方法，也可采用其他的方法，如变分法等。4-2维纳滤波(平稳随机过程的最佳线性滤波)滤波

8、的条件及要求：有用信号s(t)是随机过程+加性噪声n(t)输入x(t)并假设s(t),n(t)是联合宽平稳的，具有已知的自相关函数和互相关函数(或对应的谱密度函数)；滤波器是线性时不变的h(t) H()输出是宽平稳的，即稳态滤波的含义。理论上可认为输入信号x(t)是在t=-00时加入的，因此，在任何有限时刻t ,输出y(t)是宽平稳的。选取滤波器的h(t)H()，使估计的均方误差最小。二0,冲击响应-h(u)最佳冲击响应。于是我们可以将式(4-25)代入(4-23)式中，则有:h(u)； (u)h(v)； (v) Rx(v - u)dudv一 一- 2h(u)；aO(u)Rs,x(： u)du

9、Rs(0).( 4 - 26)容易看出E *e2 ( t这的函数，当E=0时取最小值，故可求4 - 27 )FE *e2 (t )4 - 27 )改写积分变量后，可得:QORs,x(：.二 h(u)RxQORs,x(：.二 h(u)Rx( -u)du d = 0 .( 4 - 28 )卜面分别就物理不可实现(非因果)和物理可实现(因果)的两种情况，来讨论此式的求解问题。一、 物理不可实现(非因果)维纳滤波器h ( ) = 0 , ：二 0 一一( 4 - 29 )所谓非因果的维纳滤波器，是指不仅要利用过去的数据也要求利用未来的数据，故只可用于事后的数据分析，不适合实时处理。(4-29)式表明对

10、h(i )和(T )均没有任何限制。故(4-28)式唯一可能的解，就是式中方括号 门内的项为零，即:h(u)Rx( - u)du = Rs,x(:),-： .(4 - 30)此为弗雷德霍姆(Fredholm)第一类方程，积分区间为(-叫+吧)，两端求双边拉氏 变换得：H (p)Sx(p) = Ss4(p)exp( : p) 一一(4 - 31)式中 p =仃 + jco , Sx( p) = L Rx(TSs,x( p) = LRs,x(T ”故有：Ss,x( p)exp(-3) f、H ( p ) = ; - - (4 - 32 )Sx( p)当信号与噪声不相关(统计独立)时，由(4-24)

11、式得：H ( p)Ss,x ( p) exp(二 p )Ss( p) Sn( p)H ( p)代入p = j0 得非因果维纳滤波器的传输函数:-(4 - 34)Ss,x( )exp(j 二)Ss( ) Sn()-(4 - 34)容易看出 Se)较小时he)较大，而在 Sn()较大时H9)较小。此即维纳滤波 器用来抑制噪声复员信号的办法。此时的最小均方误差为，由 (4-23)式：E e2 L Rs(0) - 二h(u)Rs,x(：u)duO0 -O0-I对于最佳冲十 一h(u) - Rs,x(：u) , .h(v)Rx(u - v)dv du.(4 - 35)JI IA-J击响应，应满足(4-3

12、0)式，因此上式中方括号内的项为零，所以最小均方误 差为：Ee2lmin =Rs(0) 一 二h(u)Rs,x(：u)du.(4 一 36)二、物理可实现(因果)维纳滤波器原 h(u)+ ；. (u)(4-25)h( ) = Q ( )=Q 0-(4-37)而七 0,时(e )可为任意函数。对比(4-30)式则有： 七h ( u) Rx (7-u )du = Rs,x (u + e), - e +.(4 - 30 )qQh(u)Rx(- u)du - Rs x(二 )=0,- 0.( 4 - 38 )此即Wiener-Hopf方程，仅在三-0成立，求解复杂求解方法有两种，频谱因式分解法，预白化

13、方法。 频谱因式分解法： 首先定义一个未知的负时间函数代替(4-38)式的右端一 0a()-(4 - 39)a()二 0qQh (qQh (u) R x ( ：i； - u ) du- Rs,x(：二.(4 - 40 )两端求双边拉氏变换得:H ( p)Sx( p) - Ss,x(p)exp(二 p) = A( p)(4 - 41 )现对谱密度Sx( p)进行因式分解得：Sx(p)= Sx (p)S；(p) -(4 - 42)S：( p)的另极点均在左半平面，对应正时间函数;S； ( p)的另极点均在右半平面，对应负时间函数；故有：p ).(4 - 44 )H (p)Sx (p)Sx7p) -

