概率论与数理统计：4-2 方差_第1页
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1、 第四章 4.2 方 差 二、方差的性质 一 、方差的定义 三、常用分布的方差 四、随机变量的标准化 第十四讲 引例: 甲、乙两个合唱队都由5名成员组成,身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60那个合唱队演出效果会更好些？分析：易见，甲乙两队的平均身高都为1.60，但显然甲队比乙队整齐，身高相对集中在1.60米左右，演出效果会更好一些。数学期望（均值，平均水平）用什么衡量X与E(X )的偏离程度呢?1、 合理,但是存在正负相消，不可行; 2、 带绝对值的运算，不利于计算; 3、 采用平方是为了保证一切差值一、方差的概念都

2、起正的作用.在实际问题中常常关心随机变量与均值的偏离程度， (2)方差是关于随机变量X 的函数 说明：若X的取值比较分散则方差较大。望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差较小；定义 设X 是一个随机变量，若为X的方差。方存在，则称 差的算术平方根称为均方差或标准差。(1) 方差刻划了随机变量的取值偏离其数学期的数学期望。离散型：已知X 分布律 有连续型：已知X的概率密度 有(3) 计算方差的简便公式：证明： 解：甲、乙的平均环数均为9.2环，故从平均环数上看，甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？X：甲击中的环数 Y：乙击中的环数 Y 8 9 10 P 0.2

3、0.4 0.4 两人射击水平相当。X 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 再比较两人射击环数的方差：这表明乙的射击水平比甲更稳定。例1设随机变量X的概率密度为求D(X)。 解：例21. 设C是常数,则 D(C) =0; 2. 若C是常数,则 D(CX)=C2D(X) ; 3. 若X与Y独立，则二、方差的性质4. 若X与Y 独立，且a ,b 是常数，则推广：若X1,X2,Xn 相互独立,则注意与期望的性质区分1.(0-1)分布 参数为p三、常用分布的方差2二项分布3泊松分布4. 均匀分布5. 指数分布6. 正态分布解：设 X 的分布律为解得设 X 的所有可能取值为，求 X 的分布律。例3解: 由题意可知已知求的次数，对X独立观察4次，Y表示X的观察值大于例4解:设r.v.且X, Y, Z相互独立，求r.v.的数学期望和方差。例5同理故 若随机变量X 的数学期望和方差都存在，且四、随机变量的标准化称Y为X的标准化的随机变量，有D(X)0，构造随机变量解: 先求标准正

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