第1.2课初等变换与初等矩阵

1、第1.2课初等变换与初等矩阵第1页，共12页，2022年，5月20日，14点11分，星期五线性方程组的同解变换 对于线性方程组，可以做如下的三种变换：（1）互换两个方程的位置；（2）把某一个方程两边同乘以一个非零常数c；（3）将某一个方程加上另一个方程的k倍。 这三种变换都称为初等变换。如上的变换是可逆的。也就是，如果经过一次变换把方程组 (1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)。定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。 此性质在矩阵中如何体现呢？ 第2页，共12页，2022年，5月20日，14

2、点11分，星期五初等行变换 row初等列变换 column交换i, j两行数乘第 i 行数乘第 i行加到第 j 行交换i, j两列数乘第 i 列数乘第 i 列加到第 j 列1.2.1 矩阵的初等变换见书p11例7第3页，共12页，2022年，5月20日，14点11分，星期五1.2.2 初等矩阵定义1.9 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有三种类型:(1)对调E中的第i,j行，得到的矩阵记为Rij； 对调E中的第i,j列，得到的矩阵记为Cij。(2)用不为零的数乘以E中的第i行，得到的矩阵记为Ri()；用不为零的数乘以E中的第i列，得到的矩阵记为Ci()。第4页，共12

3、页，2022年，5月20日，14点11分，星期五 Rij-1=Rij（Ri()）-1=Ri(1/)（Rij()）-1= Rij() (3)以数乘以E中的第i行加到第j行上去，得到的 矩阵记为Rij()；以数乘以E中的第i列加到第j列上去，得到的矩阵记为Cij()。具体情况见书（p11）。 初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵，容易验证：初等矩阵与初等变换有什么关系呢？第5页，共12页，2022年，5月20日，14点11分，星期五 用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。（见书P14） 定理1.5 方

4、阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限 个初等矩阵的乘积。定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆。定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换后的矩阵仍然是可逆阵。定理1.4 可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。第6页，共12页，2022年，5月20日，14点11分，星期五1.2.3 用初等行变换求逆矩阵 由定理1.5可知，可逆矩阵A可以分解成若干初等矩阵的乘积。设A=P1P2Pt则有 Pt-1P2-1P1-1A=E 且 Pt-1P2-1P1-1 E = A-1 上面两个式子表明，对矩阵A与E施行同样的行变换，在把A化成单位阵时，E同时就化成A-1。 即得 Pt-1P2-1P1-1（AE） （E A-1）第7页，共12页，2022年，5月20日，14点11分，星期五用初等变换求逆矩阵：把可逆矩阵A与同阶单位矩阵并行摆放，得到 对这个矩阵实施行的初等变换，最终使左半部分变成E，则右半部分就变成第8页，共12页，2022年，5月20日，14点11分，星期五例1.7 设 A= 解 求A.第9页，共12页，2022年，5月20日，14点11分，星期五所以 A1=注意 在求逆矩阵的过程中，初等行变换与初等列变换不能混用。 第10页，共12页，2022年，5月20日，14点11分，星期五例求矩阵的