2020版高考数学大一轮复习课件第三章(打包5套)理新人教A版

1、第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算(全国卷5年16考)【知识梳理】1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率_为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或 ,即f(x0)= = . 几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点_处的_,相应的切线方程为_.(x0,f(x0)切线斜率y-f(x0)=f(x0)(x-x0)(2)函数f(x)的导函数:称函数f(x)=_为f(x)的导函数.2.基本初等函数的导数公式(1)c=0.(2)(x)=x-1(Q*).(3)(sin x) =

2、cos x.(4)(cos x)=-sin x.(5)(ax)=axln a.(6)(ex)=ex.(7)(logax)= .(8)(ln x)= .3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=_.(2)f(x)g(x)=_.(3) =_.f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)4.复合函数求导法则f(g(x)=fggx.【常用结论】1.注意两类切线问题的区别(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个

3、数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.2.正确求导三点注意(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.(2)f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0)=0.(3)对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与x值的正、负无关.()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1,x2上变化快慢的物理量.()(3)在导数的定

4、义中,x,y都不可能为零.()(4)对于函数y=f(x),当x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),若记x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1),则y=f(x)的平均变化率为 ()提示: (1).由导数的定义知,函数在x=x0处的导数只与x0有关,所以正确.(2).瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量,所以错误.(3).在导数的定义中,y可以为零,所以错误. (4).f(x)平均变化率为 2.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+ x-9都相切,则a=_.【解析】设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0, ),所以切线方程为y- =3 (x-x0),即

5、y=3 x-2 ,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0= ,当x0=0时,切线方程为y=0,则ax2+ x-9=0,易知a0,= -4a(-9)=0,解得a=- .当x0= 时,切线方程为y= x- .由y=ax2+ x-9,得ax2-3x- =0,易知a0,=(-3)2-4a =0,解得a=-1.故a=- 或a=-1.答案:-1或- 题组二:走进教材1.(选修2-2P13导数的计算改编)已知函数f(x)可导,则 等于()A.f(x)B.f(2)C.f(x)D.f(2)【解析】选B.因为f(x)可导,所以f(x)= 所以 =f(2).2.(选修2-2P18A组T5改编)已知函数f(x)=2x

6、f(1)+xln x,则f(1)=()A.eB.1C.-1D.-e【解析】选C.求导可得f(x)=2f(1)+1+ln x,令x=1得,f(1)=-1.3.(选修2-2P18A组T6改编)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x【解析】选D.函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,由f(x)为奇函数,可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f(x)=3x2+1,曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y

7、=x.考点一导数的计算【题组练透】1.下列求导运算正确的是()A. =xB.(x2ex)=2x+exC.(xcos x)=-sin xD. =1+ 【解析】选D.对于A: =- (ln x)=- ,对于B:(x2ex)=(x2+2x)ex,对于C:(xcos x)=cos x-xsin x,对于D: =1+ .2.求下列函数的导数:(1)y=x(ln x+cos x).(2)y= (3)y= ln x.(4)y=x5-4x3+3x.【解析】(1)y=ln x+cos x+x =ln x+cos x-xsin x+1.(2)y= (3)y= ln x+ = (4)y=5x4-12x2+3.【规律

8、方法】函数的导数公式和导数的运算法则是求函数导数的关键.考点二导数公式、法则的灵活运用【典例】已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为_.【解析】因为f(x)=(2x+1)ex,所以f(x)=2ex+(2x+1)ex,所以f(0)=2e0+(20+1)e0=2+1=3.答案:3【误区警示】 求导时应注意导数的运算法则.【互动探究】 1.(2018延安模拟)函数f(x)=ln x+a的导函数为f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为()A.(1,+)B.(0,1)C.(1, )D.(1, )【解析】选A.由函数f(x)=ln

9、x+a可得f(x)= ,由于使得f(x0)=f(x0)成立的0 x01,则 =ln x0+a(0 x01,ln x01,故有a1.2.(2019汕头模拟)已知f(x)= x3+3xf(0),则f(1)=_.【解析】根据题意,f(x)= x3+3xf(0),则其导数f(x)=x2+3f(0),令x=0可得:f(0)=3f(0),解得f(0)=0,则f(x)=x2,则有f(1)=1.答案:1【规律方法】导数运算的两个技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.(2)在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,记准公式,避免运算错误.【

