课时跟踪检测（五十一） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

1、课时跟踪检测（五十一） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1. （2021 河北“毛1-一”名校二诊）椭圆E： +*=13历0）的离心率为半，一顶 点A坐标为（0, 272）.（1）求椭圆E的标准方程；（2）M, N为椭圆上异于A的两点，且屈?JL京，直线MN是否过定点？假设过定点, 求出此点坐标.解：（1）:椭圆E的离心率为孚，、一=半,又40, 2啦），加=8, a2=16,X2 V2椭圆E的标准方程为77+=1. io 8（2）当直线MN的斜率不存在时，不合题意，故直线MN的斜率存在.设直线MN的方y=kx-mt程为 y=Ax+机，M(, yD, N(x?, j2).联立，,.,得(1+

2、2炉)炉+必利x+2那一16X+2yz=16,44/=0, A = (4km)2 4(1 + 2k2)(2m2 16) = 128A:2 + 64 - 8m20, Xi + xz = , -,2, xXi =1 I 41 + 2&21 + 2&21 + 2&2.AM = (xi, ji+ 22), AN =(xit jz+2a/2), AMAN =xiX2+(Xi+/n4-2/2)(Arx2 + m+2yf2) = (1 + 2)XX2+ 2g)(为 + 必)+(i+2a/2)2=0.解得 in = 一1 I乙K1 + 2&2或2=U-.假设直线MN的方程为y=Ax2陋，那么直线过定点（0,

3、2/2）,与A重合，不 合题意；假设直线MN的方程为，=攵工+芈，那么直线过定点（0, 噌,综上所述，直线MN过 定点（o,阴.如图，椭圆，+1=15胡0）的长轴长为4,点A, 3,。为椭圆上的三个点，4为椭圆的右顶点，过中心O,且|=2|4a，SdBc=3. （1）求椭圆的标准方程；设P,。是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于4, C）,且满足NPKC=N2BA, 试讨论直线BP与直线3。斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值.解：（1）彦。|=2|4引，Sa（M8=；Szu*=T，又AO3是等腰三角形，1）,把 3点代入椭圆方程务*=1,求得小=3,椭圆方程为?+=1.由题易得直线

4、P,。的斜率均存在，又NP5C=NQ84, 切=一履。.证明：设直线BP: j=Ar(x1),代入椭圆方程?+=1,化简得(3+442)128左(%0%+4公一1243=0,3=0,其一解为1,另一解为xp=3=0,其一解为1,另一解为3=0,其一解为1,另一解为xp=4k2-12k-33+4公 I2k26k那么=3+，.将一A代入得xq4A2+12 k一3-12&?+6A 3 . 一Jq 也3+4R，)。= 3+4公+5, /尸。=0血=5为定值. (2022湖北1 一校联考)直线)，=%-2与抛物线)，2=2px相交于A, 8两点，满足 OAOBf定点C(4,2),。(一4,0), M是抛

5、物线上一动点，设直线CM,与抛物线的另一个交点分别是E,尸.(1)求抛物线的方程；(2)求证：当点M在抛物线上运动时(点E,户总存在且不重合)，直线E广恒过定点，并 求出这个定点的坐标.解：(1)设 A(r, ji), 5(X2, J2),将 y=x-2 代入 V=2px,得(x-2)2=2px,化简得 F 一(4+2p)x+4=0, J=4(p2+4p)0,所以工14=4, xi+%2=4+2p,因此71以=(工12)(2 2)=xim2(xi+x2)+4=4p.因为 OA_LOb,所以 xiX2+yiJ，2=0,解得p=l,所以抛物线的 方程为y2=2x.(2)证明：设点M, Ef尸的坐标

6、分别是, jo), )3), ,也).由C, M, E三点共芸尸扁芸尸扁(T芸尸扁(T线，得kEM=kcM,那么W-，整理可得，)敏3 = 2。()+山)-8,所以”=同理， 22 24芸尸扁(T由Dt M, F三点共线，得j4=-,所以直线EF的方程为j-j3= 整理可得)”=附3+必)-2x.将yi=y2 34=2代入直线防的方程中，得(2x2yM+4(4x-y=0, -x)jo+8(2j-8)=O,所以，4-x=0, 解得x=j，=% 所以直线E尸恒过定点(4,4).2j-8=0,.椭圆C：1+=1(。力0)的左顶点为上顶点为N,直线2x+y-6小=0 与直线MN垂直，垂足为8点，且点N

7、是线段M的中点.(1)求椭圆。的方程；(2)假设直线/： y=Ax+/与椭圆C交于,尸两点，点G在椭圆C上，且四边形OEG产 为平行四边形，求证：四边形OBG尸的面积5为定值.解：由题意知，欣一a,0), MO, b)f直线MN的斜率得。=2瓦点N是线段MB的中点，.点B的坐标为(4,2加，点3在直线2x+y-H5 = 0上，.2a+2方=65，a=2b, ；b=木,。=2小，.，椭圆。的方程为言+王=1.1 / J(2)证明：设E(X1, J1),尸(工2, J2), G(xo, jo),将=履+小代入五+丁=1,整理得(1 +4A2)/+8Azx+4 加- 12=0,那么4A2)/+8Az

8、x+4 加- 12=0,那么 yi+y2=A(xi+x2)+XI +”2= 一百而X1X2= 1+4A，2 , 2旭=+4内四边形 OEGF 为平行四边形，：.OG-= OE + OF =(xix2f ji+j2),得一署也，常A),将G点坐标代入椭圆C的方程得加=*1+42),又易得点。到直线E尸的距离d=|EF|=VH-P|xi-x2|,平行四边形OEG尸的面积5=d|EF|=M|xiI 一12公|mh/W 4 5而 柒E尸的距离d=-x2|=|m|(xi4-x2)2-4xIX2=4-5不而=4- 4/(2 =在而=343.故平行四边形OEGF的面积S为定值33.5. (2022岳阳一楼)

9、双曲线C：|一=1的离心率为坐，点P(4, #)在C上.(1)求双曲线C的方程；(2)设过点(1,0)的直线/与曲线C交于M, N两点，问在x轴上是否存在定点0,使得 曲旗为常数？假设存在，求出。点坐标及此常数的值；假设不存在，说明理由.a2 b2 b_让解得/ = % b2=lta 2，+ -= c2,双曲线方程为亍一)，2=1.(2)设直线/的方程为x = /町+1,定点。&0),联立直线I与双曲线的方程为(X2,-7V2=l,1 4可得(产-4)y2+2,町-3 = 0, .m2-40,且 4=4小2+12(产-4)0,解得lx=my+l,m23 且 m274. TOC o 1-5 h z 2,h3设 M(X, Jl), N(X2f J2), .*.J14-J2=/ZJ2_4, J1J2=_m2_4+必=由。，1+%) + 22/产83,22，= -4+2=Z4 xxi=(my +1)(？2+1)=m2y iy2+ + ji) +1 = 2_4_/f2_4+4产+420 1 = _ m2_4 = _ 4-w