电磁场与电磁波第三章恒定电场

1、电磁场与电磁波课件第三章恒定电场2022/9/24第三章1第1页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章2电荷（载流子）在电场的作用下发生宏观运动，形成真实电流这样形成的电流有传导电流和运流电流之分传导电流：在导电媒质（导体、半导体、漏电介质）中，电荷（载流子）的流动形成的。运流电流：真空中或气体中电荷（载流子）流动所形成。可见，传导电流和运流电流都是由真实存在的电荷（正电荷或负电荷，统称为载流子）运动产生。除了这两种电流外还有一种电流称为位移电流。它是变化的电场产生的，它不表示任何带电质点的运动，它遵从麦克斯韦方程组。第2页，共61页，2022年，5月2

2、0日，6点36分，星期五2022/9/24第三章33.1 电流密度电流： 单位时间内通过某一横截面的电量。（3-1） 电流是标量（正、负）。反映的是某一横截面电荷的流动情况。若要研究横截面内某一点的电荷的流动情况，则必须引入以下几个矢量：第3页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章41、体电流密度矢量 ： 定义：（3-2）其中：为正电荷运动（电流）的方向。包围被研究的点，垂直于 的面元。面元上通过的电流。单位：A/与时间无关，但 一般与空间坐标有关，即恒定电场中：第4页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章5 电流

3、线：在静电场中，用电力线描述电场分布，在恒定电场中，一般采用则电流线来描述电流密度分布 通过任意面积S的总电流为：（3-3）电流可以表示成电流密度的通量的形式。 第5页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章6 在电荷流动区域某点，取一垂直于电流流动方向的面元 ，则 时间内，穿过 的电荷量为：（3-4）故 与运动电荷的体密度 及运动速度 的关系：第6页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章72、面电流密度矢量 ： 当电流在厚度可以忽略的薄层中流动时，则可以近似认为电流 是在一厚度为零的曲面上流动，从而引入面电流及面电

4、流密度矢量。 定义：的大小为垂直于电流方向的单位长度上流过的电流，方向为电流流动方向即（3-6）第7页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章8 流过任意线段 的电流I：（3-1-6） 与运动电荷的面密度 及速度 的关系： 在电荷流动区域某点，取一垂直于电流流动方向的线元 ，则 时间内，穿过 的电荷量为：（3-8）第8页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章9时间内，流过细导线的电荷量为：若运动电荷的线密度为 ，其运动速度为 。则3、线电流I： 若电荷沿细导线或空间一线形区域流动，则可将此电流视为沿截面为零的几何线流

5、动的线电流。第9页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章103.2 欧姆定律3.2.1欧姆定律：静电场中：导体内部电场处处为零。恒定电场中：导体内有恒定的电流，因而，导体内的电场为恒定电场。源外第10页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章111、微分形式：实验证明：（3-10）其中 ：电导率：西（门子）每米S/m在均匀、线性、各向同性媒质中， 为一常数。源外反映的是导体中某点的导电情况，：第11页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章12其中 欧姆定律的积分形式反映的是：一

6、段有限长度为 ，且横截面 也有限的导体的导电规律。源外12R2、积分形式：（3-11）第12页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章133、含源欧姆定律的微分形式： 若导体内要维持一恒定的电场（产生一定的电流），则必须有电源存在，在电源内部，正电荷是由负极向正极流动的，即逆静电场方向运动，那么，电源内部必存在另一种力非静电力（非电场力）。第13页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章14 仿静电场的定义：将非静电力与电荷的比值定义为非库仑场，以 表示。 只存在于电源内部。但电源内部同时也存在库仑场（恒定电场）。电源

7、外部则只有库仑场 。 与 方向相反。则 含源欧姆定律的微分形式为：（3-12) 源内： 为电源内部导电物质的电导率第14页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章154、含源欧姆定律的积分形式：即 是由分布恒定的电荷产生的，与静电场一样。21第15页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章16电源电动势物理意义：非静电力将单位正电荷从负极经源内移至正极时所做的功。而（3-14）有源欧姆定律的积分形式令第16页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章173.2.2 焦耳定律： 导体在

8、电场作用下， 导电粒子产生定向漂移运动。在微观上，则表现为导电粒子在做定向运动时，还会不断地与原子发生碰撞，结果，导体温度升高。电场能 热能1、微分形式： 设电流是由体密度为 的运动电荷以速度 定向运动形成，则 时间内，电场力对体积元 中的电荷 所做的功为宏观上导电粒子损失动能第17页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章18即则电场在导电媒质单位体积中消耗的功率为：（3-15)焦耳定律的微分形式2、积分形式： 导电媒质整个体积 V中消耗的功率为：（3-17）第18页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章19 一段

9、长为 ，横截面为S 的导线消耗的功率为：（3-18）此即为我们熟知的焦耳定律。第19页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章20例 3-1 p96第20页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章213.3 恒定电场的基本方程3.3.1、电流连续性方程： 据电荷守恒原理：从任一闭合曲面S流出的电流应等于从S所包围的体积中单位时间内电荷减少的数量。即（3-19）1. 积分形式：第21页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章222. 微分形式：应用散度定理：则电流连续性方程的积分形式

10、可写成：（3-21）第22页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章23电流为无散源3.3.2 恒定电场的基本方程：1、恒定电流是连续的： 对恒定电场而言，电荷的空间分布与时间无关。（3-22）（3-23）电流线总是闭合曲线第23页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章242、恒定电场是无旋场： 维持恒定电流的电场为恒定电场。即维持恒定电流的电荷分布是与时间无关的。因而，恒定电场同静电场一样，均是由不随时间变化的电荷产生的。 但恒定电场存在电源外与电源内，我们所说的恒定电场均视为电源外。故恒定电场无旋：（3-24）（

