理论力学 点的合成运动

1、理论力学 点的合成运动第1页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四 81 点的合成运动的概念 82 点的速度合成定理 83 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 84 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 习题课第八章 点的合成运动2第2页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四 前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？我们说事物

2、都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。运动学3第3页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四8-1点的合成运动的概念 一坐标系：1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系， 称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。运动学二动点：所研究的点（运动着的点）。4第4页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四三三种运动及三种速度与三种加速度。1绝对运动：动点对静系的运动。2相对运动：动点对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。3牵连运

3、动：动系相对于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。 点的运动刚体的运动运动学5第5页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 与绝对加速度 相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 与相对加速度 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一 起运动时该点叫牵连点。运动学四动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都 有运动的点。 6第6页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期

4、四下面举例说明以上各概念：五动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。运动学动点：动系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上7第7页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学相对运动：牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动：直线8第8页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学绝对速度 ：相对速度 ：牵连速度 ：9第9页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：运动学10第10页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四动点：A（在圆盘上)动系

5、：OA摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动运动学动点：A1（在OA1 摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动11第11页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四动点：A（在偏心轮上）动系：偏心轮静系：地面绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动注 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。运动学12第12页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四动点A在偏心轮上时动点： A（在偏心轮上）动系：AB杆静系：地面绝对运动：圆周（红色虚线）相对运动：曲线（未知）牵连运动：

6、平动运动学13第13页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四-2 点的速度合成定理 速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。运动学当t t+t ABAB MM也可看成M M MMM 为绝对轨迹MM 为绝对位移M1M 为相对轨迹M1M 为相对位移一证明14第14页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学15第15页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学将上式两边同除以后，时的极限，得取即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。16第16页，共71页，2022年，5月2

7、0日，16点57分，星期四说明：va动点的绝对速度；vr动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。运动学17第17页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四二应用举例运动学例1 桥式吊车 已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。解：选取动点: 物块A动系: 小车静系: 地面相对运动： 直线;相对速度：vr =v

8、 方向18第18页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为牵连运动：平动；牵连速度：ve=v平 方向绝对运动：曲线；绝对速度：va 的大小,方向待求。由速度合成定理：19第19页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。绝对速度：va = r 方向 OA相对速度：vr = ? 方向/O1B牵连速度：ve = ? 方向O1B运动学例2 曲柄摆杆机构已知：OA= r , , OO1=l图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度120第20页，共71页，2022

9、年，5月20日，16点57分，星期四（ ）运动学由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。21第21页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四解：动点取直杆上A点， 动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向/AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA（翻页请看动画） 运动学例3 圆盘凸轮机构已知：OCe , , （匀角速度）图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。22第22页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学23第23页，共

10、71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学由速度合成定理 va= vr+ ve ，作出速度平行四边形 如图示。24第24页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为： 选取动点，动系和静系。 三种运动的分析。 三种速度的分析。 根据速度合成定理作出速度平行四边形。 根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。运动学25第25页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运

11、动中就缺少一种运动，不能成为合成运动 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。运动学26第26页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。运动学例 已知: 凸轮半径r , 图示时 杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。27第27页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四解: 取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上, 静系固结于基座。绝对运动：直线运

12、动, 绝对速度：相对运动： 直线运动, 相对速度：牵连运动： 定轴转动, 牵连速度：运动学28第28页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四如图示。根据速度合成定理做出速度平行四边形（）运动学29第29页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四8-3牵连运动为平动时点的加速度合成定理由于牵连运动为平动，故由速度合成定理运动学 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。30第30页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四对t求导：运动学(其中为动系坐标的单位矢量，因为动

13、系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）31第31页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。一般式可写为：32第32页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。运动学例1 已知：凸轮半径 求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。请看动画33第33页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四绝对速度va = ? , 方向AB ；相对速度vr = ? , 方向CA; 牵连速度ve=v0 , 方向

14、 。 运动学由速度合成定理做出速度平行四边形,如图示。34第34页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学绝对加速度：aa=?, 方向AB，待求；相对加速度：art =? 方向CA , 方向沿CA指向C；牵连加速度 ：ae=a0 , 方向。因牵连运动为平动，故有35第35页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得整理得注加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同。n36第36页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理 上一节我们证

