概率课后习题答案(全)

1、随机事件及其概率1.1随机事件习题1试说明随机试验应拥有的三个特色习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“最少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2随机事件的概率1.3古典概型与几何概型1.4条件概率1.5事件的独立性复习总结与总习题解答习题3.证明以下等式：习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布2.1随机变量习题1随机变量的特色是什么？解答：随机变量是定义在样

2、本空间上的一个实值函数.随机变量的取值是随机的，早先或试验前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确立的.习题2试述随机变量的分类.解答：若随机变量X的全部可能取值可以一一列举出来，则称X为失散型随机变量；不然称为非失散型随机变量.若X的可能值不可以一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小同样的球10个，编号为0,1,2,?,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的状况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用1,2,3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则

3、样本空间S=1,2,3,定义随机变量X以下：X=X()=0,=11,=2,2,=3则X取每个值的概率为PX=0=P拿出球的号码小于5=5/10,PX=1=P拿出球的号码等于5=1/10,PX=2=P拿出球的号码大于5=4/10.2.2失散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X遵从参数为的泊松分布，且PX=1=PX=2,求.解答：由PX=1=PX=2,得e-=2/2e-,解得=2.习题2设随机变量X的分布律为PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P12X3.解答：(1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35.习题3已知随机变量X只好取-1,0,1,2四个值，相应概率

4、挨次为12c,34c,58c,716c,试确立常数c,并计算PX1X0.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知PX1X0=PX60,即PX20,PX20=PX=30+PX=40=0.6.就是说，加油站因代营业务获取的收入大于当日的额外支出花费的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；p=0.1,(2)PX5;当生产过程中出现废品时马上进行调整，X代在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数许多于多少?解答：(1)PX=k=(1-p)kp

5、=(0.9)k0.1,k=0,1,2,?;(2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品许多于m件，则m应满足PXm=0.6,即PXm-1=0.4.因为PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4,解上式得m4.855,所以，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数许多于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X,它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=

6、PX=0=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=PX=1=0.6.则随机变量的分布律为01X0.40.6P习题8某种产品共10件，此中有3件次品，现从中任取3件，求拿出的3件产品中次品的概率分布.解答：设X表示拿出3件产品的次品数，则PX=0=C73C103=35120,PX=2=C71C32C103=21120,X的全部可能取值为0,1,2,3.PX=1=C73C31C103=36120,PX=3=C33C103=1120.对应概率分布为X的分布律为0123XP0习题9一批产品共10件，此中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，拿出的产品仍放回去，求直至取到正品为止

7、所需次数X的概率分布.解答：因为每次拿出的产品仍放回去，各次抽取互相独立，下次抽取时状况与前一次抽取时完整同样，所以X的可能取值是全部正整数1,2,?,k,?.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),则随机变量X的分布律为PX=k=310310?310710=(310)k-1710,k=1,2,?.习题10设随机变量Xb(2,p),Y解答：因为Xb(2,p),b(3,p),若PX1=59,求PY1.PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Yb(3,p),所以PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照料800个纺绽，每一纺锭在

8、某一段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数,n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P0X2=P?0 xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)内断头的概率为0.005,在这段时间习题12设书本上每页的印刷错误的个数个印刷错误的页数同样，求随便检验解答：becausePX=1=PX=2,即k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381.X遵从泊松分布，经统计发此刻某本书上，4页，每页上都没有印刷错误的概率.有一个印刷错误与有两11!e-=22!e-?=2,PX=0=e-2,p=(e-2)4=e-8.2.3随机变量的分布函数习题

9、1F(X)=0,x-20.4,-2x01,x0,是随机变量X的分布函数，则解答：失散.因为F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个失散型随机变量.X是_型的随机变量.习题2设F(x)=0 x0 x201,1x1问解答：第一，因为0F(x)1,?x(-其次，F(x)单调不减且右连续，即F(x)能否为某随机变量的分布函数,+).F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(-)=0,F(+)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知失散型随机变量X的概率分布为PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为

10、：X135P0.30.50.k2所以其分布函数F(x)=PXx=0,x10.3,1x30.8,3x51,x5.F(x)的图形见图.习题4设失散型随机变量X的分布函数为F(x)=0,x-10.4,-1x10.8,1x31,x3,试求：(1)X的概率分布；(2)PX2X1.解答：(1)X-113p0.40.40.k2(2)PX2X1=PX=-1PX1=23.习题5设X的分布函数为F(x)=0,x0 x2,0 x1x-12,1x1.51,x1.5,求P0.40.5,P1.7X2.解答：P0.40.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.7X2=F(2)-F(1.7)=1

