矩阵二次型精品课件

1、矩阵二次型第1页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五一、二次型及其标准形的概念称为二次型.（我们仅讨论实二次型）第2页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五例如：都是二次型。不是二次型。第3页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）例如为二次型的标准形.第4页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五1用和号表示对二次型二、二次型的表示方法第5页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五则（1）式可以表示为二次型用和号表示第6页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，

2、星期五第7页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第8页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五则 其中 为对称阵： . 二次型的矩阵表示式说明对称阵与二次型一一对应；若 ，二次型的矩阵 满足： 的对角元 是 的系数； 的 元是 系数的一半. 则对称阵 称为 二次型 的矩阵；二次型 称为对称阵 的 二次型；第9页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系第10页，共76页，202

3、2年，5月20日，9点17分，星期五解例第11页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五练习 求二次型 的矩阵解：解：第12页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五解：第13页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五例2：求对称矩阵 所对应的二次型。解：例3：已知二次型 的秩为2，求参数c。解：第14页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五四、化二次型为标准形设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形第15页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五系数矩阵则线性变换可记作：是可逆矩阵，则称

4、线性变换（2）是非退化线性变换是正交矩阵，则称线性变换（2）是正交线性变换第16页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五二次型研究的主要问题是：寻找可逆变换 ，使 这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形(法式). 特别地，如果标准形中的系数 只在三个数中取值，那么这个标准形称为二次型的规范形. 标准形的矩阵是对角阵. 第17页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：因为有所以 与 的关系为：第18页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五则因为第19页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五以上说

5、明：第20页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五矩阵的合同关系定义 设 和 是 阶矩阵， 若有可逆矩阵 ，使则称矩阵 与 合同. 说明 合同关系是一个等价关系. 设 与 合同，若 是对称阵，则 也对称阵. 对称阵一定合同, 相似与一个对角阵. 若 与 合同，则 . 经可逆变换 后，二次型的矩阵由 变 为与 合同的矩阵 , 且二次型的秩不变. 第21页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五注释：2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）“合同”定义中，矩阵A 、B为一般方阵，但实际中， 多针对对称矩阵考虑合同关系任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它

6、合同 与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵第22页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五 化二次型为标准形 对二次型 作可逆变换 ，相当于对对称阵 作合同变换； 把二次型化成标准形相当于把对称阵 用合同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化)，即寻找可逆阵 , 使 . 定理 任给二次型 , 总其中 是 的矩阵 的特征值.即任何二次型都可用正交变换化为标准形. 存在正交变换 ，使 化为标准形第23页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第24页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五解1写出对应的二次型矩阵，并求其特征

7、值例第25页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五从而得特征值2求特征向量3将特征向量正交化得正交向量组第26页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五4将正交向量组单位化，得正交矩阵第27页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五于是所求正交变换为第28页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五解例3第29页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第30页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第31页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第32页，共76页，2022年，5月20日，9点17

8、分，星期五第33页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五化为标准型，并指出 表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型作业第34页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五思考题解答第35页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第36页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第37页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五定理 任给二次型 , 总其中 不一定是 的矩阵 的特征值.存在满秩变换 ，使 化为标准形第38页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五初等变换化二次型为标准型而任意可逆矩阵是可以分解为若干初

9、等矩阵的乘积定理 任给二次型 , 总其中 可能是 的矩阵 的特征值.存在满秩变换 ，使 化为标准形第39页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第40页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五用 阶单位矩阵 及矩阵 ，构造每次对矩阵 做初等行变换后，立即对做同类型初等列变换。经过若干次这样的变换后，当 化为对角阵时，而 就化为变换矩阵 。第41页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五练习：用初等变换法化二次型为标准型，并求出相应的可逆线性变换。第42页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五惯性定理(Inertia Theorems)

10、一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质第43页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五定理 (惯性定理)设有二次型 ，它 的秩为 ，有两个可逆变换及使及则正数的个数相等. 中正数的个数与中第44页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五注意第45页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五定理 任给二次型 ，总有可逆变换 ，使 为规范形. 即任何二次型都可用可逆变换化

11、为规范形. 第46页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五证 设有二次型由定理 知，存在正交变换 ，使 设二次型 的秩为 ，则特征值 中恰有 个不为0，不妨设 不等于0，于是，令其中则 可逆，且变换 把 化为第47页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五记 ，则可逆变换 能把 化为规范形第48页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五练习:第49页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五由以上讨论不难得到以下结论:(1)对于任何n阶实二次型 , 都存在非退化线性变换 ,化为规范型二次型, 即其中 r 为 f 的秩, P 为 f 的正惯

12、性指数.第50页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五(2)任一n阶实对称矩阵A都合同于对角矩阵(3)n阶实对称矩阵A合同于B的充要条件为r(A)=r(B),且A和B的正惯性指数相同.第51页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五例 下列矩阵中，与矩阵 合同的矩阵是哪一个？为什么？第52页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五解 析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性定理解题.容易求得 的特征值 ，于是可知， 所对应的二次型的正惯性指数为 ；负惯性指数为 .合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，故选(B). 应选(B)，理由是:第53页，共76页，

13、2022年，5月20日，9点17分，星期五正定Positive definite二次型的概念定义 设有二次型 ， 如果对任何 ，都有 如果对任何 ，都有 ，则称 为负定二次型，并称对称阵 是负定的；阵 是正定的；(显然0 )，则称 为正定二次型，并称对称为正定二次型为负定二次型例如第54页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五说明按定义，当变量取不全为零的值时，二次型 若是正定 ( ) 二次型，则它的对应值总是 正数 ( ) .负定负数若 是正定二次型，则 就是负定二次型.第55页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五三、正(负)定二次型的判别第56页，共76页

14、，2022年，5月20日，9点17分，星期五证 已知 ，有可逆变换 ，使先证充分性：设 ，任给 ，则 ，故再证必要性: 用反证法. 假设有 ，取 (单位坐标向量) ，这与 为正定相矛盾. 这就证明了 . 则有 ，且第57页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五推论1 正定二次型 (正定矩阵) 的秩为 . 推论2 对称阵 为正定矩阵的充要条件是： 的特征值全为正.第58页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五这个定理称为霍尔维茨定理(Hurwitz)定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而

15、偶数阶主子式为正，即第59页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五正定二次型的判定： 正定的正惯性指数的 个特征值全为正的规范形为合同于单位阵可逆的各阶主子式全为正第60页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五正定矩阵具有以下一些简单性质第61页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五解：使用配方法化二次型为标准型，然后判断第62页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第63页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第64页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第65页，共76页，2022年，5月20日

16、，9点17分，星期五第66页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五第67页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五练习 判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.第68页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五练习 判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵，第69页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五练习 判别二次型的正定性.解第70页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导第71页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五思考题第72页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五思考题解答第73页，共76页，2022年，5月20日，9点17分，星期五矩阵的三大关系： 它们的定义存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使 与 等价 与 相似 与 正交