10、对点训练】若函数f(x)满足对任意的xR都有|f(x)+f(x)|2 (其中f(x)为f(x)的导函数),则f(x)的解析式不可能是()A.sin xB.e-xC. D. 【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,f(x)=sin x,则f(x)=cos x,则|f(x)+f(x)|=|sin x+cos x|= 有|f(x)+f(x)|2,符合题意;对于B,f(x)=e-x,则f(x)=-e-x,则|f(x)+f(x)|=|e-x-e-x|=0,符合题意;对于C,f(x)= ,则f(x)=- ,则|f(x)+ f(x)|= 2,符合题意;对于D,f(x)= ,则f(x)= 则|f(x)+

11、f(x)|= 当x=1时不能满足|f(x)+f(x)|2.考点三导数几何意义的运用【明考点知考法】因为导数的几何意义涉及与切线的斜率、切线方程、导数等知识点交汇考查,因此高考经常在此处命题,常以选择、填空题的形式出现,分值约为5分,解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.命题角度1已知切点求切线方程问题【典例】(2018德州模拟)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是_.【解析】因为f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,设x0,则-x0),则 =1- ,所以x0=e,f(e)=1- ,所以所求切线方程为y= x.【

12、状元笔记】未知切点时,应先设切点,再根据题中条件把切点解出.【对点练找规律】(2018北京高考)设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为0,求a.【解析】函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex的导数为f(x)=ax2-(a+1)x+1ex.由曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为0,可得(4a-2a-2+1)e2=0,解得a= .数学能力系列5求切线方程的“在”“过”两重天【能力诠释】求曲线的切线问题时,要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”,然后利用求切线方程的方法进行求解.(1)“在”曲线上

13、一点处的切线问题,先对函数求导,代入点的横坐标得到斜率.(2)“过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是切点,应先设切点,求切点坐标.【典例】(2019资阳模拟)已知函数f(x)=ln x,它在x=x0处的切线方程为y=kx+b,则k+b的取值范围是()A.(-,-1B.(-,0C.1,+)D.0,+)【解析】选D.根据题意,函数f(x)=ln x,其导数为f(x)= ,则有f(x0)= ,即k= ,又由切点的坐标为(x0,ln x0),则切线的方程为y-lnx0=k(x-x0),变形可得:y=kx-kx0+ln x0,则有b=ln x0-1,则k+b= +(ln x0-1),设g(x)=(l

14、n x-1)+ ,则有g(x)= 在(0,1)上,g(x)0,g(x)在(1,+)上为增函数,则g(x)的最小值为g(1)=0,则有k+b=(ln x0-1)+ 0,即k+b的取值范围是0,+).【技法点拨】本题考查函数的切线,涉及函数的最值计算,关键是求出k,b的表达式.根据题意,由函数导数的几何意义分析可得k,b的值,则有k+b=(lnx0-1)+ ,设g(x)=(lnx-1)+ ,对其求导可得g(x),分析可得g(x)在(0,+)上的单调性以及单调区间,进而可得g(x)的最小值,即可得k+b的取值范围,即可得答案.【即时训练】已知曲线y= x3上的一点P ,求这条曲线过点P的切线方程.【

15、解析】当点P是切点时,y|x=2=x2|x=2=4,所以切线方程为y- =4(x-2),即12x-3y-16=0.当点P不是切点时,设切点为Q(x0,y0),则切线方程为y- (x-x0 ),因为切线过点P ,把点P的坐标代入切线方程,求得x0=-1或x0=2(即点P,舍去),所以切点为Q ,即所求切线方程为3x-3y+2=0.综上所述,过点P的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0.第二节利用导数研究函数的单调性(全国卷5年6考)【知识梳理】1.利用导数研究函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f(x)0f(x)在(a,b)上为_.f(x)0或f(x)0是函数f(x)为增

16、函数的充分不必要条件.(2)f(x)0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件.3.确定单调区间端点值的三个依据(1)导函数等于零的点.(2)函数不连续的点.(3)函数不可导的点.4.三点注意(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“”,可用“,”或用“和”.(3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.【基础自测】题组一:走出误区判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)如果恒有f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.()(2)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0恒成立.()提示:(1).(2).不一定,如函数y= 的导

