2020版高考数学大一轮复习课件第六章(打包5套)理新人教A版

1、第六章数列第一节数列的概念与简单表示法(全国卷5年3考)【知识梳理】1.数列的有关概念(1)数列的定义:按照一定_排列的一列数,称为数列.(2)数列的项:数列中的每一项叫做数列的项.(3)数列的表示法:_.顺序列表法、图象法、解析法2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数_无穷数列项数_有限无限分类原则类型满足条件按项与项间的大小关系分类递增数列an+1_an其中nN*递减数列an+1_an常数列an+1=an摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.两种给出数列的方法(1)通项公式:如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个

2、公式叫做这个数列的通项公式.序号n(2)递推公式:如果已知数列an的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.【常用结论】1.数列中an与Sn的关系已知数列an的前n项和Sn,则 2.数列中最大(小)项满足的条件在数列an中,若an最大,则 若an最小,则 【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”.)(1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来.()(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.()(4)如

3、果数列an的前n项和为Sn,则对于任意nN*,都有an+1=Sn+1-Sn.()答案:(1).因为数列是按一定顺序排列的一列数,如我班某次数学测试成绩,按考号从小到大的顺序排列,这个数列肯定没有通项公式,所以(1)错误.(2).比如数列1,0,1,0,的通项公式为:an= 或an= 或an= ,所以(2)正确.(3).因为数列有递增数列、递减数列、常数列、摆动数列,所以(3)错误.(4).由数列前n项和的定义可知,当nN*,都有an+1=Sn+1-Sn,所以(4)正确.2.已知数列an: ,则数列的一个通项公式为_.【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,

4、偶数项为正,所以它的一个通项公式an=(-1)n 答案:an=(-1)n 3.已知数列的通项为an= (nN*),则数列an的最小项是第_项.【解析】因为an= ,数列an的最小项必为an0,即 0,3n-160,从而n0,所以tan+3恒成立,t(an+3)min=a1+3=3,所以tmax=3.【状元笔记】在涉及参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有关,因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性.命题角度2数列的周期性问题【典例】(2018黄冈模拟)已知数列an中,a1= ,an+1= ,则a2 018= ()A.-2B. C.- D.3【解析】选D.因为a1= ,所以a2= =3,a

5、3= =-2,a4= =- ,a5= = ,所以数列an是周期数列且周期T=4,所以a2 018=a2=3.【状元笔记】在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该数列中的某一项.命题角度3数列中的最值问题【典例】数列an的通项为an= (nN*),若a5是an中的最大值,则a的取值范围是_.【解析】当n4时,an=2n-1单调递增,因此n=4时取最大值,a4=24-1=15.当n5时,an=-n2+(a-1)n因为a5是an中的最大值,所以 解得9a12.所以a的取值范围是9,12.答案:9,12【状元笔记】解决数列的最值问题,经常将数列看

6、作某个函数,利用函数的最值来求数列的最值.【对点练找规律】1.已知数列an满足a1=1,an+1= -2an+1(nN*),则a2 020等于()A.1B.0C.2 017D.-2 017【解析】选B.因为a1=1,所以a2=(a1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1,a4=(a3-1)2=0,可知数列an是以2为周期的数列,所以a2 020=a2=0.2.已知数列an中,an=1+ (nN*,aR且a0).(1)若a=-7,求数列an中的最大项和最小项的值.(2)若对任意的nN*,都有ana6成立,求a的取值范围.【解析】(1)因为an=1+ (nN*,aR且a0),又a=-7,所以an=

7、1+ (nN*).结合函数f(x)=1+ 的单调性,可知1a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN*).所以数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)an=1+ =1+ ,已知对任意的nN*,都有ana6成立,结合函数f(x)=1+ 的单调性,可知5 6,即-10a0,故(n+1)an+1-nan=0,即 故 把以上各式分别相乘得 ,即an= .答案: 【技法点拨】两种常见递推数列及解法(1)an+1=pan+q(p0,1,q0)的求解方法是:设an+1+=p(an+),即an+1=pan+p-,与an+1=pan+q比较即可知只要= .(2)an+1=pan+qpn+1(p0,

