向量共线定理解析课件

1、1.向量加法的三角形法则作法:在平面中任取一点O,o回顾旧知:过O作OA= a过A作AB= b则OB= a+b.a+bbaA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾连第1页/共38页2.向量加法的平行四边形法则作法:在平面中任取一点O,o以OA,OB为边作平行四边形C如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB过O作OA= a过O作OB= ba+b则对角线OC= a+b共起点第2页/共38页3.向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一点o,过O作OA= a过O作OB= boaAbB则BA= a-ba-b共起点第3页/共3

2、8页实际背景第4页/共38页探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量 a （如图）a试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)根据向量加法的法则可得 思考:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？第5页/共38页OABC 由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记作3 a，即OC=3a. 显然，3a的方向与a的方向相同，3a 的长度是a的长度的3倍，即|3a | = 3 |a |.第6页/共38页PQMN由图可知， PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3 a，即PN= - 3a显然，-

3、3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a | =3 | a | 。第7页/共38页（1） 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：（2）当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反。特别的， 当 时，思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不同点? a 是一个向量； a 的长度等于的绝对值与向量a的长度的乘积。1、实数与向量积的定义第8页/共38页=2、实数与向量积的运算律根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。第9页/共38页2、实数与向量积的运算律第10

4、页/共38页2、实数与向量积的运算律ABCDEADE第11页/共38页2、实数与向量积的运算律结合律分配律分配律逆运算第12页/共38页设 为实数，那么特别的，我们有 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有第13页/共38页例1.计算：注：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.第14页/共38页第15页/共38页练习第16页/共38页解：DC= AB= a BC=BD+DC =(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- a MN=DN-DM= a-b- a= a-bDANMCB例1: 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|M、N分别为DC、AB中点。A

5、B=a AD=b 用a，b表示DC、BC、MN。第17页/共38页巩固练习:设D、E、F分别是 ABC的边BC、CA、AB上的点,且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.若记AB=m,CA=n.试用m,n表示DE、EF、FDABCDEF第18页/共38页思考:问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=a ？问题1：如果 b=a , 那么，向量a与b是否共线？对于向量 a (a0), b ，以及实数,第19页/共38页3.向量共线定理 反过来，已知向量a与b共线， a 0 ，且向量b的长度是向量a的倍，即| b | a |= ，那么当向量a与b同向时，有b = a ，

6、当向量a与b反向时，有b = - a . 也就是说：如果a与b共线，那么有且只有一个实数 ，使b = a . 对于向量a （ a 0 ）、 b ，如果有一个实数，使 b = a ，那么由实数与向量的积的定义知， a与b共线.第20页/共38页思考：若则结论如何？第21页/共38页练习、已知向量试判断，是否共线。ABDEC第22页/共38页ABDEC 与 共线 解：第23页/共38页ABCO第24页/共38页例7:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点， ，求证M、N、C三点共线.AMBCDN提示：设AB = a BC = b则MN= = a + b MC= = a+

7、b 所以M.N.C三点共线第25页/共38页一、a 的定义及运算律 向量共线定理 (a0) b=a 向量a与b共线 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=BC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=CD ABCD AB与CD不在同一直线上直线AB直线CD第26页/共38页练习1 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k =-1 k=-1第27页/共38页练习2: e1、e2不共

8、线, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a与b是否共线。解：假设,a与b共线则 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 这样不存在。 a与b不共线。第28页/共38页练习3:设两非零向量a和b不共线，如果ABab，CD3（ab），BC=2a+8b求证：A、B、D三点共线。第29页/共38页例2:（2003 辽宁）已知四边形ABCD是菱形，P点在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于 ( )A、 B、C、 D、A第30页/共38页 变形1:（2003 全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的( )A外

9、心B内心C重心D垂心B第31页/共38页变形2:OA、OB不共线，AP=tAB，用OA、OB表示OP所以：OABP因为OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB思考:若上式成立,则A、B、P有什么关系?反之?第32页/共38页结论：已知OA、OB不共线，若P、A、B三点共线则则P、A、B三点共线.若O是平面上任意一点,且若O是平面上任意一点,且其中, 则P、A、B三点共线等价命题：OA、OB不共线，若P、A、B三点共线,则 其中 第33页/共38页巩固练习:如图 OAB中,C为直线 AB上一点,AC=CB(-1),ABOC第34页/共38页练习1 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1第35页/共38页练习2: e1、e2不共线, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a与b是