17、函数y=- 0恒成立,但是函数y= 的图象不是恒下降的.(3).不一定,如y=x3在-1,3上单调递增,但是y=3x2在x=0处的值为0.题组二:走进教材1.(选修2-2P26T1改编)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为()A.(0,1) B.(0,+)C.(1,+) D.(-,0)(1,+)【解析】选A.函数的定义域是(0,+),且f(x)=1- 令f(x)0,得0 x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.综上,当a=0时,g

18、(x)在(-,+)上单调递增;当a0时,g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减.考点一利用导数讨论(或证明)函数单调性【题组练透】1.函数f(x)= 的图象大致为()【解析】选B.函数f(x)= 的定义域为x|x0,xR,当x0时,函数f(x)= ,可得函数的极值点为: x=1,当x(0,1)时,函数是减函数,x1时,函数是增函数,并且f(x)0,选项B、D满足题意.当x0时,函数f(x)= 0恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a0,则当x 时,f(x)0;x 时,f(x)0,f(x)的单调递增区间为(0,+);当a0时,f(x)=2x- 当x变化时,f

19、(x),f(x)的变化情况如下:所以f(x)的单调递减区间是 ,单调递增区间是 【规律方法】 要特别注意的是,涉及含参数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数f(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.考点二利用导数求函数的单调区间【典例】(2018杭州模拟)已知函数f(x)= x2-ax+(a-1)ln x,当a0时,求函数f(x)的单调区间.【解析】由题知,函数f(x)的定义域为(0,+), f(x)=x-a+ 令f(x)=0,解得x1=1,x2=a-1,当a2时,a-11,在区间(0,1)和(a-1,+)上f(x)0;在区间(1,a-1)上f(x)0,故函数f(

20、x)的单调递增区间是(0,1)和(a-1,+),单调递减区间是(1,a-1).当a=2时,f(x)0恒成立,故函数f(x)的单调递增区间是(0,+).当1a2时,0a-10;在(a-1,1)上f(x)1时f(x)0,x1时f(x)0,函数f(x)的单调递增区间是(1,+),单调递减区间是(0,1).当0a1时,a-12时函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a-1,+),单调递减区间是(1,a-1);当a=2时,函数f(x)的单调递增区间是(0,+);当1a2时,函数f(x)的单调递增区间是(0,a-1), (1,+),单调递减区间是(a-1,1);当00时为增函数,f(x)0时,当0 x

21、0;当x1时, f(x)0时,函数f(x)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).若a0时,当0 x1时,f(x)1时,f(x)0.即a0时,函数f(x)单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).考点三利用导数解决函数单调性的应用问题【明考点知考法】利用导数解决函数单调性的应用问题多以解答题的形式呈现,试题难度较大.命题角度1依据函数的单调性求参数的取值范围【典例】已知函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其中e为自然对数的底数.若函数f(x)在区间0,1上是单调函数,试求实数a的取值范围.【解析】根据题意,函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其导数为f(x)=ex

22、-2(a-1),当函数f(x)在区间0,1上单调递增时,f(x)=ex-2(a-1)0在区间0,1上恒成立,所以2(a-1)(ex)min=1(其中x0,1),解得a ;当函数f(x)在区间0,1上单调递减时,f(x)=ex-2(a-1)0在区间0,1上恒成立,所以2(a-1)(ex)max=e(其中x0,1),解得a +1.综上所述,实数a的取值范围是 【状元笔记】求出函数的导数、变量分离,求函数最值得a的取值范围.命题角度2根据函数的单调性解决恒成立问题【典例】(2018长春模拟)已知函数f(x)=x2eax.(1)当a2恒成立.【解析】(1)由题意知f(x)=eax(ax2+2x),令f

23、(x) =0,可得x=0或x=- .又a0,则由f(x)0,得x- ,由f(x)0,得0 x- .所以函数f(x)在(-,0)和 上单调递减,在 上单调递增.(2)在(1)条件下,当- 1,即-2a0时,f(x)在0,1上单调递增,则f(x)的最大值为f(1)=ea;当- 1,即a2,即证(2-3x)ex2+ 令h(x)=(2-x3)ex,则h(x)=(-x3-3x2+2)ex=-ex(x+1)(x2+2x-2),又x(0,1),易知在(0,1)上h(x)存在极大值点,又h(0)=2,h(1)=e,则h(x)在(0,1)上恒大于2,而2+ 在(0,1)上恒小于2,因此g(x)-xf(x)2在(