14、 Ss,x(p)exp(1 p) = A(p).( 4 - 43)p ).(4 - 44 )H (p)Sx(p)=A( p) Ss,x ( p) exp(H (p)Sx(p)=Sx-(p)S1(p)对于物理可实现的滤波器， h(i ) = 0尸 0 ；即h(T )是正时间函数,对应的H(p)对应的H(p)的另极点都应在左半平面,H ( p)Sx( p)亦然。而 a。)为负时间函数，A(p)的另极点均应在右半平面， A( p) / SJ( p)亦然。同理上 式中右边第二项也可分成分别对应正负时间函数的两项1Ss x ( p) exp(二 p) 一H (p)= | s，e正时间部分.(4 - 45

15、)Sx(P)jS(p)-先求上式中的逆变换，再求单边拉氏变换得:H ( p)dt .( 4 46 )1 严 _pt 1, 1 rc+jcoS s,x ( p )eaH ( p)dt .( 4 46 )：n e .eSx ( P) 0|2-:J c-j S(p)此时最小均方误差为:E b 2 L = R s ( 0 ) - 二 h ( ) R s,x (二 )d . , - - 0 .( 4 - 47 )GCJ物理可实现h ( T ) = 0 , 7 0预测 b)a = 0滤波 c)avO平滑a) 0,对应于预测情况。其均方误差要比滤波和平滑的情况为大；当“T +如时E Q 21min趋于上限

16、Rs(0) ,即无限时间预测所对应的 均方误差，等于有用信号 s(t)的均方值。此种情况下，实际滤波器的输出 为零y(t)=0,故有：E Q2 1=E1s2 (t ： ) 1 = R s ( 0 )由于当前信号与无限远未来的信号是不相关的， 所以不能根据当前信号来预测无 限远未来的信号。b)：0,对应于平滑情况。相当于延时滤波，所得到的均方误差较无延时滤波：=0b)为小，即延时滤波可以提高估计精度。当 a T 8时，E Q2 达到下限； 这表示输入信号全部加入以后，才开始处理和输出数据，因此是利用了全部输入 信号的信息，有助于提高估计精度，使均方误差达到下限。事实上，这种非实时 处理的情况，相

17、当于物理不可实现的滤波器。对于物理不可实现的滤波器，同理 可以推导出：E 2 L = R s(0 ) - .二 2 () d . .( 4 - 51)因止匕、物理不可实现滤波器的均方误差、是物理可实现滤波器均方误差的下限。所以、讨论较好计算的物理不可实现滤波器均方误差，也是有实际意义的。三、离散时间维纳滤波器上述物理可实现维纳滤波器,都是在连续时间下讨论的，其主要问题可归纳为：如何对输入信号的过去历史进行加权，以实现对当前信号的最佳估计，最佳准则 是均方误差最小。按照这种思路，可以方便地将维纳滤波器推广到离散情况。 对 输入信号x=s6+n(t)进行采样，ti时刻的数据Xi：Xj = x(ti

18、) = s(L) + n(tj) = si + ni, i = 1,.N(4 52 ) tN时刻的输出样本yN为以前输入样本的线性加权和：y n = ki Xi k 2 X2. kN Xn - -(4- 53)其中ki, k 2,. k n为权重序列，则无延时滤波的估计误差：eN = SN 一 y N: Sn: Sn - (kiXi k?X2kNXN )- (4 - 54)E 电 E 电 n , = E Ls n - (kiXi =E bN 1+ki2E1Xi21+kk 2 X 2 . k N X N ) F J；EX 22 1 ,- k N E -x N2 k i k n E -x i x

19、n2 k n Ex n s n1.(4 - 55 )2 k i k 2 E I x2 k i k n E -x i x n2 k n Ex n s n1.(4 - 55 )2 k 2 k 3 E l-x 2 x 3 I + 2k2k4E Lx 2 x 4 +.- 2k n _i kn E I x n_i x n 1(N+i), N X N阶协方差矩阵一- (N+i) X (N+i)阶矩阵，要解N+i个联立方程，计算量猛增。而且、还无法预见哪些数据是以后不需要了可以去掉；新、老数据同样重要，只好保存所有的数据, 故不能实时处理；且也难以推广到多变量同时估计的情况。且看一个比较算法优劣的简单例子假

20、定一常值彳S号+噪声Z=m+ni求样本均值作为常值信号的估计方法一、存储所有观测数据，计算步骤如下：1、测Zi存储Zi计算均值估计n?i = Zi2、测Z2存储Z2计算均值估计m?2 = (Z1 + Z2)/23、测Z3存储Z3计算均值估计 危=(Zi+Z2+Z3)/34、测Zn 存储Zn计算均值估计m?N = ( Z 1 + zn)/n方法二、每次新的估计仅由上一次估计及新的观测样本构成而与过去的观测样本 无关。计算步骤如下:1、测Zi1、测Zi计算均值估计m?i = Zi存储r?i清洗Zi2、测Z2计算n? 2f i+ /2存储包清洗Z2,向2一 2一 i3、测 Z3 计算 n? 3 =