8、1,q0)的求解方法是两端同时除以pn+1,即得 =q,数列 为等差数列.提醒 :对于有些递推公式要注意参数的限制条件.【即时训练】已知数列an满足a1=-2,且an+1=3an+6,则an=_.【解析】由an+1=3an+6可得: an+1+3=3 ,所以 是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an+3=3n-1,故an=3n-1-3.答案:3n-1-3第二节等差数列及其前n项和(全国卷5年5考)【知识梳理】1.等差数列与等差中项(1)定义:文字语言:从_起,每一项与它的前一项的_都等于_一个常数;第2项差同符号语言: _(nN*,d为常数).(2)等差中项:若三个数a,A,b组成等差数列,

9、则_叫做a,b的等差中项.an+1-an=dA2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式:an=_.(2)前n项和公式:Sn=_=_.a1+(n-1)d【常用结论】等差数列的性质:(1)在等差数列an中,an=am+(n-m)d.(2)已知等差数列an,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则an+am=ap+aq.(3)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列an的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列. 【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”错误的打“”)(1)

10、等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(2)若an是等差数列,公差为d,则数列a3n也是等差数列.()(3)若an,bn都是等差数列,则数列pan+qbn也是等差数列.()(4)等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,若一个数列的前n项和为二次函数,则该数列为等差数列. ()提示:(1).因为在等差数列an中,当公差d0时,该数列是递增数列,当公差d0,则Sn中最大的是()A.S6B.S7C.S8D.S15 【解析】选B.由S5=S9,得a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,由a10知,a70,a89),若Sn=336,则n的值为()A.18B.19C.20D.21【解析】选D.

11、因为an是等差数列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn= 32=16n=336,解得n=21.3.已知Sn是等差数列an的前n项和,且S6S7S5,给出下列五个命题:d0;S120;数列Sn中的最大项为S11;|a6|a7|,其中正确命题的个数为 ()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.因为S7-S60,所以d=a7-a60 ,正确; S7-S5=a6+a70 , S12= =6 0,正确;因为a60,a70a6-a7 ,即 ,正确.思想方法系列10等差数列前n项和最值中的函数思想【思想诠释】 因为数列是特殊的函数关系,因此常利用函数的思想解决数列中最值问题.在求解等差数列前n项和的最值

12、问题时,应注意以下三点:(1)等差数列的前n项和与函数的关系;(2)Sn是关于n的二次函数,(n, Sn)在二次函数y=Ax2+Bx的图象上,为抛物线y=Ax2+Bx上一群孤立的点;(3)注意n为正整数以及抛物线的开口方向.【典例】已知数列an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求an的通项公式an.(2)求an前n项和Sn的最大值.【解析】(1)根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d变形有an=am+(n-m)d,则公差d= ,所以d= =-2,所以通项公式an=a2+(n-2)d=1+(n-2)(-2)=-2n+5.(2)根据等差数列前n项和公式Sn= =na1+ 有Sn=

13、3n+ (-2)=-n2+4n,配方得Sn=-(n-2)2+4,根据二次函数图象及性质可知,当n=2时,前n项和取得最大值,最大值为4.【技法点拨】 求等差数列前n项和的最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值,但要注意nN*.(2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使Sn取得最值. (3)项的符号法:当a10,d0时,满足 的项数n,使Sn取最大值;当a10时,满足 的项数n,使Sn取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小,若有零项,则使Sn取最值的n有两个.【即时训练】在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和

14、Sn的最大值为()A.S15B.S16C.S15或S16 D.S17【解析】选A.设an的公差为d,因为a1=29,S10=S20,所以10a1+ =20a1+ ,解得d=-2,所以Sn=29n+ (-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.所以当n=15时,Sn取得最大值.第三节等比数列及其前n项和(全国卷5年5考)【知识梳理】1.等比数列定义与等比中项(1)定义:文字语言:从_起,每一项与它的前一项的_都等于_一个常数;第2项比同符号语言:_(nN*,q为非零常数).(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么_叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G