24、0,1)上恒成立.【状元笔记】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间a,b上单调递增(减)可知f(x) 0(f(x)0)在区间a,b上恒成立列出不等式.(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题.(3)对等号单独检验,检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0,若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f(x)=0,则参数可取这个值.命题角度3依据函数单调性解综合问题【典例】已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex,当b1时,函数f(x)在(-,-2),(1,+)上均为增函数,则 的最大值为_.【解析】由函数的解析式可得:f(x)=exx2+(a

25、+2)x+ (a+b),函数f(x)在(-,-2),(1,+)上均为增函数,则在(-,-2),(1,+)上x2+(a+2)x+(a+b)0恒成立,又由已知b1,所以 画出满足条件的平面区域,如图所示:目标函数: 其中 表示平面直角坐标系中的点(a,b)与点(2,-2)之间连线的斜率,数形结合可得,当点(a,b)位于C(-1,-1)时,斜率有最大值,即a=b=-1时, 答案: 【状元笔记】首先利用函数的单调性将原问题转化为线性规划的问题,然后利用线性规划的知识求解最大值即可.【对点练找规律】若函数f(x)=2x- sin 2x+2mcos x在(0,)上单调递增,则m的取值范围是_.【解析】f(

26、x)=2-cos 2x-2msin x,若f(x)在(0,)上递增,则2-cos 2x-2msin x0在(0,)恒成立,即m x(0,),令g(x)= =sin x+ 2 当且仅当sin x= 时取等号.故m .答案:(-, 思想方法系列7分类与整合思想在研究函数中的应用【思想诠释】含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见有 以下几种可能:方程f(x)=0是否有根;若f(x)=0有根,求出根后是否在定义域内;若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法.【典例】已知函数f(x)= (a0).(1)当a=0时,试求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线.(2)试讨论函数f(x)

27、的单调区间.【解析】(1)当a=0时,f(x)= ,所以f(x)= 所以k=f(0)=1,因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.(2)f(x)= 当a=0时,函数定义域为R,f(x)= 0,所以f(x)在R上单调递增.当a(0,2)时,因为=a2-40恒成立,函数定义域为R,又a+11,所以f(x)在(-,1)上单调递增,(1,1+a)上单调递减, (1+a,+)上单调递增.当a=2时,函数定义域为(-,1)(1,+),f(x)= ,所以f(x)在(-,1)上单调递增,(1,3)上单调递减, (3,+)上单调递增.当a(2,+)时,

28、因为=a2-40,则x2-ax+1=0的两个根为 由根与系数的关系易知两根均为正根,且 所以函数的定义域为 又对称轴x= 0,则 0,f(x)单调递增;x(1,+)时,f(x)0时,f(x)= (1)当0a1,当x(0,1)或x 时,f(x)0,f(x)单调递增;当x 时,f(x)2时,0 0,f(x)单调递增;当x 时,f(x)0,f(x)单调递减.综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1, +)内单调递减;当0a2时,f(x)在 内单调递增,在 内单调递减,在(1,+)内单调递增.第三节利用导数研究函数的极值、最值(全国卷5年13考)【知识梳理】1.函数的极值与导数(1)

29、函数的极小值与极小值点:若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值_,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧_,右侧_,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.都小f(x)0(2)函数的极大值与极大值点:若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值_,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧_,右侧_,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.都大f(x)0f(x)0在(a,b)上成立,是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件.(2)对于可导函数f(x),f(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必

30、要不充分条件.3.记住两个结论(1)若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则相应极值点为函数最值点.(2)若函数在闭区间a,b的最值点不是端点,则最值点亦为极值点.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数f(x)在区间(a,b)内一定存在最值.()(2)函数的极大值一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值,最小值也不一定是极小值.()(5)函数f(x)=x3+ax2-x+1必有2个极值.()答案:(1).例如函数f(x)=x,在(1,2)内不存在最值.(2).函数的极

31、大值比局部的函数值大,不一定大于极小值.(3).对可导函数f(x),f(x0)=0是x0为极值点的必要条件.(4).最值和极值是不同的概念.函数的最值可能是极值,也可能是在区间端点处取得.(5).f(x)=3x2+2ax-1,判别式=4a2+120 ,所以f(x)=0有两个不同的实根,所以函数f(x)必有2个极值.2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为()A.1 B.2C.3 D.4【解析】选B.由函数极值的定义和导函数的图象可知, f(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒

32、大于零,故x=0不是函数f(x)的极值点,其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.3.(2018沈阳模拟)设函数f(x)=ln x- ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围为_.【解析】f(x)的定义域为(0,+),f(x)= -ax-b,由f(1)=0,得b=1-a.所以f(x)= -ax+a-1= 若a0,当0 x0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递减,所以x=1是f(x)的极大值点.若a1,解得-1a-1.答案: (-1,+)题组二:走进教材1.(选修2-2P28例4改编)若函数f(x)=2x3-x2+

33、ax+3在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为()A.(-8,-4)B.-8,-4)C.(-8,-4D.(-,-8-4,+)【解析】选C.由题意f(x)=6x2-2x+a,则f(-1) f(1)0,即(a+4)(a+8)0,得-8a0;当x(1,e时,f(x)0,得1x4,令t(x)0,得 x0),因而f(1)=1,f(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f(x)=1- ,x0知:当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f(x)=0,解得x=a.又当

34、x(0,a)时,f(x)0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.【规律方法】利用导数研究函数极值的一般流程考点二利用导数求函数的最值问题【典例】(2019绍兴模拟)已知函数g(x)=x3+ax2+bx(a,bR)有极值,且函数f(x)=(x+a)ex的极值点是g(x)的极值点,其中e是自然对数的底数(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值).(1)求b关于a的函数关系式.(2)当a0时,若函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值为M(a),证

35、明:M(a)0,所以h(ln 3)0,所以h(x)0,对于F(x)=(x+a+1)h(x)=0,有唯一解x=-a-1,当x(-,-a-1)时,F(x)0,所以F(-a-1)为F(x)的最小值,M(a)=F(-a-1)=-e-a-1-(a+1)2(a+2),当a0时,M(a)是减函数,所以M(a)M(0)=- -2- ,所以M(a)- .本例的模板化过程:【解析】(1)推导出f(x)=ex(x+a+1),令f(x)=0,得x=-a-1,求出g(x)=3x2+2ax+b,从而g(-a-1)=3(-a-1)2+2a(-a-1)+b=0,由此能求出b关于a的函数关系式.(2)F(x)=f(x)-g(x

36、)=(x+a)ex-x3-ax2+(a2+4a+3)x,推导出F(x)=(x+a+1)ex-3x2-2ax+a2+4a+3=(x+a+1)(ex-3x+a+3),令h(x)=ex-3x+a+3,则h(x)=ex-3,令h(x)=0,得x=ln 3,h(ln 3)=6-3ln3+a为h(x)的最小值,推导出F(-a-1)为F(x)的最小值,M(a)=F(-a-1)=-e-a-1-(a+1)2(a+2).由此能证明M(a)- .【误区警示】解答本题易有如下失误:(1)忽视函数的定义域.(2)求导错误.【规律方法】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的

37、大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论.(3)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.【对点训练】1.设函数f(x)=x3-3x2+2x,若x1,x2(x1x2)是函数g(x)= f(x)-x的两个极值点,现给出如下结论:若-10,则f(x1)f(x2);若02,则f(x1)2,则f(x1)f(x2)其中正确结论的个数为()A.0B. 1C. 2D. 3【解析】选B.因为函数g(x)=f(x)-x,所以g(x)=f(x)-,令g(x)=0,所以f(x)-=0,即f(x)=有两解x1,x2(x1x2),因为f(x)=x3-3

38、x2+2x,所以f(x)=3x2-6x+2,分别画出y=f(x)与y=的图象如图所示:当-1f(x2);若0f(x2);若2,则f(x1)0,b0且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=2处有极值,则ab的最大值等于()A.121B. 144C. 72D. 80【解析】选C.由题意求导函数f(x)=12x2-2ax-2b,因为在x=2处有极值,所以2a+b=24,因为a0,b0,所以2ab( )2=144,当且仅当2a=b时取等号,所以ab的最大值等于72.考点三利用导数求解函数的极值和最值的综合问题【明考点知考法】函数的极值、最值是每年高考的必考内容,主要考查已知函数求极值、最值或已

