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文档简介

1、光学信息技术原理及应用抽样定理(四)抽样定理的由来和意义实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是连续变化的。 在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散分布的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离散的 这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？ 是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？ 本书用的是惠特克香农（Whittaker-Shannon）抽样定理的二维形式 函数的抽样 最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘 如果被抽样的函数为 ，抽样函数可表示为 梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布

2、在平面 上在 ， 两方向上间距为 和 的 函数 与该函数的乘积任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数的“大小”要被该函数在 函数位置上的函数值所调制。换句话说，每个 函数下的体积正比于该点函数的数值 抽样函数抽样函数的原函数的复原图奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔 假如函数 是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零 若包围该区域的最小矩形在 和 方向上的宽度分别为 和 欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使 或者说抽样间隔必须满足 式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔 原函数的复原(1)做反变换就可直接得到原函数根

3、据卷积定理，在空间域得到对上式左边两个因子分别进行化简有 结果得到无数 函数与SINC函数的卷积和原函数的复原(2)最后卷积的结果,愿函数为若取最大允许的抽样间隔，即 ，并且 ，则可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必要的条件) 抽样定理的意义抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分 抽样定理证明图解（1

4、）抽样定理证明图解（2）空间带宽积 若限带函数 在频域中 , 以外恒为零，根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为 式中 表示函数在空域覆盖的面积, 表示函数在频域中覆盖的面积。在该区域的函数可由数目为 的抽样值来近似表示。问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？ 空间带宽积 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积之积： 抽样定理例题（1）若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” ，系统对线脉冲的输出响应称为线响应 。如果系统的传递函数为 ，求证：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿 轴的截面分布 。 抽样定理例题（1）解证明：线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 方向函数值不变，是常数1。系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为线响应的一

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