矩阵的特征值和特征

1、矩阵的特征值和特征第1页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五我们只讨论实向量。向量一般用希腊字母 表示（有时采用黑体）。 行 向量：列向量：行向量、列向量统称为向量。第2页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五只有一行或一列的矩阵，也可称为向量。如 的行向量为第3页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五A的列向量为于是， 矩阵有m个n维行向量，同时有n个m维列向量。第4页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五零向量（分量全为零）：n维单位坐标向量：第5页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五向量 与相等记作第6页

2、，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五二 n 维向量的线性运算定义 设则称为向量 与 的和 第7页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五定义 设 为实数，则称为数 与向量 的乘积当 时，记称它为 的负向量第8页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算。运算律：设 都是n维向量， 都是实数，则(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)第9页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五注意：两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。第10页，共20页，2022年，5月2

3、0日，9点21分，星期五三 特征值与特征向量的概念引例 在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y恰巧是输入x的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。第11页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五例如，对系统 ，若输入则若输入 ，则第12页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。第13页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五定义 设A是一个n阶方阵，若存在着一个数 和

4、一个非零n维向量x，使得则称 是方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值 的特征向量，或简称为A的特征向量。第14页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五四 特征值与特征向量的求法 可改写为 这实际上是一个n个未知数n个方程的齐次线性方程组，特征向量可看成是它的一个非零解。而此齐次线性方程组有非零解的充要条件是 ，即 （称为方阵A的特征方程）第15页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五上述方程的左端是 的n次多项式，记作 ，称为A的特征多项式。从A的特征方程中解出的 值就是A的特征值。然后通过求解方程组就可以求出A的特征向量。第16页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五例 求矩阵的特征值和特征向量。第17页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五求特征值和特征向量的一般步骤：（1）由 求出所有特征值（2）求解齐次线性方程组（ 为特征值），则所得非零解x必为特征向量（它是基础解系的线性组合，且为非零向量）第18页，共20页，2022年，5月20日，9点21分，星期五结论：不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值。第19页，共20页，