第二型线积分和面积分

1、第二型线积分和面积分2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系1第1页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个 数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 等于给定了一个数量函数 在以下讨论中 场的概念第2页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日个向量场都与某个向量函数 相对应. 这里 P, Q

2、, R 为所定义区域上的数量函数, 并假定它们有一阶连续偏导数. 如,设一个质点在处受点 O 的距离成正比,F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 第3页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日磁力线等都是向量场线.注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质. 则称曲线 L 为向量场 的向量场线. 例如电力线、 设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 方向都与向量函数 在该点的方向一致, 即 第4页，共39页，2022年，5月20日，16点3分

3、，星期日梯度场 我们已经介绍了梯度的概念, 它 方向上的方向导数. grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 是由数量函数 所定义的向量函数 grad u 的方向就是使方向导 梯度场. 由前面知道, 数 达到最大值的方向, 就是在这个方 第5页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日因为数量场 的等值面 的法线 方向为 所以 grad u 恒与 u 的等值面 正交. 当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作 引进符号向量 第6页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日解 若以 上的单位向量, 则有 例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1

4、的质点 位于 记 第7页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量 的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. 这说明了引力场是数量场 的梯度场, 因此常称 为引力势(gravitational potential ).第8页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日对坐标的曲线积分1 第二类曲线积分的概念2 两类曲线积分的联系3 第二类曲线积分的计算第9页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日 向量函数其大小和方向都随点M变化 有向曲线指定了方向的曲线.通常指出起点，终点来表明.是向量预备知识第10页，

5、共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日第二型曲线积分的概念1. 问题的提出 变力沿曲线所作的功求变力 对质点所作的功W.设一质点在变力 作用下,从点A点B,常力沿直线所作的功处理办法分割近似代替取极限求和第11页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日（1）分割（2）近似代替( 3 ) 求和（4）取极限第12页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日第13页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日2. 定义 存在称此极限为向量若在有向曲线 上的第二类曲线积分函数(坐标形式)(向量形式),或对坐标的曲线积分(与分法和点的取法无关！)，第14

6、页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日第二类曲线积分（向量形式）第二类曲线积分（坐标形式）积分路径被积函数单独形式称为对坐标 x 的曲线积分;称为对坐标 y的曲线积分.第15页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日由定义，变力沿曲线所作的功第16页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日3. 性质 注第二类曲线积分必须注意积分路径的方向 !第17页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日两类曲线积分的联系第18页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是其中简记为简记为第19

7、页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日定理1 一定存在, 且第20页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日例将积分化为对弧长的积分,解其中C 沿上半圆周第21页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日例将积分化为对弧长的积分,解法2其中C 沿上半圆周第22页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日解化为定积分ab将积分化为定积分第23页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日定理设上连续，则起点终点第二类曲线积分的计算计算定积分转 化求曲线积分当t由ab时，对应的点M(x,y)从起点A运动到终点B 描出曲线为端点的区间

8、上连续，第24页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日注第25页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日A B对应曲线上ab第26页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日例2 计算其中(1)(2)(3)解 (1)(2)(3)被积函数相同，起点和终点相同，但是路径不同，积分结果相同。第27页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日例3 计算曲线积分解第28页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日例4 设曲线G:从 ox 轴正向看去为逆时针方向,求曲线积分解第29页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日例5

9、 设一个质点在处受力 的作用,已知的方向指向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.此质点由点沿直线移动到求 F 所作的功 W.解第30页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日思考题第31页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.第32页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日练 习 题第33页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日第34页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日第35页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日练习题答案第36页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日第37页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日回顾: 常力沿直线所作的功若改变运动方向，即从点B到点A所作的功 有向曲线指定了方向的曲线.通常指出起点，终点来表明.与从点A到点B所作的功大小相等，但符号相反.第38页，共39页，2022年，5月20日，16点3分，星期日 向量函数在平面区域D