《数学分析1》知识点总结：第八章-不定积分

1、一、不定积分概念与基本积分公式1. 原函数与不定积分定义 1：设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义，若 F(x)=f(x),xI，则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数。定理 8.1：若函数 f 在区间 I 上连续，则 f 在 I 上存在原函数 F，即 F(x)=f(x),xI。不连续的函数也可以有原函数定理 8.2：设 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数，则(i) F+C 也是 f 在 I上的原函数，其中 C 为任意常量函数；(ii) f 在 I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数。定义 2：函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的不定积分，记作f(x

2、)dx。f(x)dx=F(x)+C=f(x)；df(x)dx=dF(x)+C ；不定积分的几何意义：积分曲线2. 基本积分表0dx=C；1dx=dx=x+C；x1x C x ( 0)；11 | x|C(x 0)；xdx=e +C；exxaxa C( a 0)；xa1C (0)；a1C (0)；asecxdx=tanx+C；cscxd1=-cotx+C；secxtanxdx=secx+C；cscxcotxdx=-cscx+C；x C x C；1 x12x C x C 。1 x12定理 8.3：若函数f 与 g 在区间 I 上都存在原函数，k，k 为两个任意常数，则k f+k g 在1212Ik

3、和k k f(x)+k g(x)dx=k f(x)dx+k g(x)dx121212二、换元积分法与分部积分法1. 换元积分法定理 （第一换元积分法/凑微分法）：设函数f(x)在区间 I 上有定义，(t)在区间 J 上可导，且(J) I。如果不定积分f(x)dx=F(x)+C 在 I 上存在，则不定积分f(t)(t)dt=F(t)+C.定理 （第二换元积分法/代入换元法）：设函数 f(x)在区间 I 上有定义，(t)在区间 J 上可导，(J)=I，且 x=(t)在区间 J 上存在反函数 t=(x)，xI。如果不定积分f(x)dx在I上存在，则当不定积分f(t)(t)dt=G(t)+C 在 J

4、上存在时，在 I上有f(x)dx=G(x)+C.2. 分部积分法定理 8.6（分部积分法）：u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-u(x)v(x)dx3. 题型：求不定积分方法举例线性运算法则(齐次)(分子次数高)；三角函数公式(cos2x,1)；分类讨论；凑出基本积分公式凑微分法拆分出 y 和 y；上下同除 a ，d(x)d(x/a)，a+x;分母上根号下a-x；2代入换元法分部积分法u=x 根号下 a；根号下 x-a2x=asint； x=asect；62表达式可以写为 uv的形式（可多次使用）三、有理函数和可化为有理函数的不定积分1. 有理函数的不定积分有理函数：两个多项式函数的商，分

5、母次数分子次数为真分式，否则为假分式。有理真分式可以表示成若干个部分分式之和（部分分式分解）2. 三角函数有理式的不定积分有理式：R(u(x),v(x)，u(x),v(x)及常数经过有限次四则运算所得到的函数。三角函数有理式的不定积分R(sinx,cosx)dx。3. 某些无理根式的不定积分 b b dR x( ,t nn：写出 x 和 dx；（优先化简） dR(x, c) a b 4 0 a b 4 ， ； :222Ru, u k u kt;令 22Ru, u k u kt;令 22Ru, k u u kt.令 22u=x.令 u=k.令 t=tan(/2)xa 0若 c ax t ；2欧拉

6、变换：a 0若 c c ；24. 题型求分式积分：（步骤）(i) 部分分式分解：较为繁琐，后策a. 分母作因式分解，()(),()；AB x Cb. 拆项，写成对应的形式，nnn；x a)（ x q)（ n2nc. 通分，待定系数求解/带入特殊值；d. 带入部分分式，积分拆解。| x a| C,k 1 (x a)1；C,k 1k k)(x a)k 1令 t=x+p/2Lx M Nt1 N L(x q) t r )t r )t r )2 2 k2k22k22k1t r ) C,k 122t 21t r )22kkC,k 2 kt r ) 22k 11tC,k 11rtr2k 3t r )22II ,k 2 2r (k t r )2r (k 2kk 1222k 1(ii) 化简为多项式+真分式/拼凑：首选a. 分子分母按降幂排列，补全每一项 0 x；b. 分子除以分母，商为多项式，余为真分式分子。求三角函数有理式的不定积分：（步骤）(i) 万能公式：（后策）t1 t222a. 令