39、知函数极值、最值求参数值(范围).试题多以解答题形式呈现,有时出现在选择题或填空题中,难度较大.命题角度1已知函数的极值点情况,求参数的值或取值范围【典例】(2018聊城模拟)已知函数f(x)= (x0,aR).(1)当a- 时,判断函数f(x)的单调性.(2)当f(x)有两个极值点时,求a的取值范围;若f(x)的极大值小于整数m,求m的最小值.【解析】(1)由题意得f(x)= (x0).方法一:由于-x2+3x-3- 0,-ex-10,(-x2+3x-3)ex- ,所以(-x2+3x-3)ex-a0,从而f(x)0,于是f(x)为(0,+)上的减函数.方法二:令h(x)=(-x2+3x-3)

40、ex-a,则h(x)=(-x2+x)ex,当0 x0,h(x)为增函数;当x1时,h(x)- ,所以h(x)max=h(1)=-e-a0,即f(x)0.于是f(x)为(0,+)上的减函数.(2)令h(x)=(-x2+3x-3)ex-a,则h(x)=(-x2+x)ex,当0 x0,h(x)为增函数,当x1时,h(x)0,h(x)为减函数,当x趋近于+时,h(x)趋近于-.由于f(x)有两个极值点,所以f(x)=0有两不等实根,即h(x)=0有两不等实数根x1,x2(x1x2),则 ,解得-3a0,h( )=- -a- +30,则x2(1, ).而f(x2)= 即 (#)所以f(x)极大值=f(x

41、2)= ,于是f(x2)= (*)令t=x2-2x2=t+2 ,则(*)可变为g(t)= 可得-1 - ,而-3a-e,则有g(t)= 下面再说明对于任意-3a2.又由(#)得a= (- +3x2-3),把它代入(*)得f(x2)=(2-x2) ,所以当x2 时,f(x2)=(1-x2) f 2,所以满足题意的整数m的最小值为3.【状元笔记】掌握已知函数极值点或极值求参数的2个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.命题角度2利用最值解决不等式恒成立问题【

42、典例】已知函数f(x)=aln x(a0),e为自然对数的底数.(1)若过点A(2,f(2)的切线斜率为2,求实数a的值.(2)当x0时,求证f(x)a(1- ).(3)若在区间(1,e)上 x0),则g(x)=a .令g(x)0,即a 0,解得x1,令g(x)0,解得0 x1;所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.所以g(x)的最小值为g(1)=0,所以f(x)a .(3)由题意可知 x,化简得 令h(x)= ,则h(x)= 由(2)知,当x(1,e)时,ln x-1+ 0,所以h(x)0,即h(x)在(1,e)上单调递增,所以h(x)g(x)恒成立,构造F(x)=f(

43、x)-g(x),则F(x)min0.(4)x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max.命题角度3利用导数求解函数的存在性问题,进而确定参数的取值范围【典例】已知函数f(x)= (a0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间-5,+)上的最大值.【解析】(1)f(x)= = 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex0,所以y=f(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x +b-c的零点,且f(x)与g(x)符号相同.又因为a0,所以-3x0,即f(x)0,当x0时,g

44、(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5.【状元笔记】不等式能成立问题中的常用结论(1) f(x)a成立f(x)maxa.(2)f(x)b成立f(x)minb.(3)x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min;(4)x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min;(5)x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max.【对点练找规律】1.若exk+x在R上恒成立,则实数k的取值范围为()A.(-,1 B.1,+)C.(-,-1 D.-1,+)【解析】选A.由exk+x,得kex-x.

45、令f(x)=ex-x,所以f(x)=ex-1.当f(x)0时,解得x0时,解得x0.所以f(x)在(-,0)上是减函数,在(0,+)上是增函数.所以f(x)min=f(0)=1.所以实数k的取值范围为(-,1.2.已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)当a=0时,求证:f(x)0.(2)当x0时,若不等式f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f(x)=ex-1.当x(-,0)时,f(x)0.故f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,f(x)min=f(0)=0,所以f(x)0.(2)f(x)=ex-1-2ax,令h(x)

46、=ex-1-2ax,则h(x)=ex-2a.当2a1,即a 时,h(x)0在0,+)上恒成立,h(x)单调递增,所以h(x)h(0),即f(x)f(0)=0,所以f(x)在0,+)上为增函数,所以f(x)f(0)=0,所以当a 时满足条件.当2a1,即a 时,令h(x)=0,解得x=ln 2a,当x0,ln 2a)时,h(x)0,h(x)单调递减,所以当x0,ln 2a)时,有h(x)h(0)=0,即f(x)f(0)=0,所以f(x)在区间0,ln 2a)上为减函数,所以f(x)0)的图象与直线y=4相切于点M(1,4),则y=f(x)在区间(0,4上的最大值为_;最小值为_.【解析】f(x)

