附录截面的几何性质

1、附录 截面的几何性质Appendix I Properties of Plane Areas附录 截面的几何性质(Appendix I Properties of plane areas)I-1 静矩和形心 (The first moments of the area & centroid of an area)I-2 惯性矩和惯性半径 (The moment of inertia & radius of gyration of the area )I-4 平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem ) I-3 惯性积 (Product of inertia ) I-5 转轴公

2、式 主惯性矩 (Rotation of axes & principal axes)I-1 静矩和形心(The first moment of the area & centroid of an area)一、静矩(The first moment of the area）OyzdAyz截面对 y , z 轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零.yzO dA yz二、截面的形心(Centroid of an area)C（2）截面对形心轴的静矩等于零. （1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.三、组合截面的静矩和形心(The first moments ¢roid of a

3、composite area) 由几个简单图形组成的截面称为组合截面. 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩.其中 Ai 第 i个简单截面面积1.组合截面静矩(The first moments of a composite area) 2.组合截面形心(Centroid of a composite area)第 i个简单截面的形心坐标解：组合图形，用正负面积法解之.方法1 用正面积法求解. 将截面分为1，2 两个矩形.例题1 试确定图示截面形心C的位置.取 z 轴和 y 轴分别与截面的底边和左边缘重合101012012Ozy90图(a)矩形 1矩形 2所以10

4、1012012Ozy90方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1yzI-2 惯性矩和惯性半径 (The moment of inertia & radius of gyration of the area)yzOdAyz二、极惯性矩 (Polar moment of inertia）一、惯性矩 (Moment of inertia) 所以yzdydyzdAdA三、惯性半径 (Radius of gyration of the area)解：bhyzCzdz例题2 求矩形截面对其对称轴y, z轴的惯性矩. zyd解：因为截面对其圆心 O

5、的极惯性矩为 例题3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩.所以yzOdAyz惯性积 (Product of inertia)（1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可 能为正值，负值，也可能等于零；I-3 惯性积(Product of inertia )（2）若y，z 两坐标轴中有一 个为截面的对称轴，则 截面对y，z轴的惯性积 一定等于零。I-3 惯性积(Product of inertia )yzOdAdA如图所示截面：yzOC(a,b)ba一、平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem for moment of inertia)(a , b ) 形心C在 yOz坐标系下的坐标I-4

6、 平行移轴公式 (Parallel-axis theorem )y,z 任意一对坐标轴C 截面形心yzOC(a,b)bazCyCyC , zC 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行 的坐标轴(形心轴） Iy , Iz , Iyz 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积. 已知截面对形心轴 yC ,zC 的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的 y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式 IyC , IzC , IyCzC 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩 和惯性积.二、组合截面的惯性矩 、惯性积 ( Moment of inertia & product of inertia for comp

7、osite areas ） 组合截面的惯性矩，惯性积第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩，惯性积.例题4 求梯形截面对其形心轴 yC 的惯性矩.解：将截面分成两个矩形截面.2014010020截面的形心必在对称轴 zC 上. 取过矩形 2 的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作 y轴.21zCyC所以截面的形心坐标为y2014010020y21zcyC一 、转轴公式 (Rotation of axes)I-5 转轴公式 主惯性轴(Rotation of axes & principal axes)yOz为过截面上的任 一点建立的坐标系 Oyzy1z1y1Oz1为yOz 转过 角后形成的新坐标

8、系顺時针转取为 号逆時针转取为 + 号 已知截面对坐标轴轴 y, z 轴的惯性矩和惯性积求截面对 y1，z1 轴惯性矩和惯性积.转轴公式为Oyzy1z1显然二、截面的主惯性轴和主惯性矩 (principal axes & principal moment of inertia) 主惯性轴(Principal axes )：总可以找到一个特定的角0 , 使截面 对新坐标轴y0 , z0的惯性积等于0 , 则称 y0 , z0 为主惯性轴.主惯性矩(Principal moment of inertia) ：截面对主惯性轴y0 , z0的惯性矩.形心主惯性轴(Centroidal principa

9、l axes) ：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴.形心主惯性矩(Centroidal principal moment of inertia) ：截面对形心主惯性轴的惯性矩. 求出后，就确定了主惯性轴的位置.（1）主惯性轴的位置 设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则有由此（2）主惯性矩的计算公式（3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴. 过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴. 截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值.即求形心主惯性矩的方法（1）确定形心的位置（2）选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴 y,z, 计算 Iy , Iz , Iyz

10、（3）确定形心主惯性轴的方位（4）计算形心主惯性矩例题5 计算所示图形的形心主惯性矩.解：该图形形心C的位置已确定，如图所示. 过形心C选一对座标轴 y z 轴，计算其惯性矩(积).101012025C4020yz20158035在第三象限分别由 y轴和z轴绕C点逆时针转 113.8 得出. 形心主惯性轴 y0 , z0101012070形心主惯形矩为C4020yzy00=113.8z0例题6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴.(b=1.5d)解：（1）建立坐标系如图.（2）求形心位置.（3）建立形心坐标系，求db2dyzOyCzCCdb2dyzOyCzCC便是形心主轴便是形心主惯性轴所以思考题 1. 计算所示半圆环的形心及形心主惯性矩.royzOri思考题 2. 计算所示图形的形心主惯性矩.曲线方程为：byzOhz=f(y)思考