11、-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-x+),试求：(1)系数A与B;(2)X落在(-1,1内的概率.解答：(1)因为F(-)=0,F(+)=1,可知A+B(-2)A+B(2)=1=0?A=12,B=1,于是F(x)=12+1arctanx,-x+;(2)P-1X1=F(1)-F(-1)=(12+1arctan1)-12+1arctanx(-1)=12+1?4-12-1(-4)=12.习题7在区间0,a上随便扔掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在0,a中随便小区间内的概率与这个小区间的长度成正比率，试求X的分布函数.解答：F(x)=PXx=0,

12、x0 xa,0 xa.1,xa2.4连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12e-(x+3)24(-x+),则Y=N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知=-3,=2由Y=X-N(0,1),所以Y=3+X2N(0,1).习题2已知Xf(x)=2x,0 x10,其他,求PX0.5;PX=0.5;F(x).解答：PX0.5=-0.5f(x)dx=-00dx+00.52xdx=x200.5=0.25,PX=0.5=PX0.5-PX0.5=-0.5f(x)dx-0.5f(x)dx=0.当X0时，F(x)=0;当0 x1时，F(x)=-xf(t)dt=-00d

13、t+0 x2tdt=t20 x=x2;当X1时，F(x)=-xf(t)dt=-00dt+0 x2tdt+1x0dt=t201=1,故F(x)=0,x0 x2,0 x00,x0,试求：(1)A,B的值；(2)P-1X1;(3)概率密度函数F(x).解答：becauseF(+)=limx+(A+Be-2x)=1,又becauselimx0+(A+Be-2x)=F(0)=0,A=1;B=-1.(2)P-1X00,x0.习题4遵从拉普拉斯分布的随机变量解答：由概率密度函数的性质知，X的概率密度f(x)=Ae-x,求系数-+f(x)dx=1,即-+Ae-xdx=1,A及分布函数F(x).而-+Ae-xd

14、x=-0Aexdx+0+Ae-xdx=Aex-0+(-Ae-x0+)=A+A=2A或-+Ae-xdx=20+Ae-xdx=-2Ae-x0+=2A,所以2A=1,从而f(x)=12e-x,-x+,又因为F(x)=-xf(t)dt,所以即A=1/2.当x0时，F(x)=-x12e-tdt=12-xetdt=12et-x=12ex;当x0时，F(x)=-x12e-xdt=-012etdt+0 x12e-tdt=12et-0-12e-t0 x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而习题F(x)=12ex,x150=150+f(x)dx=150+100 x2dx.=-100 x150+=10015

15、0=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等候时间超出4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X遵从0,5上的均匀分布.设Y表示车站上10位乘客中等候时间超出4分钟的人数.因为每人到达时间是互相独立的.这是10重伯努力概型.Y遵从二项分布，其参数n=10,p=PX4=15=0.2,所以PY=1=C1010.20.890.268.习题7设XN(3,22).(1)确立C,使得PXc=PXc;(2)设d满足PXd

16、0.9,问d至多为多少?解答：因为XN(3,22),所以X-32=ZN(0,1).(1)欲使PXc=PXc,必有1-PXc=PXc,即PXc=1/2,亦即(c-32)=12,所以c-32=0,故c=3.(2)由PXd0.9可得1-PXd0.9,即PXd0.1.于是(d-32)0.1,(3-d2)0.9.查表得3-d21.282,所以d0.436.习题8设丈量偏差XN(0,102),先进行100次独立丈量，求偏差的绝对值超出19.6的次数不小于3的概率.解答：先求随便偏差的绝对值超出19.6的概率p,p=PX19.6=1-PX19.6=1-PX101.96=1-(1.96)-(-1.96)=1-

17、2(1.96)-1=1-20.975-1=1-0.95=0.05.设Y为100次丈量中偏差绝对值超出19.6因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，的次数，则Yb(100,0.05).np=5=,所以PY31-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-50.87.习题9某玩具厂装置车间准备推广计件超产奖，为此需对生产定额作出规定.依据过去记录，各工人每个月装置产品数遵从正态分布N(4000,3600).假设车间主任希望10%的工人获取超产奖，求：工人每个月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每个月需装置的产品数，则XN(4000,3600).设工人每个月需完成x件产品