47、=3x2+2ax+b(x0).依题意,有 即 解得 所以f(x)=x3-6x2+9x.令f(x)=3x2-12x+9=0,解得x=1或x=3.当x变化时,f(x),f(x)在区间(0,4上的变化情况如表:x(0,1)1(1,3)3(3,4)4f(x)+0-0+f(x)404所以函数f(x)=x3-6x2+9x在区间(0,4上的最大值是4,最小值是0.答案:40【技法点拨】 求函数f(x)在区间a,b上的最值的方法(1)若函数在区间a,b上单调递增或单调递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数在闭区间a,b内有极值,要先求出a,b上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的

48、是最大值,最小的是最小值,可列表完成.(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.【即时训练】已知函数f(x)= -ln x.(1)求f(x)的单调区间.(2)求函数f(x)在 上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).【解析】(1)f(x)= -ln x=1- -ln x,f(x)的定义域为(0,+).所以f(x)= 由f(x)0,得0 x1,由f(x)1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.(2)由(1)得f(x)在 上单调递增,在1,e上单调递减,所以f(x)在 上的最大值为f(1)

49、=1-1-ln 1=0.又f =1-e-ln =2-e,f(e)=1- -ln e=- ,则f f(e).所以f(x)在 上的最小值为f =2-e.所以f(x)在 上的最大值为0,最小值为2-e.第四节导数的综合应用(全国卷5年12考)考点一利用导数求函数的零点或方程根的问题【典例】(2019濮阳模拟)已知函数f(x)=e2x+aex-(a+2)x.(1)讨论f(x)的单调性.(2)是否存在实数a,使得f(x)有三个相异零点?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题可知f(x)=2e2x+aex-(a+2)=(ex-1)(2ex+a+2).当a+20,即a-2时,令f(x)=

50、0得x=0,易知f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.当a0,即a-4时,f(x)在(-,0), 上单调递增,在 上单调递减;当a=-4时,f(x)=2(ex-1)20,f(x)在R上单调递增;当a(-4,-2)时,f(x)在 (0,+)上单调递增,在 上单调递减.(2)不存在.理由如下:假设f(x)有三个相异零点.由(1)的讨论,一定有a(-,-4)(-4,-2)且f(x)的极大值大于0,极小值小于0.已知取得极大值和极小值时x=0或x= ,注意到此时恒有f(0)=a+1-2+1=-10，又f = a(-4,-2),故存在a使得2-a-4 .令t= (0,1),即存在t(0

51、,1)满足ln t1+ .令g(t)=ln t-1- ,g(t)= 从而g(t)在(0,1)上单调递增,所以g(t)1+ ,与假设矛盾,从而不存在a使得f(x)有三个相异零点.【规律方法】利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法.借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负,函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点.对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点.根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的

52、单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解.解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.【对点训练】(2018信阳模拟)已知函数f(x)=4x2+ -a, g(x)=f(x)+b,其中a,b为常数.(1)若x=1是函数y=xf(x)的一个极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)若函数f(x)有2个零点,f(g(x)有6个零点,求a+b的取值范围.【解析】(1)函数f(x)=4x2+ -a,则y=xf(x)=4x3+1-ax的导数为y=12x2-a,由题

53、意可得12-a=0,解得a=12,即有f(x)=4x2+ -12,f(x)=8x- ,可得曲线在点(1,f(1)处的切线斜率为7,切点为(1,-7),即有曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y+7=7(x-1),即为y=7x-14.(2)由f(x)=4x2+ -a,导数f(x)=8x- ,当x 时, f(x)0,f(x)在 上单调递增;当x0或0 x 时,f(x)0,且 -b0,即b-1且b ,可得b-1,即有a+b2.则a+b的取值范围是(-,2).考点二利用导数求解生活中的优化问题【典例】(2018盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.

