福建省2023学年高三冲刺模拟数学试卷（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

2、的。1设全集，集合，则（ ）ABCD2设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为( )A60B80C90D1203过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为（ ）A BCD4下列四个图象可能是函数图象的是（ ）ABCD5若函数在时取得极值，则（ ）ABCD6函数的图象为C，以下结论中正确的是（ ）图象C关于直线对称；图象C关于点对称；由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.ABCD7下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）ABC D8复数的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D

3、第四象限9已知向量，则与共线的单位向量为( )ABC或D或10在中，为边上的中点，且，则（ ）ABCD11已知向量，且，则（ ）ABC1D212已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某大学、四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为、，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取人调查毕业后的就业情况，则专业应抽取_人14展开式中，含项的系数为_.15已知等差数列的各项均为正数，且，若，则_.16设为定义在上的偶函数，当时，（为常数），若，则实数的值为_.三、解答题：共70分。解答

4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，侧面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18（12分）如图，在正四棱锥中，点、分别在线段、上，（1）若，求证：；（2）若二面角的大小为，求线段的长19（12分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20（12分）已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.21（12分）已知

5、函数f(x)xlnx，g(x)x2ax.（1）求函数f(x)在区间t，t1(t0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)g(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足1，求实数a的取值范围；（3）若x(0,1，使f(x)成立，求实数a的最大值22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.（1）求与的极坐标方程（2）若与交于点A，与交于点B，求的最大值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

6、符合题目要求的。1、D【答案解析】求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解【题目详解】由于 故集合或 故集合 故选：D【答案点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2、B【答案解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.【题目详解】如图所示：画出可行域和目标函数，即，故表示直线与截距的倍，根据图像知：当时，的最大值为，故.展开式的通项为：，取得到项的系数为：.故选：.【答案点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3、C【答案解析】联立方程解得M(3，)，根据MNl

7、得|MN|MF|4，得到MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.【题目详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方得M(3，)，由MNl得|MN|MF|314又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选：C.【答案点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.4、C【答案解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解.【题目详解】的定义域为，其

8、图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，为奇函数，图象关于原点对称，的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时，B项不正确.故选：C【答案点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.5、D【答案解析】对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.【题目详解】因为，所以，又函数在时取得极值，所以，解得.故选D【答案点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.6、B【答案解析】根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.【题目详解】因为，又，所以正确.，所以正确.将的图

9、象向右平移个单位长度，得，所以错误.所以正确，错误.故选:B【答案点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.7、C【答案解析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【题目详解】因为函数和在递增，而在递减.故选：C【答案点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.8、C【答案解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.9、D【答案解析】根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.【题目详解】因为，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得 或所以与共线的单

10、位向量为或.故选：D.【答案点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.10、A【答案解析】由为边上的中点，表示出，然后用向量模的计算公式求模.【题目详解】解：为边上的中点，故选：A【答案点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.11、A【答案解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【题目详解】由于向量，且，所以解得.故选：A【答案点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.12、D【答案解析】如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D二、填空题：本题共4小题，每小题

11、5分，共20分。13、【答案解析】求出专业人数在、四个专业总人数的比例后可得【题目详解】由题意、四个不同的专业人数的比例为，故专业应抽取的人数为故答案为：1【答案点睛】本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的14、2【答案解析】变换得到，展开式的通项为，计算得到答案.【题目详解】，的展开式的通项为：.含项的系数为：.故答案为：.【答案点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.15、【答案解析】设等差数列的公差为，根据，且，可得，解得，进而得出结论.【题目详解】设公差为，因为，所以，所以，所以 故答案为：【答案点睛】本题主要考查了等差数列的

12、通项公式、需熟记公式，属于基础题.16、1【答案解析】根据为定义在上的偶函数，得，再根据当时，（为常数）求解.【题目详解】因为为定义在上的偶函数，所以，又因为当时，所以，所以实数的值为1.故答案为：1【答案点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【答案解析】（1）取中点，连接，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二面角的余弦值.【题目详解】解析：（1）取中点，连接，由已知可得，侧面是菱形，即，平面，平面

13、平面.（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令得.同理可求得平面的法向量，.【答案点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.18、（1）证明见解析；（2）【答案解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题（1）只要证明0即可证明垂直；（2）

14、设，得M(，0，1)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得试题解析: (1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系因为PAAB，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)由，得N，由，得M，所以，(1，1，0)因为0，所以MNAD(2) 解：因为M在PA上，可设，得M(，0，1)所以(，1，1)，(0，2，0)设平面MBD的法向量(x，y，z)，由，得其中一组解为x1，y0，z，所以可取(1，0，)因为平面ABD的法向量为(0，0，1)，所以cos，即

15、，解得，从而M，N，所以MN 考点：用空间向量法证垂直、求二面角19、（1）（2）【答案解析】（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.【题目详解】解：（1）设公比为正数的等比数列的前项和为，且，可得时，不成立；当时，即，解得（舍去），则；（2），前项和，两式相减可得，化简可得.【答案点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题20、（1）；（2）【答案解析】（1）设的极坐标为，在中，有，即可得结果；（2）设射

16、线：，圆的极坐标方程为，联立两个方程，可求出，联立可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得最值.【题目详解】（1）设的极坐标为，在中，有，点的轨迹的极坐标方程为；（2）设射线：，圆的极坐标方程为，由得：，由得：，当，即时，的最大值为.【答案点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.21、（1）m(t)（2）a22.（3）a22.【答案解析】（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解（2）注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A，B连线的斜率总大于1，等价于h(x1)h(x2)x1x2(x1x2)恒成立，

17、从而构造函数F(x)h(x)x在(0，)上单调递增，进而等价于F(x)0在(0，)上恒成立来加以研究（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a，再利用导数求函数M(x)的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值【题目详解】（1） f(x)1，x0，令f(x)0，则x1.当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)的最小值为f(t)tlnt；当0t1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)1.综上，m(t)（2）h(x)x2(a1)xlnx，不妨取0 x1x2，则x1x20，则由

18、，可得h(x1)h(x2)x1x2，变形得h(x1)x1h(x2)x2恒成立令F(x)h(x)xx2(a2)xlnx，x0，则F(x)x2(a2)xlnx在(0，)上单调递增，故F(x)2x(a2)0在(0，)上恒成立，所以2xa2在(0，)上恒成立因为2x2，当且仅当x时取“”，所以a22.（3）因为f(x)，所以a(x1)2x2xlnx.因为x(0,1，则x1(1,2，所以x(0,1，使得a成立令M(x)，则M(x).令y2x23xlnx1，则由y0 可得x或x1(舍)当x时，y0，则函数y2x23xlnx1在上单调递减；当x时，y0，则函数y2x23xlnx1在上单调递增所以yln40，所以M(x)0在x(0,1时恒成立，所以