18、才能获奖，依题意得PXx=0.1,即1-PXx=0.1,所以1-F(x)=0.1,即1-(x-400060)=0.1,所以(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得(1.28)=0.8997,所以x-4000601.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每个月一定装置4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(缩短压，以mm-HG计)遵从N(110,122).在该地区任选一丈量她的血压X.(1)求PX105,P100 x0.005.解答：已知血压XN(110,122).(1)PX105=PX-11012-5121-(0.42)=0.3372,18岁女青年，P100 x

19、0.05,求x,即1-PXx0.05,亦即(x-11012)0.95,查表得x-100121.645,从而x129.74.习题11设某城市男子身高XN(170,36),问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机遇小于0.01.解答：XN(170,36),则X-1706N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意PXxx=1-PXx=1-(x-1706)0.99,查标准正态表得x-17062.33,故x183.98cm.所以，车门的高度超出183.98cm时，男子与车门碰头的机遇小于0.01.习题12某人去火车站搭车，有两条路可以走.第一条行程较短，但交通拥堵，所需时间(单位：分钟)

20、遵从正态分布N(40,102);第二条行程较长，但不测堵塞较少，所需时间遵从正态分布N(50,42),求：若出发时走开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？若出发时走开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则XN(40,102),YN(50,42).哪一条路线在开车从前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为PX60=(60-4010)=(2)=0.97725,PY60=(60-504)=(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为PX45=(45-4010)=(0.5)=0.6915,PX0时，fY(y)=1

21、c(b-a),ca+dycb+d0,其他,当c0时，fY(y)=-1c(b-a),cb+dyca+d0,其他.习题4设随机变量X遵从0,1上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)=1,0 x10,其他,f=ex,x(0,1)是单调可导函数，y(1,e),其反函数为x=lny,可得f(x)=fX(lny)lny,1ye0,其他=1y,1y1时)=P-y-12Xy-12=-y-12y-1212e-x2dx,所以fY(y)=FY(y)=22e-12?y-12?122y-1,y1,于是fY(y)=12(y-1)e-y-14,y10,y1.习题6设连续型随机变量X的概率密

22、度为f(x),分布函数为F(x),求以下随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X;(2)Y=X.解答：(1)FY(y)=PYy=P1/Xy.当y0时，FY(y)=P1/X0+P01/Xy=PX0+PX1/y=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=-F(1y)=1y2f(1y);；当y0时，FY(y)=P1/yX0=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);当y=0时，FY(y)=P1/X0=PX0时，FY(y)=P-yXy=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);当y00,y0.习题7某物体的温度T(F)是一个随机变量,且有TN(98.6,2),概率密度

23、.解答：已知TN(98.6,2).=59(T-32),反函数为T=59+32,f(y)=fT(95y+32)?95=12?2e-(95y+32-98.6)24?95已知=5(T-32)/9,是单调函数，所以试求(F)的=910e-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间a,b上的概率均大于分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数同样解答：因X在任一有限区间a,b上的概率均大于0,又Y在0,1上遵从均匀分布，故Y的分布函数为0,其分布函数为FY(x),又Y在0,1上遵从均匀.故FX(x)是单调增添函数，其反函数FX-1(y)存在，FY(y)=PYy=0,y0,于是，Z

24、的分布函数为FZ(z)=PZz=PFX-1(Y)z=PYFX(z)=0,FX(z)1因为FX(z)为X的分布函数，故0FX(z)1.FX(z)1均匀不行能，故上式仅有FZ(z)=FX(z),所以，Z与X的分布函数同样.总习题解答习题1从120的整数中取一个数，若取到整数解答：设Ak为取到整数k,P(Ak)=ck,因为P(?K=120Ak)=k=120P(Ak)=ck=120k=1，k的概率与k成正比，求取到偶数的概率k=1,2,?,20.所以c=1210,.P取到偶数=PA2A4?A20=1210(2+4+?+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,命中3炮的概率;

25、(2)最少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数.因为各炮能否中靶互相独立，所以是一个概型，X遵从二项分布，其参数为n=10,p=0.7,故(1)PX=3=C103(0.7)3(0.3)70.009;10重伯努利(2)PX3=1-PX300000即X15(人).所以，P保险公司亏本=PX15则保险公司在这一年中对付出200000X(元)，要使保险公=k=162500C2500k(0.002)k(0.998)2500-k1-k=015e-55kk!0.000069,因而可知,在1年里保险公司亏本的概率是很小的(2)P保险公司盈利许多于100000元.=

