金典教案辅助角公式

1、文档编码 : CP5Y6X4W5L9 HL8B5C6B10M6 ZO5J9L2N6G10帮忙角公式 asin bcos a2b2sin 教学应 留意的的几个问题 在三角函数中, 有一种常见而重要的题型, 即化 a sin b cos 为一个角 的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期,值域,单调区间等 . 为了帮忙学 生 记 忆 和 掌 握 这 种 题 型 的 解 答 方 法 , 教 师 们 总 结 出 公 式 2 2 2 2a sin b cos = a b sin 或 a sin b cos = a b cos , 让同学在大量的训练和考试中加以记忆和活用 . 但事与愿违 , 半个 学期不

2、到 , 大部分同学都忘了 , 老师不得不重推一遍 . 到了高三一轮复习 , 再次忘 记, 老师仍得重推 . 本文旨在通过帮忙角公式的另一种自然的推导 , 表达一种解决 问题的过程与方法 , 减轻同学的记忆负担 ; 同时说明“帮忙角” 的范畴和常见的取 角方法 , 帮忙同学澄清一些熟识 ; 另外通过例子说明帮忙角公式的灵敏应用 , 优化 解题过程与方法 ; 最终通过例子说明帮忙公式在实际中的应用 , 让同学把握帮忙 角与原生角的范畴关系 , 以更好地把握和使用公式 . 一. 教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1. 引例 例 1 求证： 3 sin +cos =2sin （

3、+ 6）=2cos（ -3）. 其证法是从右往左开放证明 结论 : , 也可以从左往右“凑” , 使等式得到证明 , 并得出 可见, 3 sin +cos 可以化为一个角的三角函数形式 . 一般地 ,asin +bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢 .2. 帮忙角公式的推导 例 2 化 a sin b cos 为一个角的一个三角函数的形式 . 2cos , 解: asin +bcos = a2b2a2ab2sin + a2bb 令 aab2=cos , a2bb2=sin , 2就 asin +bcos 2 = a b2sin cos +cos sin = a22 b sin + ,

4、其中 tan b = a1第 1 页,共 6 页 令 aab2=sin , a2bb2=cos , 就 cos = 2 a2 bcos 2asin +bcos 2 = a b2sin sin +cos -, 其中 tan a = b的象限 , 再由 tan 的值求 其中 的大小可以由 sin ,cos 的符号确定 出. 或由 tan = ba和a,b 所在的象限来确定 . 推导之后 , 是配套的例题和大量的练习 . 但是这种推导方法有两个问题 : 一是为什么要令 aab2=cos , abb2=sin .让同学费解 . 二是这种 “规定”式的推 22导, 同学难记易忘,易错 . 二. 让帮忙角

5、公式 a sin b cos = 2 ab2sin 来得更自然 能否让让帮忙角公式来得更自然些 .这是我多少年来始终摸索的问题 .2022 年春 . 我又一次代 2022 级同学时 , 最终想出一种与三角函数的定义连接又通俗易 懂的教学推导方法 . 第一要说明,如 a=0 或 b=0 时, a sin 函数的形式,无需化简 . 故有 ab 0. b cos 已经是一个角的一个三角 1. 在平面直角坐标系中 , 以 a 为横坐标 ,b 为纵坐标描一 Pa,b 如图 1 所示 , 点 2 2就总有一个角 , 它的终边经过点 P. 设 OP=r,r= a b , 由三角函数的定义知 sin = b

6、= 2 b2 , r a bcos = ar a 2 ab 2 . 2 2 2 2所以 asin +bcos = a b cos sin + a b sin cos = a 2b sin 2 . 其中 tan = b a2. 如在平面直角坐标系中 , 以 b 为横坐标 , 以 a 为纵坐标可以描点 Pb,a, 如图 2 所示 , 就总有一个角 的终边经过点 Pb,a, 设 OP=r,就 r= a22 b . 由 2第 2 页,共 6 页三角函数的定义知 a asin = = 2 2 , r a bcos = b= 2 b2 . r a b2 2 2 2asin +bcos = a b sin