15、2=_.Gab2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)通项公式:an=_.(2)前n项和公式:Sn= a1qn-1【常用结论】1.在等比数列an中,an=amqn-m.2.在等比数列an中,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则anam=apaq.3.若an是公比为q的等比数列,则ak, (k,mN*)是公比为qm的等比数列.4.若Sn是公比为q(q-1)的等比数列an的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是公比为qn的等比数列.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)等比数列an的公比q1,则该数列单调递增. ()(2)数列an,bn都是

16、等比数列,则数列anbn, 仍然是等比数列.()(3)数列an的通项an=an,则其前n项和为Sn= ()(4)设Sn是等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等比数列.()提示:(1).在等比数列an中,若公比q1,当a10时,该数列为递增数列,a10),则an=()A.10n-2B.10n-1【解析】选D.因为数列an满足a1=2, an+1= (an0),所以log2an+1=2log2an,即 =2,所以数列log2an是公比为2的等比数列,所以log2an=log2a12n-1,即an= .题组二:走进教材1.(必修5P53 练习T3改编)对任意等比数列a

17、n,下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列【解析】选D.因为数列an为等比数列,设其公比为q,则a3a9=a1q2a1q8= 所以a3,a6,a9一定成等比数列.2.(必修5P53 习题T1改编)已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,则q=()A. B.4C.2D. 【解析】选C.由等比数列可得, a2+a4= q= q= ,解得q=2.考点一等比数列的基本运算【题组练透】1.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6等于(

18、)A.16B.32C.64D.128【解析】选C.因为S3=14,a3=8,所以q1,所以 , 解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=232=64.2.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【解析】选B.设数列an的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.3.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= ()A.2n-1B. C. D. 【解析】选D.因为an+1

19、=Sn+1-Sn,所以Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),所以 所以数列Sn是以S1=a1=1为首项, 为公比的等比数列,所以Sn= 4.已知Sn是等比数列an的前n项和,若存在mN*,满足 则数列an的公比为()A.-2B.2C.-3D.3【解析】选B.设公比为q,若q=1,则 =2,与题中条件矛盾,故q1.因为 =qm+1=9,所以qm=8.所以 所以m=3,所以q3=8,所以q=2.【易错警示】解答本题易出现以下两种错误:一是不考虑公比等于1的情况,二是不善于运用整体代换思想简化运算过程.5.(2017全国卷)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=_.【解析】

20、由题意可得: 则a4=a1q3=-8.答案:-86.(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=_.【解析】依题意, 作差得an+1=2an,所以数列an是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=-1,所以an=-2n-1,所以S6= =-63.答案:-63【规律方法】解决等比数列问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解. (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1

21、时,an的前n项和Sn= 考点二等比数列的判断与证明【典例】(1)已知数列an中,a1=1,若an=2an-1+1(n2),则a5的值是_.(2)已知数列an的前n项和Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),若bn=an+1-2an,求证:bn是等比数列.【解析】(1)因为an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以 =2,又a1=1,所以an+1是以2为首项,2为公比的等比数列,即an+1=22n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31.答案:31(2)因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以 =2.因为S2=a1+a

22、2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.【互动探究】 1.若本例(2)中的条件不变,试求an的通项公式.【解析】由(2)知bn=an+1-2an=32n-1,所以 故 是首项为 ,公差为 的等差数列.所以 = +(n-1) = ,所以an=(3n-1)2n-2. 2.在本例(2)中,若cn= ,证明:数列cn为等比数列.【证明】由互动探究1知,an=(3n-1)2n-2,所以cn=2n-2.所以 =2.又c1=所以数列cn是首项为 ,公比为2的等比数列.【规律方法】1.等比数列的判定方法(1)定义法:对于数列an,若 =q(q0),