21、一 n? 2+ Z33存储n?3清洗Z3, r?2依次类推则有：N依次类推则有：N、测Zn计算m?m? n _i+存储n?N 清洗ZN, n?N-i .显然两种方法计算结果相同，是完全等价的；但是方法二要比方法一简单、优越; 无需存储过去老的数据，仅用前一次的估计值与新的观测数据来计算新的估计- 递推算法。方法一则要存储过去的所有数据，每观测一个新的数据，都需要和过 去所有的数据一起来计算新的估计值。离散时间维纳滤波器酷似方法一，而卡尔 曼滤波则相当于后者递推算法一引入了状态变量和状态方程。 43卡尔曼滤波(最佳线性滤波_ II)维纳滤波问题即求滤波器的冲击响应， 使估计的均方误差最小；实际是

22、如何最好 地加权过去的输入数据，以决定当前的输出，其权重就是冲击响应。但离散维纳 滤波求解繁琐，计算量大难以实现实时处理以及多个变量同时估计。i960年后,航天等应用使人们探索新的算法。卡尔曼滤波是对维纳滤波的一次突破，用状态 空间模型代替相关函数，时域微分方程、递推算法，非平稳等 卡尔曼滤波的主要特征：i、随机过程的状态空间模型，矩阵表示，可同时估计多变量2、观测数据提出递推算法，便于实时处理。随机过程的状态空间模型状态变量:动态系统的t = to时刻初始状态以及t之to时的输入已知的情况 下，确定此动态系统状态的一组最少数目的变量。状态方程：状态变量所满足的一维微分方程。 状态变量举例 回

23、路电流状态变量:动态系统的t = to时刻初始状态以及t之to时的输入已知的情况 下，确定此动态系统状态的一组最少数目的变量。状态方程：状态变量所满足的一维微分方程。 状态变量举例 回路电流i=x1 电容电荷q电容电压v=x2=q/C足微di十dtRi方R若利用x1 x2作为状态变量，则可化成两个一阶微分方程:RxRx上式即状态变量所满足的两个一阶微分方程-状态方程。写成矩阵形式为:；2RL1C:若取电阻R两端的电压y作为输出变量：y=Ri=Rx1或写成矩阵形式的输出方程:般情况以x1, x2,., xN表示系统的状态变量，则状态方程:x 1a 11a 12a 1 Nx1 1bnb 12b 1

24、 Mui 1x 2a 21a 22-a 2 Nx 2-JLb 21b 22-b 2 Mu 2aaa+9+9x N _1a N 1a N 2-a NNx N _1 Ib n 1b N 2-b NMu M 一物出力林也口表不力：yi 1-c11C 12c 1 Nrx 1 1y 2c21C 22c 2 Nx 2m-a-y l-cL 1c L 2c L Nx N -以上状态方程可简记为：X = A X B U Y = C XX =N x 1, U =M x 1, Y =L x 1, A =N x N, B =N x M, C =L x N.此即随机过程y(t)的连续状态模型。其中 X 是状态变量矢量,

25、 U 是策动噪声矢量-其 M个分量都是白噪声过程。此模型的 含义是：可以认为随机过程 y(t)是以白噪声输入到某个线性系统 的结果；而状态变量可以看作是为了得到 y(t)而引用的中间变量。 一般说来，弁非所有的随机过程都可以用上述状态模型来描述； 然而、实际应用中确实有许多随机过程可归结为上述状态模型。 特别是具有有理功率谱密度的随机过程都可归结为上述状态模 型。具典型推导过程如下：首先对随机过程y(t)的有理功率谱密度Sy(p)进行因式分解，即: Sy(p) = Sy(p)S；(p) - -(4-57) S；(p)的另、极点在左半平面，对应正时间函数；sy(p)的另、极点在右半平面，对应负时

26、间函数。然后取Sy(p)作为形成滤波口形成滤波器也器的传输函数，则单位白噪声* H(psy(p)(谱为1) u(t)通过该形成滤波器后，输出即为所求的随机过程y(t)具有理功率谱密度Sy(p)为形成滤波器的传输函数模平方：2- +2H )| = |S；( )= S；( ) S；( )二 Sy ( )Sy()二 Sy() -(4 - 58 )已知传输函数H(p)就可以按照状态空间分析方法，由传输函数导出状态方程，从而得出y(t)的状态模型o例4-2已知一随机过程y(t)其功率谱为Sy(jw)SySy( j )二164 - 4216代入p = 代入p = j。，得:o /、_ 16y(P) p4

