习题课导数的应用

1、习题课导数的应用习题课导数的应用导数的应用1. 研究函数的性态:增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点 ,渐近线 ,曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式(单调、凹凸、泰勒) ;研究方程实根等.4. 补充定理 (见下页)一、主要内容：9/23/20222导数的应用1. 研究函数的性态:增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点设函数在上具有n 阶导数,且则当时证 令则利用在处的 n 1 阶泰勒公式得因此时定理 9/23/20223设函数在上具有n 阶导数,且则当时证 令则利用在处的 n单调增区间为 ;的连续性及导函数例1 填空题

2、(1) 设函数其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .提示:的正负作 f (x) 的示意图. 二、例题分析9/23/20224单调增区间为 .在区间 上是凸弧 ;拐点为 提示:的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数的图形如图所示,9/23/20225 例2 证明在上单调增加.证 令在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,得故当 x 0 时,从而在上单调增.9/23/20226例2 证明在上单调增加.证 令在 x , x +1 例3 设在 上， ，证明函数在 上是单调增加的证 当 时，有9/23/20227例3

3、设在 上， 故即 是单调增加的是单调增加的因而根据拉格朗日中值定理9/23/20228故即 是单调增加的是单调增加的因而根据例4 设在上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证 设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点 .又因因此也至多只有一个零点 .思考: 若题中改为其它不变时, 如何设辅助函数?9/23/20229例4 设在上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零例5 求函数 的零点个数对函数 ，有解得 当 时，即 单调减少；即 单调增加又 ，故当 时， 在 内，有且只有一个零点，中的唯一零点解令 时，当而此零点即为 在定义域9/23/202210例5 求函数

4、例6 证明证 设, 则故时, 单调增加 ,从而即思考: 证明时, 如何设辅助函数更好 ?提示:P183 题11(2)9/23/202211例6 证明证 设, 则故时, 单调增加 ,从而即思考: 例7 设 ， ，证明：当 时证因为当 时 ，即当 时，因而当 时，有取 ，即得所需要的不等式是单调增加的，9/23/202212例7 设 ， ，证明：例8证9/23/202213例8证9/21/202215例9 设且在上存在 , 且单调递减 , 证明对一切有证 设则所以当令得即所证不等式成立 .9/23/202214例9 设且在上存在 , 且单调递减 , 证明对一切有证 例9证不妨设9/23/20221

5、5例9证不妨设9/21/202217例10证法一 只要证9/23/202216例10证法一 只要证9/21/202218例10 证法二 只要证利用一阶泰勒公式, 得故原不等式成立.9/23/202217例10 证法二 只要证利用一阶泰勒公式, 得故原不等式成例11证P154 题10(3)9/23/202218例11证P154 题10(3)9/21/202220例12解极大值极小值无极值9/23/202219例12解极大值极小值无极值9/21/202221-11234560.511.522.539/23/202220-11234560.511.522.539/21/20222例13 求数列的最大

6、项 .证 设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大点因此在处也取最大值 .又因中的最大项 .极大值列表判别:P183 题149/23/202221例13 求数列的最大项 .证 设用对数求导法得令得因为在例14 证明当 x 0 时,证 令则法1 由在处的二阶泰勒公式 ,得故所证不等式成立 .与 1 之间)9/23/202222例14 证明当 x 0 时,证 令则法1 由在处的法2 列表判别:即9/23/202223法2 列表判别:即9/21/202225法3 利用极值第二判别法.故也是最小值 ,因此当时即9/23/202224法3 利用极值第二判别法.故也是最小值 ,因此当时即9/例15 设函数

7、 求 的极值解令 ，当 时，得 单调增加；当 时，当 时，得 单调增加所以 ， 分别为函数的极大值和极小值因得得 单调减少；9/23/202225例15 设函数 如图所示，铁杆的长度为 ，从而，例16 设有一直角弯道，入口的宽度为 ，拐弯处的宽度为 ，求以水平方向通过的铁杆的最长长度解其中9/23/202226如图所示，铁杆的长度为 令即铁杆的最大长度为从而得9/23/202227令即铁杆的最大长度为从而得9/21/202229例17 在椭圆 上求一点 ，使它与另两点 ， 所构成的三角形面积为最小解因线段 固定，故欲使面积最小，即要使点离开线段 的距离为最小线段 的方程为即点 到直线的距离为x

8、yO2aa2bbAB9/23/202228例17 在椭圆 注意到点在直线的下方，即而代入，得 ，令得代入 的表达式，令即所求点的坐标为得 ，9/23/202229注意到点在直线的下方，即而代入，得 例18 求解法1 利用中值定理求极限原式P182 题49/23/202230例18 求解法1 利用中值定理求极限原式P182 题4解法2 利用泰勒公式令则原式9/23/202231解法2 利用泰勒公式令则原式9/21/202233解法3 利用罗必达法则原式9/23/202232解法3 利用罗必达法则原式9/21/202234三、课外练习题1证明方程 只有一个正根2设 可导，证明 的两个零点之间一定有