7、sin a b cos cos = a 2b co s 2 . 其中 tan = a b例 3 化 3 sin cos 为一个角的一个三角函数的形式 . 解 : 在 坐 标 系 中 描 点 P 3 ,1, 设 角 的 终 边 过 点 P, 就 OP 2 1 3=r= 3 1 2 = 2 ,cos = 2 . 3 sin cos =2cos sin +2sin cos =2sin .tan = 3. 362k , 3 sin cos =2sin 6. 经过多次的运用 , 同学们可以在老师的指导下 , 总结出帮忙角公式 aasin +bcos = a2b2asin + abb2cos = a2b2

8、222 b sin , 其中 tan b = a. 或者 aasin +bcos = a2b2asin + abb2cos = a2b2222 b cos , 其中 tan a = b我 想 这 样 的 推 导 , 学 生 理 解 起 来 会 容 易 得 多 , 而 且 也 更 容 易 理 解 asin +bcos 凑成 a22 b aab2sin + 2 abb2cos 的道理 , 以 2及为什么只有两种形式的结果 . 3第 3 页,共 6 页例 4 化 sin 3 cos 为一个角的一个三角函数的形式 . 解 法 一 : 点 1,- 3 在 第 四 象 限 .OP=2. 设 角 过 P 点

9、 . 就 sin 3 , cos 1 . 满 足 条 件 的 最 小 正 角 为 2 25, 5 2k , k Z. 3 3sin 3 cos 2 sin 1 3cos 2sin cos cos sin 2 22sin 2sin 5 2k 2sin 5 . 3 3解 法 二 : 点 P- 3 ,1 在 第 二 象 限 ,OP=2, 设 角 过 P 点 . 就 sin 1, cos 3. 满 足 条 件 的 最 小 正 角 为 2 25 5, 2k , k Z. 6 6sin 3 cos 2 1 sin 3 cos 2sin sin cos cos 2 25 52cos 2cos 2k 2cos

10、 . 6 6三. 关于帮忙角的范畴问题 由 a sin b cos a22 b sin 中, 点 Pa,b 的位置可知 , 终 边过点 Pa,b 的角可能有四种情形 第一象限,其次象限,第三象限,第四象限 . 设中意条件的最小正角为 1 , 就 12k . 由诱导公式 一 知 a sin b cos a22 b sin a22 b sin 1 其 中 10,2 , tan 1b, 1 的详细位置由 sin 1 与 cos 1 预备, 1 的大 a小由 tan 1b预备 a4第 4 页,共 6 页类似地,a sin b cos a22 b cos , 的终边过点（, ）,设中意条件的最小正角为

11、2,就 22k . 由诱导公式有 a sin b cos a22 b cos a22 b cos 2 ,其 中 20,2 , tan 2a, 2的位置由 sin 2和 cos 2确定, 2的大小 b由 tan 2a确定 2；以后没有特殊说明时,角 1（或 2）是所 b留意：一般地, 1求的帮忙角 四关于帮忙角公式的灵敏应用 引入帮忙角公式的主要目的是化简三角函数式 在实际中结果是化为正弦仍 是化为余弦要详细问题详细分析,仍有一个重要问题是,并不是每次都要化为 a sin b cos a22 b sin 1 的 形 式 或 a sin b cos a22 b cos 2 的形式可以利用两角和与差

12、的正, 余弦公式灵敏处理 例 化以下三角函数式为一个角的一个三角函数的形式 （） 3 sin cos ； 1 2cos 6（） 2sin 36cos 3 663 sin cos 2 3sin 2解： （） 2sin cos 6cos sin 62sin 5第 5 页,共 6 页2sin 36cos 33 , 66（） 21 sin 3 2 33cos 3 22sin 3 cos 3cos 3sin 3 32 3sin 23在本例第（）小题中, a3 , b 1,我们并没有取点（ ）,而取的是点 （ 3 ,）也就是说, 当 a ,b 中至少有一个是负值时 我 们可以取（ a, b）,或者（ b, a）这样确定的角 1（或 2 ）是锐角, 就更加便利 例 6 已知向量 acosx 3,1 , bcosx 3, 1 , 2c sin x