27、+ 4P2 + 16 另极-1- j13,1- j3ccc4Sy) = Sy(p)SyXp)2P-点 为4P2- 2P 4H (P)= H (P)= Sy(p)4P 2 + 2 P + 4此即形成滤波器的则有:Y(p)=H(p)U(p)=4U ( p)则有:Y(p)=H(p)U(p)=4U ( p)P 22 P 4传输函数，于是可由传输函数求状态方程。有拉氏变换:L !y (t) 1, ,U ( p ) = L !-u (t) 1有拉氏变换:(P 22 P 4)Y ( p ) = 4U ( p)求拉氏反变换可得状态变量应满足的微分方程:y 2y 4y =4u引进状态变量x引进状态变量x1,x2

28、,令y= 4%,不X2 （此假定不是唯一）dxdte dxdte - at 呕adtdt6 atX6be atu(t)两边积分得:则有；一 xi 1- 011 I 10 1二十 u ( t )卜2 一4- 2-X2 一 11 一y - 40 1 X 1一 X 2此即前述形式的状态模型。实际上，随机过程的状态模型适用的范围很广，不仅限于上述有理谱的情况，任何通过线性微分方程与白噪声发生关系的随机过 程都可以表示成为状态模型。 如维纳过程及具有随机幅度就相位 的简谐运动的过程等等。状态方程的时域解： 最简单的一维状态方程（标量）x = ax bu .（ 4 - 59 ）-atax (t) + bu

29、 (t).( 4 - 60 )两边同乘 eae -at x(t) = be -at u (t).( 4 - 61 )一 一 ate x ( t )tbe -a u () dt 0t。e 一滉 x(t) 一 e 一 0 x(t0 ):be -a u ( )dtox (t )= e a (t -to) x (10 ) e at be -a u ( )d t 0a ( t _ t )a(t)=e x (10 ) be u ( ) d .( 4 - 62 )t 0同理对于写成矩阵形式的状态方程：X =AX + BU (4 63) 得 ：tX (t) = eA(t 0)X (t0 ) eA( )B(.

30、)U ( )d .( 4 - 64 ) t 0此式有时又称为状态转移方程，式中矩阵eAt是与A同阶的矩阵，通常称为状态转移矩阵，弁记为 (t)故有：X (t) = :，(t - t0)X (t。)(t - )B ( )U ( )d .(4 - 65 )t0随机过程的离散状态模型(可从连续过程进行采样的方式导出，详细推导可见刘有恒书 p.389)。1960年初卡尔曼则是先提出离散时间的卡尔曼滤波的递推算法，然后再导出连续形式的算法。；x 十二W K 乜kX_ + WK ,一 K 0 _ _(4 _ 66 ).Y K = C K X KX K +1 = X (tKf),X K = X (tK )其

31、中： ,64-(t * - t )Wk+1,K W(【k+1t k )一Jk * 某一一Wk = I 6 (tK +i - 七)B (丁)U (7 )d e t K二、离散时间卡尔曼滤波的三个过程消息过程、观测过程、估计过程(相应的模型)H消息模型：即为前述离散状态模型中 k中 k X K Wk=C K X K-(4 - 67 )H观测模型:Zk = H K X K Vk - -（4 - 68 ）Zk - tK时刻的观测矢量 （Mx 1）,其中1 ： V；-测量噪声矢量（Mx 1）,HK -观测矩阵（MxN ），及/K= 0时Z=k h XK的变换策动噪声矢量 Wk和测量噪声矢量 Vk各自的协

32、方差矩阵均已知，两者都是零均值，且两者不相关，即：EWKWjT = jQk,i= k _ .（ 4 -69） 、0 , i # kE Vk V：T = J R K，i = k _ _ （ 4 _ 7 0 ） 0 , i # kE W K V i T = 0 ,. - i , K -（4-71）H估计模型：文丁对X K在k时刻以前的预测估计（先验估计）e7= X K - X?i预测误差（零均值）则对预测误差的协方差矩阵为：PJ = EeK-e = E（Xk - X?K）（Xk - 攵】）丁.（4 - 72）作为卡尔曼滤波最佳线性估计的出发点，一般假定 Xk和Pk是已知的，若实 际情况下不能确切地