54、现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF是以O为圆心、EOF=120的扇形,且弧 分别与边BC,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积.(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?【解析】(1)在题图甲中,连接MO交EF于点T设OE=OF=OM=R,在RtOET中,因为EOT= EOF=60,所以OT= ,则MT=OM-OT= .从而BE=MT= ,即R=2BE=2.故所得柱体的底面积S=S扇形OEF-SOEF= R2- R2sin 120

55、= 又所得柱体的高EG=4,所以V=SEG= -4 .答:当BE长为1分米时,折卷成的包装盒的容积为 立方分米.(2)设BE=x,则R=2x,所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF-SOEF= R2- R2sin 120= x2,又所得柱体的高EG=6-2x,所以V=SEG= (-x3+3x2),其中0 x3.令f(x)=-x3+3x2,0 x0,且r0可得0r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5 )时,V(r)0,故V(r)在(5,5 )上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.考点三利用导数求解不等式的有关问题【明

56、考点知考法】利用导数研究不等式是高考常考内容,主要考查利用导数证明不等式问题及函数在某个区间恒成立问题,题目以解答题形式呈现,属难题.命题角度1证明不等式【典例】已知函数f(x)=(x+1)eax(a0),且x= 是它的极值点.(1)求a的值.(2)求f(x)在t-1,t+1上的最大值.(3)设g(x)=f(x)+2x+3xln x,证明:对任意x1,x2(0,1),都有|g(x1)-g(x2)| +1.【解析】(1)f(x)=(x+1)eax(a0)的导数f(x)=eax+a(x+1)eax=(ax+a+1)eax,因为x= 是f(x)的一个极值点,所以f =(a+3)e2=0,所以a=-3

57、.(2)由(1)知f(x)=(x+1)e-3x,f(x)=(-3x-2)e-3x,易知f(x)在 上递增,在 上递减,当t+1- ,即t- 时,f(x)在t-1,t+1上递增, f(x)max=f(t+1)=(t+2)e-3(t+1);当t-1- ,即t 时,f(x)在t-1,t+1上递减, f(x)max=f(t-1)=te-3(t-1);当t-1- t+1,即- t0,可知m1(x)在(0,1)上是增函数,所以m1(x)m1(0)=0,即m1(x)在(0,1)上是增函数,所以1m1(x)0,得x ;由m2(x)0,得0 x ,所以m2(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所以- m2(x)

58、0,从而1- m1(x)+m2(x)2+ .所以,对任意x1,x2(0,1),|g(x1)-g(x2)|1,则x-1时,f(x)-1时,f(x)0,f(x)递增,若t1,则x0,f(x)递增,x-1时,f(x)1时,f(x)在(-,-1)上递减,在(-1,+)上递增,t0,h(x)在0,+)上递增,所以h(x)h(0)=0,故h(x)在0,+)上递增,故h(x)h(0)=0,显然不成立,所以t1,则h(x)=ex (t-1),令h(x)=0,则x=- ,当- 0即t 或t1时,若t ,则h(x)在0,+)上为非正数,h(x)递减,故有h(x)h(0)=0,h(x)在0,+)上递减,所以h(x)

59、h(0)=0成立,若t1,则h(x)在0,+)上为正,h(x)递增,故有h(x)h(0)=0,故h(x)在0,+)上递增,故h(x)h(0)=0,不成立,- 0即 t0).(1)如图,设直线x=- ,y=-x将坐标平面分成,四个区域(不含边界),若函数y=f(x)的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的a的取值范围.(2)当a 时,求证:x1,x2(0,+)且x1x2,有f(x1)+f(x2) .【解析】(1)因为函数的定义域为 ,且当x=0时,f(0)=-a0,又直线y=-x恰好过原点,所以函数y=f(x)的图象应位于区域内,于是f(x)-x,即(2x+1)ln(2x+1)-

60、a(2x+1)2-x0,所以a 令h(x)= 所以h(x)= 令h(x)=0,得x= ,因为x- ,所以x 时,h(x)0,h(x)单调递增,x 时,h(x) .(2)因为f(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1,设u(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1,则u(x)= -8a,因为x0时, 时,8a4,所以u(x)= -8a0时f(x)为单调递减函数,不妨设x2x10,令g(x)=f(x)+f(x1)-2f (xx1),可得g(x1)=0,g(x)=f(x)-f , 因为x 且f(x)在(0,+)上是单调递减函数,所以g(x)x1,g(x)为单调递减函数,所以g(x2)g