23、则数列an是等比数列.(2)等比中项:对于数列an,若anan+2= ,则数列an是等比数列.(3)通项公式法:an=cqn (c,q均是不为0的常数,nN*)an是等比数列.2.证明某数列不是等比数列若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【对点训练】(2018郑州模拟)已知数列an满足a1a2a3an= (nN*),且对任意nN*都有 t,则实数t的取值范围为()【解析】选D.因为数列an满足a1a2a3an= ,所以n=1时,a1=2,当n2时,a1a2a3an-1= ,可得:an= ,所以 当n=1时,也适合an=22n-1,数列 为等比数列,首项为 ,公比为

24、 ,所以 因为对任意nN*都有 0,若a,b为常数,则a+b有最小值2 ,当且仅当a=b时,取得最小值. 【对点练找规律】1.在等比数列an中,a2a3a4=8,a7=8,则a1=()A.1B.1C.2D.2【解析】选A.因为数列an是等比数列,所以a2a3a4= =8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,a1= =1.2.在等比数列an中,a1,a5为方程x2-10 x+16=0的两根,则a3=()A.4B.5C.4D.5【解析】选A.因为a1,a5为方程x2-10 x+16=0的两根,所以a1+a5=10,a1a5=16,则a1,a5为正数,在等比数列an中, =a

25、1a5=16,则a3=4,因为a1,a5为正数,所以a3=4.3.在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于()A.12B.13C.14D.15【解析】选C.因为数列an是各项均为正数的等比数列,所以a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,a10a11a12,也成等比数列.不妨令b1=a1a2a3,b2=a4a5a6,则公比q= =3.所以bm=43m-1.令bm=324,即43m-1=324,解得m=5,所以b5=324,即a13a14a15=324.所以n=14.思想方法系列11等比数列前n项和的分类讨论思想【思想诠释】因为等比

26、数列的前n项和公式,分两种情况,一是公比q=1时,前n项和为Sn=na1,二是q1时,其前n项和为Sn= ;在判断等比数列单调性时,也必须对a1与q分类讨论.所以涉及求等比数列前n项和或等比数列的单调性时,应注意以下三点:(1)明确等比数列的首项和公比q.(2)分清等比数列首项的正负,公比与1的关系.(3)注意该数列是递增还是递减以及该数列共有多少项. 【典例】设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则数列的公比q是_.【解析】(1)当q=1时,S3+S6=9a1,S9=9a1,所以S3+S6=S9成立.(2)当q1时,由S3+S6=S9得 所以q9-q6-q3+1=0,即(q3-

27、1)(q6-1)=0.因为q1,所以q3-10,所以q6=1,所以q=-1.答案:1或-1【技法点拨】 求等比数列前n项和的最值的方法等比数列求和解题策略:一是弄清公比q是否可能等于1还是必不等于1;二是如果不能确定,则需要分q=1与q1进行讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误. 【即时训练】等比数列an中,a3=9,前三项和S3=27,则公比q的值为 ()A.1B. C.1或 D.-1或 【解析】选C.当公比q=1时,a1=a2=a3=9,所以S3=39=27.符合题意.当q1时,S3= 所以27= 所以a1=27-18q,所以a3=a1q2,所以(27-18q)q2=9,所以(q

28、-1)2(2q+1)=0,所以q=- .综上q=1或q=- .第四节数列求和(全国卷5年2考) 【知识梳理】1.等差数列的前n项和公式Sn= =_.2.等比数列的前n项和公式Sn= na1,q=1, =_,q1. 3.四个必备公式(1)1+2+3+4+n= .(2)1+3+5+7+2n-1=n2.(3)2+4+6+8+2n=n2+n.(4)12+22+n2= .【常用结论】几种常用变形:(1) (2) (3)等差数列an的公差为d,则 (4) 【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”.)(1)如果数列an为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和为Sn= .()(2)

