实对称矩阵特征值和特征向量_第1页
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文档简介

1、一、向量内积4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量二、正交向量组四、正交矩阵三、施密特正交化方法五、实对称矩阵的对角化1. 定义2.性质一 、向量内积内积.(1) 定义(2) 性质3. 长度 的长度(或范数).(3) 单位向量 长度为1的向量. 4 夹角例1解定义1 (1) 零向量与任意向量正交.定义2 两两正交且不含零向量的向量组称为正交向量组.二 、正交向量组证定理1 正交向量组线性无关 .同理可得线性无关,但不是正交向量组.注意：线性无关向量组未必是正交向量组.解例2定义3 2 、标准正交向量组为标准(规范)正交向量组.任一线性无关向量组都可标准正交化 .等价即为可以互相线性表示.-线性无

2、关向量组正交化的方法：三、施密特(Schmidt)正交化方法 解正交化.例3 将标准正交化2. 把线性无关向量组(2) 单位化：(1) 正交化: 用施密特(Schmidt)正交化方法解标准正交化.例4 将解练习 将标准正交化.四、正交矩阵1. 定义2. 性质 Q为正交矩阵 若Q为正交矩阵, 则 (4) 若P, Q是同阶正交矩阵, 则PQ为也是正交矩阵(5) 设Q为n阶实矩阵, 则Q为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是单位正交向量组证Q为正交矩阵 其列向量组是单位正交向量组.即(5) 设Q为n阶实矩阵, 则Q为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是单位正交向量组Q为正交矩阵 其行向量

3、组是单位正交向量组.即解例5 将标准正交化.解例5 定理1 实对称矩阵的特征值为实数.五、实对称矩阵的对角化1、实对称矩阵的特征值与特征向量. 推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量. 定理2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量 正交.证明于是定理2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交.定理3 定理4 具体步骤为：2、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化解例1解例2A 对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是 ：解例3 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3,例4 设解例5 设 A2 = A , 证明：A 的特征值为 0 或 1.证1. 实对称矩阵的性质：六、小结 (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将同一个特征值对应的特征向量正交化；(4)最后将特征

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