2023届重庆中考复习：二次函数相关的最值问题练习(含答案)

1、二次函数相关的最值问题例1. 如图，抛物线yx24x5与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标；(2)假设Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA、QC，求|QAQC|的最大值及此时点Q的坐标；(3)连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PEx轴交直线AC于点E，作PFCD交直线AC于点F，当线段PEPF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；(4)在(3)问的条件下，将P向下平移eq f(3,4)个单位得到点H，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，KH，求线段OLLKKH的最小值，并求出此时

2、点L的坐标；(5)在(3)问的条件下，将线段PE沿着直线AC的方向平移得到线段PE，连接DP，BE，求DPPEEB取最小值时点E的坐标针对训练 1如图，直线ykxb(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(4，0)、B(0，3)，抛物线yx22x1与y轴交于点C.(1)求直线ykxb的解析式；(2)假设点P(x，y)是抛物线yx22x1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)假设点E在抛物线yx22x1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CEEF的最小值2如图，抛物线yeq f(r(3),3)x2eq f(2 r(3),3)xeq

3、 r(3)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DHx轴于点H，过点A作AEAC交DH的延长线于点E.(1)求线段DE的长度；(2)如图，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当CPF的周长最小时，MPF面积的最大值是多少3如图，对称轴为直线x2的抛物线经过A(1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.M(0，1)，E(a，0)，F(a1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点(1)求此抛物线的解析式；(2)假设PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PM

4、EF周长最小？说明理由4，如图，二次函数yax22ax3a(a0)图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H，B关于直线l：yeq f(r(3),3)xeq r(3)对称(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点B作直线BKAH交直线l于点K，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HNNMMK和的最小值5如图，在平面直角坐标系中，抛物线yeq f(1,2)x2eq r(2)x3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，过点A作ADBC交y轴于点D.(1)求平行线AD、BC之间的距离；(

5、2)点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止当点Q的运动路径最短时，求点Q经过的最短路径的长6如图，抛物线yeq f(r(3),4)x2eq f(9,4)x3 eq r(3)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点(1)求点D的坐标和tanABC的值；(2)假设点P是抛物线上位于点B、D之间的一个动点(不与B、D重合)，在直线BC上有一动点E，在x轴上有一动点F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发

6、以每秒1个单位的速度沿PEF的路径运动到点F，再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到A点后停止，当点F的坐标是多少时，动点G在运动过程中所用时间最少？二次函数相关的最值问题答案例1. 解：(1)yx24x5(x24x)5(x2)29，D(2，9)当x0时，y5，C(0，5)当y0时，x11，x25，A(5，0)，B(1，0)，yACx5；(2)因为点Q在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知QAQB，由C(0，5)和B(1，0)可求得yBC5x5，根据三角形三边关系可知，当点Q，C，B三点共线时，|QBQC|最大，即|QAQC|最大，可求直线yBC5x5与抛物线对称轴交点Q为(2，15)，此时|QA

7、QC|最大值BCeq r(26).解：(3)过P作PQy轴，交AC于Q，再作FMPQ于M，如图，直线AC：yx5，设P(t，t24t5)，Q(t，t5)，PQ(t24t5)(t5)t25t.PEFCAO45，PEPQt25t，PFCD，kCD2kPF，tanMPFeq f(1,2)，设FMnMQ，那么PM2n，PQ3n，PFeq r(5)n，即PFeq f(r(5),3)PQ，PEPF(3eq r(5)n(1eq f(r(5),3)PQ，当PQ最大时，PEPF取最大值，而PQt25tPEeq blc(rc)(avs4alco1(tf(5,2)eq sup12(2)eq f(25,4)，当teq

8、 f(5,2)时，PEPF取最大值，此时Peq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，f(35,4)，EFeq r(2)PMeq f(25 r(2),6).(4)如图：在(3)问的条件下，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，f(35,4)，Heq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，8)，作H关于y轴的对称点H1，作O关于抛物线对称轴对称点O1，所以O1(4，0)，H1eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，8)，连接O1H1，那么O1H1长即为OLLKKH的最小值，直线O1H1：yeq f(16,13)xeq f(64,13)，

