2022届山东省济南市师范大学附属中学高二数学第二学期期末达标检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)+fA(-,0)B(0,+)C(-,1)D(1,+)2已知集合，则为（ ）ABCD3已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

2、）ABCD4的展开式中的系数为A10B20C40D805已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）ABCD6将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是( )A397B398C399D4007为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的22列联表：及格不及格合计很少使用手机20525经常使用手机101525合计302050则有（）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响参考公式:，其中 0.150.100.0

3、50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A97.5%B99%C99.5%D99.9%8已知向量，则与的夹角为（）ABCD9已知命题p：若复数，则“”是“”的充要条件；命题q：若函数可导，则“”是“x0是函数的极值点”的充要条件则下列命题为真命题的是（）ABCD10已知具有线性相关关系的两个变量，的一组数据如下表： 24568 2040607080根据上表，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则的值为（ ）A1B1.5C2D2.511 “”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条

4、件12甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事件“四名同学所报比赛各不相同”，事件“甲同学单独报一项比赛”，则( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计3000件已知甲、乙、丙、丁4类产品数量之比为1：2：4：现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，则乙类产品抽取的件数为_14已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_.15如图，在三棱柱中，底面，是的中点，则直线与所成角的余弦值为_ 16若复数，则_（是的共轭复数）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某厂生

5、产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.() 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；()随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；()随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数，）(1)求曲线和直线的普通方程；(2)设直线和曲线交于两点，求的值.19（12分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且（）求抛物线的方程；（）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为

6、圆心且与直线相切的圆，必与直线相切20（12分）已知点为抛物线上异于原点的任意一点，为抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于点，点关于轴的对称点为.（1）证明：直线恒过定点；（2）如果，求实数的取值范围.21（12分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.（1）求的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.22（10分）在2018年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、

7、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.（1）请写出第一、二、三、五组的人数，并在图中补全频率分布直方图；（2）若大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.若大学本次面试中有，三位考官，规定获得至少两位考官的认可即为面试成功，且各考官面试结果相互独立.已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为，求甲同学面试成功的概率；若大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官的面试，第3组有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

8、题目要求的。1、B【解析】不等式的exfx0，gx1，即e故选B.【点睛】不等式问题往往可以转化为函数图像问题求解，函数图像问题有时借助函数的性质（奇偶性、单调性等）进行研究，有时还需要构造新的函数.2、A【解析】利用集合的交集运算进行求解即可【详解】由题可知集合中，集合中求的是值域的取值范围，所以的取值范围为答案选A【点睛】求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等3、D【解析】函数中的取值范围与函数中的范围一样.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，所以函数的定义域为.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见的题型，已知函数的定义域或求函

9、数的定义域均指自变量的取值范围的集合，而对应关系所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.4、C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。5、A【解析】设，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得，利用斜率计算公式可得于是得到，化为，再利用，即可解得，进而得到椭圆的方程【详解】解：设，代入椭圆方程得，相减得，化为，又，解得，椭圆的方程为故选：【点睛】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键6、D【解析】根据图中数字排列规律可知，第行共有项，且最后一项为，从而可推出第20行最后1个数的值，即

10、可求解出答案【详解】由三角形数组可推断出，第行共有项，且最后一项为，所以第20行，最后一项为1故答案选D【点睛】本题主要考查归纳推理的能力，归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，解题时，要多观察实验，对有限的资料进行归纳整理，提出带有规律性的猜想7、C【解析】根据22列联表，求出的观测值，结合题中表格数据即可得出结论.【详解】由题意，可得：，所以有99.5%的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响.故选C.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于基础题.8、D【解析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得cos的值，据此分析可得答案【详解】设与的夹角为，由、的坐标

11、可得|5，|3，50+5（3）15，故， 所以.故选D【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题9、C【解析】利用复数相等和函数极值点的概念可判断p，q的真假；利用真值表判断复合命题的真假【详解】由复数相等的概念得到p：真；若函数可导，则“”是“x0是函数的极值点”是错误的，当是导函数的变号零点，即在这个点附近，导函数的值异号，此时才是极值点，故q：假，为真.由真值表知，为真，故选C【点睛】本题考查真值表，复数相等的概念，求极值的方法由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假假若p且q真，则p 真，q也

12、真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假10、B【解析】回归直线经过样本中心点.【详解】样本中心点为 ，因为回归直线经过样本中心点，所以， .故选B.【点睛】本题考查回归直线的性质.11、A【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】解：当时，所以 ，当时，所以 ，即所以“”是“”的充分不必要条件故选：A【点睛】此题考查充分条件，必要条件的应用，属于基础题12、D【解析】求出，根据条件概率公式即可得解.【详解】由题：，.故选：D【点睛】此题考查求条件概率，关键在于准确求出AB的概率和B的概率，根据条件概率公式计算求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，

13、共20分。13、【解析】根据甲乙丙丁的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论【详解】解：甲、乙、丙、丁4类产品共计3000件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：8，用分层抽样的方法从中抽取150件，则乙类产品抽取的件数为，故答案为：1【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和应用，熟练掌握分层抽样的定义是解决问题的关键14、【解析】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，数形结合即可得到结果.【详解】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，作出函数的图象：由图易得：故答案为【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件

14、构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解15、【解析】分析：记中点为E，则，则直线与所成角即为与所成角，设，从而即可计算.详解：记中点为E，并连接，是的中点，则，直线与所成角即为与所成角，设，.故答案为.点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活

15、，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解16、2【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进而得到最后求出复数的模即可详解：由，可得，故答案为：2点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见解析；（3）.【解析】（）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，事件A包括两种情况，一是抽到的是一个一等品，二是抽到的是一个二等品，这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果；（II）由题意知X的可能取值是

16、0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率，写出变量的概率，写出分布列；（III）随机选取3件产品，这三件产品都不能通过检测，包括两个环节，第一这三个产品都是二等品，且这三件都不能通过检测，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果【详解】（）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为事件等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ；() 由题可知可能取值为0,1,2,3.,.故的分布列为0123()设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，考查等可能事件的概率，本题是一

17、个概率的综合题目18、（1），（2）【解析】【试题分析】（1）先利用直角坐标与极坐标之间的关系将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，运用消参法将直线的参数方程化为直角坐标方程；（2）由于曲线是圆心，半径是，先求圆心到直线的距离是，再运用弦心距、半径、弦长之间的关系求出解：（1）曲线的极坐标方程可以化为：，所以曲线的普通方程是：即，直线的普通方程是，即；（2）圆心到直线的距离是，所以19、（）；（）详见解析【解析】解法一：（）由抛物线的定义得因为，即，解得，所以抛物线的方程为（）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，所以，所以，从而，这表明点到

18、直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切解法二：（）同解法一（）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，故直线的方程为，从而又直线的方程为，所以点到直线的距离这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系20、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）设，计算得到，直线的方程为，得到答案.（2）计算，设，讨论，三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）设，因为，所以，由三点共线得，化简得，即，由此可得，所以直线的方程为，即，因此直线恒过定点.（2），令，如果，则；如果，则，当时，时等号成立，从而，即；当时，函数在上单调递减，当时，故，故，所以，故.综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点问题，求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、 (1) (2)见解析【解析】（1）根据离心率为，点在椭圆上联立方程组解得答案.（2）设存在定点，联立方程，利用韦达定理得到关系式，推出，代入数据计算得到答案.【详解】解：（1）由题可知又，解得，所以，即所求为（2）设存在定点，并设，由联立消可得所以，因为，所以，即所以，整理为所以可得即，所以所以存在定点满足题意【点睛】本题考查了椭圆