26、P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0.002)(0.998)2500-kk=010e-55kk!0.986305,即保险公司盈利许多于100000元的概率在98%以上.P保险公司盈利许多于200000元=P300000-200000X200000=PX5=k=05C2500k(0.002)k(0.998)2500-kk=05e-55kk!0.615961,即保险公司盈利许多于200000元的概率凑近于62%.习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%,试求每台分机向总机要外线时，能及时获取满足的概率和同时

27、向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X,300台分机可当成300次伯努利试验，一次试验能否要到外线.设要到外线的事件为A,则P(A)=0.03,明显Xb(300,0.03),即PX=k=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,?,300),因n=300很大，p=0.03又很小,=np=3000.03=9,可用泊松近似公式计算上边的概率.因总合只有13条外线，要到外线的台数不超出13，故PX13k=0139kk!e-90.9265,(查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=(n+1)p=3010.03=9.习题5在长度为t的时

28、间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X遵从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点没关(时间以小时计),求：某一天从正午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；某一天从正午12时至下午5时最少收到1次紧急呼救的概率.解答：(1)t=3,=3/2,PX=0=e-3/20.223;(2)t=5,=5/2,PX1=1-PX=0=1-e-5/20.918.习题6设X为一失散型随机变量，其分布律为X-1011/21-2qqi2试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)because失散型随机变量的概率函数PX=xi=pi,满足ipi=1,且0pi1,1/2+1-2q+q2=101-2q1q21,

29、解得q=1-1/2.从而X的分布律为下表所示：X-101p1/22-13/2-i2(2)由F(x)=PXx计算X的分布函数F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x-1-1x00 x0 x1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)=0,x/2则A=,PX/6=.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(2+0)=F(2)?A=1.因F(x)在x=6处连续，故PX=6=12,于是有PX6=P-6X6=P-60时，由题设知Px0是常数，求电子PxXx+x/X=PxxPXx=Px0,故C=1.0,故X的分布函数为F(x)=0,x01-e-x,x0(0),从而电子管在T小时内毁坏

30、的概率为PXT=F(T)=1-e-T.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)=x,0 x12-x,1x20,其他,求其分布函数F(x).解答：当x0时，F(x)=-x0dt=0;当0 x1时，F(x)=-xf(t)dt=当12时，F(x)=-00dt+01tdt+12(2-t)dt+2x0dt=1,故F(x)=0,x212x2,0 x1-1+2x-x22,12.习题10某城市饮用水的日花费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)=19xe-x3,x00,其他,试求：(1)该城市的水日花费量不低于600万升的概率；(2)解答：先求X的分布函数F(x).明显，当x0时，F(x)

31、=0,水日花费量介于当x0时有600万升到900万升的概率.F(x)=0 x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)=1-(1+x3)e-x3,x00,x0,所以PX6=1-PX6=1-P(X6=1-F(6)=1-1-(1+x3)e-x3x=6=3e-2,P6a0,其他(0),求常数c及Pa-1Xa+1.解答：由概率密度函数的性质知-+f(x)dx=1,而-+f(x)dx=-a0dx+a+ce-xdx=ca+e-xd(x)=-ce-xvlinea+=ce-a,所以ce-a=1,从而c=ea.于是Pa-1Xa+1=a-1a+1f(x)dx=a-1a0dx+aa+1eae-xdx=-

32、eae-xvlineaa+1=-ea(e-(a+1)-e-a)=1-e-.注意，a-1a,而当xa时，f(x)=0.习题12已知Xf(x)=12x2-12x+3,0 x10,其他,计算PX0.20.1X0.5.解答：依据条件概率;有PX0.20.1X0.5=PX0.2,0.1X0.5P0.1X0.5=P0.1X0.2P0.10,分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a);(2)PXa=21-F(a).解答：(1)F(-a)=-a?(x)dx=a+?(-t)dt=1-a?(x)dx=1-F(a).a+?(x)dx(2)PXa=PXa=F(-a)+PXaF(-a)+1-F(a)=21-F(a).习题15设K在(0,5)上遵从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为KU(0,5),