高中数学必修4知识点及其配套习题

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业高中数学必修4知识点2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角

2、叫做弧度6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是7、弧度制与角度制的换算公式：，8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正Pvx y A O Pvx y A O M T 12、同角三角函数的基本关系：；13、三角函数的诱导公式：，口诀：函数名称不变，符号看象限，口诀：正弦与余弦互换，符号看象限14函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的

3、交点都是该图象的对称中心。yAsin(x)B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：A的确定：根据图象的最高点和最低点，即Aeq f(最高点最低点,2)；B的确定：根据图象的最高点和最低点，即Beq f(最高点最低点,2)；的确定：结合图象，先求出周期，然后由Teq f(2,)(0)来确定；的确定：把图像上的点的坐标带入解析式yAsin(x)B，然后根据的范围确定即可，例如由函数yAsin(x)K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为eq f(,)(即令x0，xeq f(,)确定. 15.三角函数的伸缩变化先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得的图象先伸缩后平移的图象得的图

4、象得的图象得的图象得的图象16由yAsin(x)的图象求其函数式：0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。17求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为eq f(2,|)，ytan(x)的最小正周期为eq f(,|) .15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中

5、心对称轴对称中心无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为的向量单位向量：长度等于个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算： = 1 * GB2 三角形法则的特点：首尾相连 = 2 * GB2 平行四边形法则的特点：共起点 = 3 * GB2 三角形不等式： = 4 * GB2 运算性质： = 1 * GB3 交换律：； = 2 * GB3 结合律：； = 3 * GB3 = 5 * GB2 坐标运算：设，则18、向量减法运算：

6、= 1 * GB2 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 = 2 * GB2 坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则19、向量数乘运算： = 1 * GB2 实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， = 2 * GB2 运算律： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 = 3 * GB2 坐标运算：设，则20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，其中，则当且仅当时，向量、共线21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的

7、两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，点的坐标是23、平面向量的数量积： = 1 * GB2 零向量与任一向量的数量积为 = 2 * GB2 性质：设和都是非零向量，则 = 1 * GB3 = 2 * GB3 当与同向时，；当与反向时，；或 = 3 * GB3 = 3 * GB2 运算律： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 = 4 * GB2 坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或设，则设、都是非零向量，是与的夹角，则2

8、4、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 ； = 4 * GB2 ； = 5 * GB2 （）； = 6 * GB2 （）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： = 1 * GB2 = 2 * GB2 （，） = 3 * GB2 ，其中对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx。由于上式中的与的平方和为1，故可记=cos，=sin，则由此我们得到结论：asinx+bcosx=，（*）其中由来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin()+k的形式。

9、正弦定理和余弦定理1正弦定理：eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos Aeq f(b2c2a2,2bc)，cos Beq f(a2c2b2,2ac

10、)，cos Ceq f(a2b2c2,2ab).3SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin Beq f(abc,4R)eq f(1,2)(abc)r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.

11、两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换双基自测1在ABC中，A60，B75，a10，则c等于()A5eq r(2) B10eq r(2) C.eq f(10r(6),3) D5eq r(6)解析由ABC180，知C45，由正弦定理得：eq f(a,sin

12、A)eq f(c,sin C)，即eq f(10,f(r(3),2)eq f(c,f(r(2),2).ceq f(10r(6),3).答案C2在ABC中，若eq f(sin A,a)eq f(cos B,b)，则B的值为()A30 B45 C60 D90解析由正弦定理知：eq f(sin A,sin A)eq f(cos B,sin B)，sin Bcos B，B45.答案B3在ABC中，aeq r(3)，b1，c2，则A等于()A30 B45 C60 D75解析由余弦定理得：cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(143,212)eq f(1,2)，0A，A60.答案C4在ABC