29、sin21+sin22+sin23+sin287+sin288+sin289可用倒序相加求和.()(3)当n2时, ()(4)求数列 的前n项和可用分组求和.()提示:(1).因为数列an为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和为Sn= (2).因为sin21+sin289=sin22+sin288=sin23+sin287=1,所以sin21+sin22+sin23+sin287+sin288+sin289可用倒序相加求和.(3).因为 (4).因为数列 是由一个等比数列 与一个等差数列的和数列,所以求数列 的前n项和可以用分组求和.2.数列1+2n-1的前n项和为()A.1+2nB.2+2

30、nC.n+2n-1 D.n+2+2n【解析】选C.由题意得an=1+2n-1,所以Sn=n+ =n+2n-1.题组二:走进教材1.(必修5P61 T4改编) =()A. B. C. D. 【解析】选B.令Sn= -得, 所以Sn= 2.(必修5P47 T4改编) 的值为()A. B. C. D. 【解析】选C.因为 所以 考点一分组转化或并项求和【题组练透】1.数列an的通项公式是an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项之和为()A.-200B.-100C.200D.100【解析】选D.由题意知S100=(-1+3)+(-5+7)+(-197+199)=250=100.2.已知函数f

31、(n)= 且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于()A.0 B.100C.-100 D.10 200【解析】选B.由题意,得a1+a2+a3+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+-(99+100)+(101+100)=-(1+2+99+100)+(2+3+100+101)=-50101+50103=100.3.已知数列an的通项公式是an=n2sin ,则a1+a2+a3+a2 018等于()A. B. C. D. 【解析】选B.an=n2sin = 所以a1+a2+a3

32、+a2 018=-12+22-32+42-2 0172+2 0182=(22-12)+(42-32)+(2 0182-2 0172)=1+2+3+4+2 018= .4.(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,以此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A

33、.440B.330C.220D.110【解析】选A.由题意得,数列如下:1,1,2,1,2,4,1,2,4,2k-1则该数列的前1+2+k= 项和为 =1+(1+2)+(1+2+2k-1)=2k+1-k-2,要使 100,有k14,此时k+20.由已知,有 消去d,整理得q4-2q2-8=0.因为q0,解得q=2,所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1,nN*;数列bn的通项公式为bn=2n-1,nN*.(2)由(1)知cn=(2n-1)2n-1,设cn的前n项和为Sn,则Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+523+(2

34、n-3)2n-1+(2n-1)2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以,Sn=(2n-3)2n+3,nN*.【答题模板微课】本例题(2)的模板化过程:建模板:“由(1)知cn=(2n-1)2n-1”,写通项“故Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1”, 写前n项和“2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n”,乘公比“上述两式相减,得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,错位相减

35、所以Sn=(2n-3)2n+3(nN*).整理出结果套模板:已知an=2n-1,bn=2n+1,cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn【解析】由题知cn=anbn=(2n+1)2n-1,写通项故Tn=320+521+722+(2n+1)2n-1,写前n项和2Tn=321+522+723+(2n+1)2n,乘公比上述两式相减得,-Tn=3+22+23+2n-(2n+1)2n 错位相减=3+ -(2n+1)2n=(1-2n)2n-1得Tn=(2n-1)2n+1.整理出结果所以数列cn的前n项和为(2n-1)2n+1.【规律方法】 利用错位相减法的一般类型及思路(1)适用的数列类型:anbn,其中

36、数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列.(2)思路:设Sn=a1b1+a2b2+anbn(*),则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1(*),(*)-(*)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1,就转化成了根据公式可求的和.【对点训练】设Sn是数列an的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3.(1)求数列an的通项公式.(2)令bn=(2n-1)an,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)当n=1时,a2=2S1+3=2a1+3=9,当n2时,an+1=2Sn+3,可得an=2Sn-1+3.两式相减得,an+1-an=2(