11、3-25）积分微分即第24页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章253、恒定电场也可用电位梯度表示：（3-26）4、恒定电场满足拉普拉斯方程（均匀线性各向同性）即（3-27）第25页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章263.3.3 导电媒质内的体电荷：1、恒定电场中不均匀的导电媒质内有体电荷 ：据高斯通量定理：即若媒质不均匀，则 均与坐标位置有关。恒定电场：（3-29）是在媒质中的电流进入恒定状态之前堆积的。第26页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章272、均匀媒质

12、进入恒定状态之前也有体电荷分布 ：据电流连续性方程：若媒质均匀：则即第27页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章28积分得：（3-30）其中 驰豫时间。它说明经过 秒后， 将减至初始值的对大多数l导体， 很短例如：铜 它说明：对均匀导体而言，接入电源后，瞬间就能使导体进入恒定状态，最终第28页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章29例：在无界非均匀媒质中（电导率和介电常数均是坐标的函数），若有恒定电流存在，证明:媒质中的自由电荷密度为：证明：对恒定电流有即第29页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，

13、星期五2022/9/24第三章30而即证毕第30页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章313.4分界面上的边界条件一、电流密度 的边界条件：1、恒定电流是连续的：即2、如图所示，作一闭合曲面S，其侧高即上式说明电流密度的法向分量是连续的。第31页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章323、当用电位表示时：二、恒定电场 的边界条件：1 、恒定电场是无旋的：第32页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章332 、如图：作一闭合曲线C， 。则电场切向分量是连续的。3、用电位描述

14、时：电位是连续的。第33页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章34三、分界面上电流线的关系：即则（3-33）第34页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章35四、讨论：1 ：0说明：一般情况下， 很小。（ 除外）。12即电流由良导体进入不良导体时，在不良导体中的电流线近似地与良导体表面垂直。 良导体表面为等位面。对比静电场： 导体外表面的电场强度方向与导体表面垂直 导体表面为等位面。即媒质“2”为良导体，媒质“1”为不良导体。第35页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章3

15、62、恒定电场中，两种不同导电媒质的分界面上一般有自由电荷：又 只有当 时，实际上，对两金属导体而言：故第36页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章37例：横截面积为S的平行板电容器上的两块极板之间的空间填充两种有损电介质，它们的厚度介电常数、电导率分别为 ，将电压U加入两极板之间。求：（1）极板间的电流密度 ；（2）在两种电介质中的电场强度 和 ；（3）极板上和介质分界面的 。平行板电极为良导体，在良导体与电介质的分界面上，电介质的电流线近似地与良导体表面垂直。又因电流密度的法向分量连续，则：解：（1）sr第37页，共61页，2022年，5月20日，

16、6点36分，星期五2022/9/24第三章38又故（2）两种电介质中的电场强度 和且J与E的方向均为垂直极板由上而下。第38页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章39（3）极板上和介质分界面的 上极板下极板介质分界面第39页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章40例：有两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴圆柱面，内导体半径为a,分界面半径为b,外导体内半径为c。两层介质的电容率为 和 ，电导率为 和 ，当外加电压为 时，求介质中的电场及分界面上的自由电荷密度 。解：电流密度的法向分量连续。第40页，共61页，2

17、022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章413.5 恒定电场与静电场的比拟一、对应关系：电源外的导电媒质中的恒定电场无电荷分布的电介质中的静电场相似下面先来看看其相应公式的对应关系：第41页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章42恒定电场（源外）：静电场：第42页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章43故可看出其对应关系：恒定电场静电场第43页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章44二 、静电比拟法：AB 把一种场的计算和实验所得的结果，推广应用

18、于另一种场的方法称为静电比拟法。 如图：A、B为导体，接于电压为U的直流电源上，其周围为不良导体，属恒定电场问题。但可用静电比拟法来解决此问题。静电场： 导体表面是等位面， 处处垂直其表面。恒定电场：A、B电极表面可视为等位面， 线处处垂直其表面。第44页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章45三 、应用： 计算一球形电容器的电容与电导。设球的内、外半径分别为a、b。 电容：由定义则设球形电容器带电量为q而a r b第45页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章46 电导： 采用静电比拟法：则第46页，共61页，

19、2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章47例3-3：第47页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章48例：一个球形电容器的内导体的半径为 a ,外导体的内半径为 c ,其间填充两种漏电介质，电导率分别为 和 ，分界面半径为 b ,如图，求两个极板间的漏电电阻。解：设由内导体至外导体的漏电流为 I ,则在半径为 r 的球面上，漏电电流均匀分布，其漏电流密度为：第48页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章49其电场强度为： 而内、外导体之间的电压为：第49页，共61页，2022年，5月20

20、日，6点36分，星期五2022/9/24第三章50即第50页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章51例：有两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴圆柱面，内导体半径为a,分界面半径为b,外导体内半径为c。两层介质的电容率为 和 ，电导率为 和 ，当外加电压为 时，求介质中的电场及分界面上的自由电荷密度 。解：电流密度的法向分量连续。第51页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章52用静电比拟法求解。利用高斯通量定理：设 a r b,同理： b r c,设内导体带电量为qS为半径为r，长为l 的圆柱面。第52页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章53则第53页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章54故第54页，共61页，2022年，5月20日，6点36分，星期五2022/9/24第三章55介质边界 r=b，第55页，共61页，2022年，5月