13、中，a3eq r(2)，b2eq r(3)，cos Ceq f(1,3)，则ABC的面积为()A3eq r(3) B2eq r(3) C4eq r(3) D.eq r(3)解析cos Ceq f(1,3)，0C，sin Ceq f(2r(2),3)，SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)3eq r(2)2eq r(3)eq f(2r(2),3)4eq r(3).答案C5已知ABC三边满足a2b2c2eq r(3)ab，则此三角形的最大内角为_解析a2b2c2eq r(3)ab，cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(r(3),2)，故C150为三角形的最大内角答

14、案150考向一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，aeq r(3)，beq r(2)，B45.求角A，C和边c.解由正弦定理得eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，eq f(r(3),sin A)eq f(r(2),sin 45)，sin Aeq f(r(3),2).ab，A60或A120.当A60时，C180456075，ceq f(bsin C,sin B)eq f(r(6)r(2),2)；当A120时，C1804512015，ceq f(bsin C,sin B)eq f(r(6)r(2),2). (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解

15、即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意【训练1】 在ABC中，若b5，Beq f(,4)，tan A2，则sin A_a_.解析因为ABC中，tan A2，所以A是锐角，且eq f(sin A,cos A)2，sin2Acos2A1，联立解得sin Aeq f(2r(5),5)，再由正弦定理得eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，代入数据解得a2eq r(10).答案eq f(2r(5),5)2eq r(10)考向二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且eq f(c

16、os B,cos C)eq f(b,2ac).(1)求角B的大小；(2)若beq r(13)，ac4，求ABC的面积审题视点 由eq f(cos B,cos C)eq f(b,2ac)，利用余弦定理转化为边的关系求解解(1)由余弦定理知：cos Beq f(a2c2b2,2ac)，cos Ceq f(a2b2c2,2ab).将上式代入eq f(cos B,cos C)eq f(b,2ac)得：eq f(a2c2b2,2ac)eq f(2ab,a2b2c2)eq f(b,2ac)，整理得：a2c2b2ac.cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(ac,2ac)eq f(1,2).B为

17、三角形的内角，Beq f(2,3).(2)将beq r(13)，ac4，Beq f(2,3)代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162aceq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)，ac3.SABCeq f(1,2)acsin Beq f(3r(3),4).【训练2】 已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 eq f(A,2)cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2eq r(3)，bc4，求ABC的面积解(1)由2cos2 eq f(A,2)cos A0，得1cos Acos A0，即cos Aeq

18、 f(1,2)，0A，Aeq f(2,3).(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，Aeq f(2,3)，则a2(bc)2bc，又a2eq r(3)，bc4，有1242bc，则bc4，故ABCeq f(1,2)bcsin Aeq r(3).考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC的形状审题视点 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即si

19、n2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或ABeq f(,2).故ABC为等腰三角形或直角三角形 判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系【训练3】 在ABC中，若eq f(a,cos A)eq f(b,cos B)eq f(c,cos C)；则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角

20、三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径)eq f(sin A,cos A)eq f(sin B,cos B)eq f(sin C,cos C).即tan Atan Btan C，ABC.答案B考向三正、余弦定理的综合应用【例3】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，Ceq f(,3).(1)若ABC的面积等于eq r(3)，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC解(1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.又因为ABC的面积等于eq r(3)，所以eq f(1,2)absin Ce

21、q r(3)，得ab4，联立方程组eq blcrc (avs4alco1(a2b2ab4，,ab4，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,b2.)(2)由题意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.当cos A0，即Aeq f(,2)时，Beq f(,6)，aeq f(4r(3),3)，beq f(2r(3),3)；当cos A0时，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.联立方程组eq blcrc (avs4alco1(a2b2ab4，,b2a，)解得eq blcrc (avs4alco1(af(2r(3)

22、,3)，,bf(4r(3),3).)所以ABC的面积Seq f(1,2)a bsin Ceq f(2r(3),3).【训练3】设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos Beq f(4,5)，b2.(1)当A30时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值解(1)因为cos Beq f(4,5)，所以sin Beq f(3,5).由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，可得eq f(a,sin 30)eq f(10,3)，所以aeq f(5,3).(2)因为ABC的面积Seq f(1,2)acsin B，sin Beq f(3,5)，所以eq f(3,10)ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2eq f(8,5)