33、求出文K,但是如果其均值为零的话，则可令： 文K=0, P= E X K X? T 有了预测估计 0以后，我们就可以利用tK时刻的?观测矢量Zk来改善对Xk的估计，tK时刻的估计记为 Xk ,称为更新估计:X？K = X? - Kk(Zk - H K X? -) - - (4 - 73 )KKK KK KKk 为待定的增益矩阵式中第一项是预测估计；第二项是代表tK时刻，由观测值Zk得到的关于 XK的 最新信息。而更新估计误差的协方差矩阵为：Pk = E ( X k - X?K) - K k ( H k X k V k - H k X? K )(Xk-X?K)-Kk(HkXk Vk - H k

34、X?K) T.( 4 - 74 )卡佳尔曼滤波的目的也是使估计误差的均方值最小，即是使得更新估计X K为最卡佳,同样是采用维纳滤波的准则：最小均方误差。由此即可求解出最佳增益矩阵。推导过程略，详见刘有恒书 p.394-396 ):TT1Kk = PH kt(H kPk_H / + Rk) .(4 - 75)KKKKKKK，此最佳增益矩阵亦称卡尔曼增益矩阵。势是否合理来看：当测量噪其物理意义，可从各个变量相对变化的趋此最佳增益矩阵亦称卡尔曼增益矩阵。势是否合理来看：当测量噪其物理意义，可从各个变量相对变化的趋时，由式(4-70)可知，即E V kV对应最佳增益矩阵时的误差的协方差矩阵为:Pk =

35、 (I - K K H K )P1(4 - 76 )容易看出，卡尔曼滤波是具有“反馈校正”作用的，即：S测估计+校正的新信息=更新估计洲估计已经很准确的时候，则P1就会很小了，就是增益矩阵 Kk也很小了,时新的观测数据Zk的校正作用意义就不大了。若PJ = 0则即0，这就说明X K已经达到准确值了。下面可写成一个离散卡尔曼波的框图:前面的分析可以看出，W测量噪声增加时.最住增益矩阵下降。再由式 (4-76)而可以看出P而可以看出Pk.当噪声继续增加，直到KK-kP不P-此H也就没有新的信J、冉，更新校正的 预测误差协方It矩阵的巨阵T二吗 Q-0 U + C济娜盛谈送*Kx? -作用了，迭代终

36、止。三、离散时间卡尔曼滤波的应用离散时间卡尔曼滤波的应用非常广泛，航天、导航、自动控制、通信、冶金、电力、化工、气象、水文、地质等领域。美国阿波罗登月计划，GPS系统，巡航导弹的雷达信号处理及控制都是卡尔曼滤波成功应用的例子。卡尔曼滤波应用的一些限制：H模型问题：近似的状态模型-估计的精度，简化计算近似程度-估计误差及迭代收敛、发散E实时处理能力：计算量的大小-改进计算技术、减少状态的维数、采用近似的增益矩阵等。H发散问题：模型的选择及有限字长等问题。许多的研究工作继续在开展进行-卡尔曼滤波的生命力。例4-2、电话负载预测BSTJ(Bell System Technical Journal)1

37、982.No.1 是卡尔曼滤波应用于电话网络预测的专刊，其中有一篇是关于电话干线 用户需求量的短期预测的文章。35口。线用户需求量的短期预测的文章O3coe25。3C0C250。2000 i500 11375 35口。线用户需求量的短期预测的文章O3coe25。3C0C250。2000 i500 11375 19rs 9-*79飞图9.5 电话干线负载数据?200019751976197719781979(Suu)夏塔密5V聂W干线提供的负死量o 一年间隔预测口干线提供的负我域。年间隔预测电话干线负载数据上图是某条电话干线数年间的负载数据，其中方形点代表1975年1979年实际负载数据。数据曲

38、线是周期性起伏的, 在每年年底至年初期间电话负载达到高峰。曲线近似于是在 正弦曲线上叠加一个逐年线性增长的趋势，正弦部分和线性 部分都有一些噪声叠加其上。故可采用下列模型拟合系统的 状态：线性部分乂= fi(t),振荡部分y2y = f2(t)fl(t), f2(t)是统计独立的白噪声过程，定义状态变量:Xi = x, X2 = x, X3 = V y由此可以写成下列状态方程：X10100X10I I 二 c c c I I X2=0000X2f1(t)x30001x302X4.0 0 - 2 0 .X4, f2(t)矩阵形式为：X二AX . U此为连续时间的状态变量模型。经过用时间间隔 T的抽样观测，可得离散的消息模型：Xk 1 kXk Wk根据相应的公式可以求出1T0Un T0cos TUn T0cos T00 cos Ti00- sin TQk文中未给出具体的数值，说明是根据经验来确定的。其观 测模型为：X1 K_I I _Zk，10101 x2K Uk = HkXk UkX3K I IX4K文中未给出R