37、Sn-Sn-1),即an+1-an=2an,an+1=3an,则an=a23n-2=93n-2=3n.又an=3n对n=1也成立,所以an=3n.(2)由(1)知,bn=(2n-1)an=(2n-1)3n,故Tn=13+332+533+(2n-1)3n,3Tn=132+333+534+(2n-1)3n+1,两式相减可得:-2Tn=3+2(32+33+3n)-(2n-1)3n+1=3+2 -(2n-1)3n+1,化简可得Tn=3+(n-1)3n+1.考点三裂项相消法求和【明考点知考法】裂项相消法求和作为考查等差、等比数列知识的最佳载体,因其考查知识、数学素养等较多成为高考命题的热点,试题常以解答

38、题的形式出现,考查等差数列、等比数列、构造数列以及数学运算等问题.解题过程中常常渗透数学运算核心素养.命题角度1裂项相消直接求和 【典例】(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 =_.【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,所以 所以an=n,Sn= 那么 那么 答案: 【状元笔记】如果一个数列的通项为分式,若分式的分母为两个因式的积,且这两个因式的差为定值求和时,可利用裂项相消法求和.命题角度2与裂项相消求和有关的综合问题【典例】已知函数y=loga(x-1)+3(a0,a1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第二项与第三项,若bn= ,数列b

39、n的前n项和为Tn,则T10=()A. B. C.1D. 【解析】选B.对数函数y=logax的图象过定点(1,0),所以函数y=loga(x-1)+3的图象过定点(2,3),则a2=2,a3=3,故an=n,所以bn= 所以T10=【状元笔记】使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.【对点练找规律】1.数列an满足:a1=1,且对任意的m,nN*,都有am+n =am+an+mn,则 =()A. B. C. D. 【解析】选D.因为a1=1,且对任意的m,nN*都有am+n=a

40、m+an+mn,所以an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1,用累加法可得an=a1+ 所以 所以 2.设等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=9,a2为整数,且SnS5,则数列 的前9项和为_.【解析】由SnS5得 即 得- d- ,又a2为整数,所以d=-2,an=a1+(n-1)d=11-2n, ,所以数列 的前n项和 Tn= 所以T9=- 答案:- 思想方法系列12数列求和中的转化与化归思想【思想诠释】 所谓转化与化归思想,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方法.在数列求和时,应注意以下几点:(1)搞清通项是谁,若

41、通项未知,先求出通项.(2)对通项公式进行合理的变形(转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式).(3)选择合适的方法求和.【典例】数列1 ,3 ,5 ,7 ,的前n项和Sn为() A.n2+1- B.n2+2- C.n2+1- D.n2+2- 【解析】选C.由数列前几项易得an=(2n-1)+ ,Sn= 1+3+5+(2n-1)+ = =n2+1- .【技法点拨】 解决非等差、等比数列求和的两种思路一是转化思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成;二是不能转化为等差或等比数列的,往往通过裂项相消、错位相减、倒序相加等来求和.【即时训练】

42、若数列an是2,2+22,2+22+23,2+22+23+2n,则数列an的前n项和Sn=_.【解析】an=2+22+23+2n= =2n+1-2,所以Sn= = -2n=2n+2-4-2n.答案:2n+2-4-2n第五节数列的综合应用(全国卷5年2考) 考点一等差数列与等比数列的综合问题【题组练透】1.已知等比数列an的各项都为正数,且a3, a5,a4成等差数列,则 的值是()A.B.C.D. 【解析】选A.设等比数列an的公比为q,由a3, a5,a4成等差数列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q= 或q= (舍去), 2.已知an是等差数列,公差

43、d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0【解析】选B.因为数列an是等差数列,a3,a4,a8成等比数列,所以 解得a1=- d,所以S4=2 =2 =- d,所以a1d=- d20,dS4=- d2n0,m,nN*),则m+n=_.【解析】设公差为d,则 =a2a11(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d),(d0)整理得a1=2d,a11=2(Sm-Sn),可得a1+10d=2 化简得(m2-n2)+3(m-n)=12,即(m-n)(m+n+3)=12,因为mn0,m,nN*,所以m=5,n=4,