15、明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。运动学 设一圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？37第37页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出运动学选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动（方向如图）38第38页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学即绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心点分析上式：

16、还多出一项2 vr 。 可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。39第39页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学 那么他们之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？可以证明（这里不证），当牵连运动为转动时，点的加速度合成定理为 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。式中 称为科里奥利加速度，简称科氏加速度一般式40第40页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学 一般情况下 科氏加速度 的计算可以用矢积表示方向：按右手法则确定。41第4

17、1页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四解: 动点： 顶杆上A点； 动系： 凸轮 ; 静系： 地面。 绝对运动： 直线; 绝对速度：va=? 待求, 方向/AB; 相对运动：曲线; 相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动：定轴转动; 牵连速度：ve= r ， 方向OA， 。运动学例2 已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动，图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。42第42页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学根据速度合成定理做出速度平行四边形43第43页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运

18、动学由牵连运动为转动时的加速度合成定理作出加速度矢量图如图示向 n 轴投影：44第44页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四DABC解：点M1的科氏加速度 垂直板面向里。运动学 例3 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并图示方向。点M2 的科氏加速度45第45页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四解：根据做出速度平行四边形运动学例4 曲柄摆杆机构已知：O1Ar , , , 1; 取O1A杆上A点为动点，动系固结O2

19、B上，试计算动点A的科氏加速度。46第46页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四方向：与 相同。运动学47第47页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学第八章点的合成运动习题课一概念及公式 1. 一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动与牵连 运动的合成 2. 速度合成定理 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时 牵连运动为转动时48第48页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学二解题步骤1. 选择动点、动系、静系。2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3. 作速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量

20、(速度, 角速度）。4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。49第49页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学 二解题技巧1. 恰当地选择动点.动系和静系, 应满足选择原则.，具体地有： 两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意, 选择其中之一为动点, 动系为固结于另一点的平动 坐标系。 运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。 机构传动, 传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点, 相对于另一个刚体运动。50第50页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四运动学导杆滑块机构：典型方

21、法是动系固结于导杆，取滑块为动点。 凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮 接触点为动点。 特殊问题, 特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而 变化. 此时, 这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满 足前述的选择原则的非接触点为动点。2. 速度问题, 一般采用几何法求解简便, 即作出速度平行四边形；加速度问题, 往往超过三个矢量, 一般采用解析（投影）法求 解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。51第51页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四 四注意问题 1. 牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。 2. 牵连转动时作加速度分析不要丢掉 ，正确分析

22、和计算。 3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程 的投影式不同。 4. 圆周运动时， 非圆周运动时， ( 为曲率半径)运动学r52第52页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四解： 动点：OA杆上 A点; 动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动， 已知: OAl , = 45o 时，w, e ; 求：小车的速度与加速度例1 曲柄滑杆机构请看动画运动学53第53页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四 牵连运动：平动；请看动画运动学相对运动：直线运动， 根据速度合成定理 做出速度平行四边形, 如图示54第54页，共71

23、页，2022年，5月20日，16点57分，星期四小车的速度：投至x轴：，方向如图示小车的加速度：根据牵连平动的加速度合成定理做出加速度矢量图如图示。运动学55第55页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四例2 摇杆滑道机构解：动点:销子D (BC上); 动系: 固结于OA； 静系: 固结于机架。已知： 求：OA杆的 。运动学56第56页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动， ，沿OA 线（）根据速度合成定理做出速度平行四边形,如图示。运动学牵连运动：定轴转动，57第57页，共71页，2022年，5月20日，16点57分

24、，星期四请看动画例3 曲柄滑块机构运动学已知： h；; 图示瞬时 ； 求: 该瞬时 杆的w2 。58第58页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四解：动点:O1A上A点; 动系:固结于BCD上, 静系固结于机架上。 绝对运动：圆周运动; 相对运动：直线运动; 牵连运动：平动; ，水平方向运动学59第59页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四 根据 做出速度平行四边形再选动点：BCD上F点动系：固结于O2E上，静系固结于机架上绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动，运动学60第60页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四根据做出速度平行四边形）（运动学61第61页，共71页，2022年，5月20日，16点57分，星期四已知：凸轮半径为R，图示瞬时