9、直线O1H1与抛物线对称轴交点即为L点的位置，此时Leq blc(rc)(avs4alco1(2，f(32,13)，OLLKKH的最小值O1H1eq f(5,2)eq r(17)；(5)在(3)问的条件下，PEPEeq f(25,4)，在线段PE平移过程中，PE即PE长度不变，将DP沿PE向右平移PE的长即eq f(25,4)个单位，得到DE，如图，那么四边形DDPE为平行四边形，故DPDE，要使得DPPEEB最小，即DPEB最小，即要使DEEB最小，当D，E，B三点共线时，DEEB最小，设DB与直线AC交于点E.由题意知Deq blc(rc)(avs4alco1(f(17,4)，9)，直线B

10、D：yeq f(36,13)xeq f(36,13)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(101,23)，f(216,23)，即点E的坐标为(eq f(101,23)，eq f(216,23)针对训练：1. 解：(1)直线ykxb经过A(4，0)、B(0，3)，eq blc(avs4alco1(4kb0，,b3，)解得eq blc(avs4alco1(kf(3,4)，,b3.)yeq f(3,4)x3.(2)过点P作PHAB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN的垂线段，垂足分别为M、N.设H(m，eq f(3,4)m3)，那么M(4，eq f(3,4)m3)，N(

11、x，eq f(3,4)m3)，P(x，x22x1)PHAB，PHNAHM90，AMMN，MAHAHM90.MAHPHN，AMHPNH90，AMHHNP.MAy轴，MAHOBA.OBANHP.eq f(NH,3)eq f(PN,4)eq f(PH,5).eq f(xm,3)eq f(f(3,4)m3x22x1,4)eq f(d,5).整理得：deq f(4,5)x2xeq f(8,5)，所以当xeq f(5,8)时，d取最小值，此时P(eq f(5,8)，eq f(119,64)(3)抛物线的对称轴为直线x1，作点C关于直线x1的对称点C，过点C作CFAB于F.过点F作JKx轴，分别过点A、C作

12、AJJK于点J，CKJK于点K，那么C(2，1)设F(m，eq f(3,4)m3)，CFAB，AFJCFK90，CKJK，CCFK90，CAFJ，JK90，AFJFCK.eq f(AJ,FK)eq f(JF,CK)，eq f(f(3,4)m3,2m)eq f(m4,f(3,4)m2)，解得meq f(8,25)或m4(不符合题意，舍去)F(eq f(8,25)，eq f(81,25)，C(2，1)，FCeq f(14,5).CEEF的最小值CFeq f(14,5).2. 解：(1)对于抛物线yeq f(r(3),3)x2eq f(2 r(3),3)xeq r(3)，令x0，得yeq r(3)，

13、即C(0，eq r(3)，D(2，eq r(3)，DHeq r(3)，令y0，即eq f(r(3),3)x2eq f(2 r(3),3)xeq r(3)0，得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，AEAC，EHAH，ACOEAH，eq f(OC,AH)eq f(OA,EH)，即eq f(r(3),3)eq f(1,EH)，解得：EHeq r(3)，那么DE2 eq r(3)；(2)如图，找点C关于DE的对称点N(4，eq r(3)，找点C关于AE的对称点G(2，eq r(3)，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，CPF的周长CFPFCPGFPFPN最小，直线

14、GN的解析式：yeq f(r(3),3)xeq f(r(3),3)；直线AE的解析式：yeq f(r(3),3)xeq f(r(3),3)；直线DE的解析式：x2.联立得：F(0，eq f(r(3),3)，P(2，eq f(r(3),3)，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M(m，eq f(r(3),3)m2eq f(2 r(3),3)meq r(3)，那么Q(m，eq f(r(3),3)meq f(r(3),3)(0m2)；SMFPSMQFSMQPeq f(1,2)MQ2MQeq f(r(3),3)m2eq f(r(3),3)meq f(4 r(3),3)，对称轴为直线meq f(1,2

15、)，而0eq f(1,2)2，抛物线开口向下，meq f(1,2)时，MPF的面积有最大值，为eq f(17 r(3),12).3. 解：(1)对称轴为直线x2，设抛物线解析式为ym(x2)2k.将A(1，0)，C(0，5)代入得：eq blc(avs4alco1(9mk0，,4mk5，)解得eq blc(avs4alco1(m1，,k9，)y(x2)29x24x5.(2)M(0，1)，C(0，5)，PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为3.令yx24x53，解得x2eq r(6).点P在第一象限，P(2eq r(6)，3)四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要MEP