44、所以m+n=9.答案:95.已知等差数列an的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn,数列bn为等比数列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.(1)求数列an与bn的通项公式.(2)求 【解析】(1)设等差数列an的公差为d, d0,bn的公比为q,则an=1+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有 故an=n,bn=2n-1.(2)由(1)知Sn=1+2+n= n(n+1), 【规律方法】 与等差、等比数列有关的三类问题(1)如果数列an成等差数列,那么数列 ( 总有意义)必成等比数列.(2)如果数列an成等比数列,且an0,那么数列logaan(a0,且a1)必成等差数列.(3)如果

45、由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列,那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论,且以等比数列的项为主,探求等比数列中哪些项是它们的公共项,构成什么样的新数列.考点二数列的实际应用问题【典例】某商店投入81万元经销某种纪念品,经销时间共60天,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第n天的利润an= (单位:万元,nN*).为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,记第n天的利润率bn= .例如,b3= .(1)求b1,b2的值.(2)求第n天的利润率bn.【解析】(1)当n=1时,b1= ;当n=2时,b2= .(2)当1n20时,a1=a2=a3=an-1=a

46、n=1,所以bn=当21n60时,bn= 所以第n天的利润率bn= 【误区警示】解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求an还是Sn,特别是要弄清项数.【互动探究】 1.若典例中条件不变,求该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该日的利润率.【解析】当1n20时,bn= 递减,此时bn的最大值为b1= ;当21n60时,bn= = (当且仅当n= ,即n=40时,“=”成立).又因为 ,所以当n=40时,(bn)max= .所以该商店在经销此纪念品期间,第40天的利润率最大,且该日的利润率为 .2.若典例中条件不变,60天的利润总和是多

47、少?【解析】当1n20时,a1=a2=a3=an-1=an=1,当21n60时,an= ,所以an的前20项是常数列,后40项是以 为首项,以 为公差的等差数列,所以S60=20+40 =182(万元).所以60天的利润总和是182万元.【规律方法】 解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型.基本特征如表:数列模型基 本 特 征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长或减少,常见的是增长率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即

48、数列an满足an+1=1.2an-a(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.【对点训练】1.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)()A.2021年B.2020年C.2019年D.20

49、18年【解析】选C.设开始超过200万元的年份是n,则130(1+12%)n-2 015200,化为(n-2 015)lg 1.12lg 2-lg 1.3,n-2 015 =3.8,取n=2 019,因此开始超过200万元的年份是2019年.2.据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养5年后,鱼的质量预计为原来的t倍.下列选项中,与t值最接近的是()A.11B.13C.15D.17【解析】选B.设鱼原来的质量为a,饲养n年后鱼的质量为an,q=200%=2,则a1=a(1+q),a2=a1 =a(1+q) ,a5=a(1+2)(1+1)

50、12.7a,即5年后,鱼的质量预计为原来的12.7倍,故选B.3.定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个 B.16个C.14个 D.12个【解析】选C.由题意可得a1=0,a8=1,a2,a3,a7中有3个0、3个1,且满足对任意k8,都有a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列”有00 001 111,00 010 111,00 011 011,00 011 101,00 100 111,00 101 011,00

51、101 101,00 110 011,00 110 101,01 000 111,01 001 011,01 001 101,01 010 011,01 010 101,共14个.考点三与数列有关的综合问题【明考点知考法】数列综合问题考查数列与函数、不等式交汇知识的最佳载体,因其考查知识交汇,综合性较强成为高考命题的热点,试题常以解答题的形式出现,考查等差数列、等比数列、数列求和以及函数的单调性、周期性、最值以及不等式的求解、证明等问题.解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.命题角度1数列与函数的交汇 【典例】已知数列an满足an+2-an+1=an+1-an,nN*,且a5= ,若函数f(x)=sin 2x+2cos2 ,记yn=f(an),则数列yn的前9项和为 ()A.0 B.-9 C.9 D.1【解析】选C.由已知可得,数列an为等差数列,f(x)=sin 2x+cos x+1,所以f =1.因为f(-x)=sin(2-2x)+cos(-x)+1=-sin 2x-cos x+1,所以f(-x)+f(x)=2.因为a1+a