16、F最小，那么四边形PMEF的周长最小如图，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)；作点M1关于x轴的对称点M2，那么M2(1，1)；连接PM2，与x轴交于F点，此时MEPFPM2最小设直线PM2的解析式为ymxn，将P(2eq r(6)，3)，M2(1，1)代入得：eq blc(avs4alco1(2r(6)mn3，,mn1，)解得：meq f(4 r(6)4,5)，neq f(4 r(6)1,5)，yeq f(4 r(6)4,5)xeq f(4 r(6)1,5).当y0时，解得xeq f(r(6)5,4).F(eq f(r(6)5,4)，0)a1eq f(r(6)5,4)

17、，aeq f(r(6)1,4).aeq f(r(6)1,4)时，四边形PMEF周长最小4. 解：(1)依题意，得ax22ax3a0(a0)，解得x13，x21B点在A点右侧，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(1，0)，证明：直线l：yeq f(r(3),3)xeq r(3)，当x3时，yeq f(r(3),3)(3)eq r(3)0，点A在直线l上(2)过顶点H作HCAB交AB于C点，点H、B关于过A点的直线l：yeq f(r(3),3)xeq r(3)对称，AHAB4，又点H为抛物线顶点，那么点H在抛物线对称轴上，AHBHAB4.在RtACH中，由勾股定理得CHeq r(AH2AC2)2 e

18、q r(3)，顶点H(1，2 eq r(3)，代入二次函数解析式，解得aeq f(r(3),2)，二次函数解析式为yeq f(r(3),2)x2eq r(3)xeq f(3 r(3),2).(3)直线AH的解析式为yeq r(3)x3 eq r(3)，直线BK的解析式为yeq r(3)xeq r(3)，由eq blc(avs4alco1(yf(r(3),3)xr(3)，,yr(3)xr(3)，)解得eq blc(avs4alco1(x3，,y2 r(3)，)即K(3，2 eq r(3)，那么BK4，点H、B关于直线AK对称，HNMN的最小值是MB，过点K作KDx轴于D，作点K关于直线AH的对称

19、点Q，连接QK，交直线AH于E，那么KEKD2 eq r(3)，QMMK，QEEK2 eq r(3)，AEQK，BMMK的最小值是BQ，即BQ的长是HNNMMK的最小值，BKAH，BKQHEQ90，由勾股定理得QB8，HNNMMK的最小值为8.5. 解：(1)令y0，即eq f(1,2)x2eq r(2)x30，解得：x1eq r(2)，x23 eq r(2)，A(eq r(2)，0)，B(3 eq r(2)，0)，当x0时，y3，C(0，3)，在RtBOC中，BO3 eq r(2)，CO3，BC3 eq r(3)，sinCBOeq f(CO,BC)eq f(r(3),3).因为ADBC，si

20、nBADsinCBOeq f(r(3),3).过B作BHAD于点H，sinBADeq f(BH,AB)eq f(r(3),3)，BHeq f(4 r(6),3)；平行线AD、BC间的距离为eq f(4,3)eq r(6).(2)过P作PQy轴，交BC于点Q，设P(m，eq f(1,2)m2eq r(2)m3)，直线BC：yeq f(r(2),2)x3，Q(m，eq f(r(2),2)m3)，SPCBeq f(1,2)PQ(xBxC)eq f(3 r(2),2)(eq f(1,2)m2eq f(3 r(2),2)m)，当meq f(3 r(2),2)时，SCPB最大，此时，P(eq f(3 r(2),2)，eq f(15,4)取点B关于AD的对称点B，将B沿BB方向平移eq f(4 r(6),3)个单位长度得B，此时B与点H(eq f(5 r(2),3)，eq f(8,3)重合连接HP，交BC于点M，点M即为所求(PMNMBN)最小PHMNeq f(r(5937),12)eq f(4 r(6),3).6. 解：(1)令eq f(r(3),4)x2eq f(9,4)x3 eq r(3)0，解得x14 eq r(3)，x2eq r(3)，A(4 eq r(3)