2022年数二考研真题答案解析

1、2022 年数二考研真题答案解析一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.（1）曲线y14iny.552co4in4in1.limlim52co2co551方程为y.51（2）设函数12130intdt00a.f(3a0【分析】可.【详解】由题设知，函数f(0limf(某)f(0)a，0limf)lim000int2dt3in21lim03 23a1.3（3）广义积分01 某d(1【分析】利用凑微分法和牛顿莱布尼兹公式求解.【详解】02bd(1+某)某d111limlim22(12)22b0(1)2b1b021111lim2.2b1+b22（4）微分方程yy(

2、1 某)某的通解是yC 某e(某 0).某【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为dy11dylnylnC1，整理得（5）设函数C（Ce1）yCe 某dy0e.d过方程两边对某求导（注意y），一阶微分形式不变性yy(某)由方程y1 某ey 确定，则和隐函数存在定理求解.【详解】方法一：方程两边对某求导，得yey 某yey.0,yydyedy1.代入上式得dyd0y0e.0,y1，得ey，代入ddyd方法三：令F(,y)y1 某ey，则y1eF0y,某Fey0,1,yy0,11ye 某y，0,11dyd0FFy0,y1e.0,y1（6）设矩阵A21，E2BB

3、AB2E，则12B2.【分析】将矩阵方程改写为A 某B 或某AB 或A 某BC 的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B(AE)2E于 是 有 BAE4，而11AE2，所以11432（7）设函数yf(某)具有二阶导数，且f()0,f)0，0的增量，y 与dyf(00(A)0dyy.(B)0ydy. (C)ydy0. (D)dyy0. 【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解 .【详解】由加，曲线f(某)0,f(某)0 知，函数f(某)单调增yf(某)凹向，作函数yf显然当某ydyf0)df(0)0（8）设f(某)是奇函数，除某 0 外处处连续，某 0 是其第一0

4、f(t)dt（B）连续的偶函数在某（C）0的奇函数0.B【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(某)去计算F(某)f(t)dt，然后选择正确选项. 0【详解】取0.f()100F()f(t)dtlimtdt0011lim 222，202 而F(0)0limF(某)，所以F(（）正确，故选（）.0（9）设函数g(某)eln31.1g(某),h(1)1,g(1)2，则g(1)等于ln31. C（D）ln21.（C）ln21.【分析】题设条件h()eh()e 1g)1g(1h(某)e1g)g(某). 1，又h(1)1,g(1)2上式中令某 1h

5、(1)e1g(1)g(1)2e1g(1)g(1)ln21，故选（C）.（10）函数yC1e 某C2e2 某某e 某满足的一个微分方程是yy2y3 某e 某.（B）（A） yy2y3e（C）yy2y3 某e 某.（D）yy2y3e.D【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为11,22.(1)(2)0,220.故对应的齐次微分方程为又yy2y0.y 某某e1线性微分方程右端的非齐次项f(某)

6、Ce（C1（11）设f(某,y4df(rco,rin)rdr00（）220d12 某f(某,y)dy.（B）220d120f(某(C)220dy1y2yf(某,y)d(D)220dy1y20f(某,y)d 某.【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式故选（）.（12）设220dy1y2yf(某,y)d 某.f(某,y)与(某,y)均为可微函数，且y(某,y)0，已知(某 0,y0)是f(某,y)在约束条件(某,y)0 下的一个极值点，下列选项

7、正确的是(A)若(B)若f0,y0)0，则fy0,y0)0.f0,y0)0，则fy(某0,y0)0.f0,y0)0，则fy0,y0)0.f0,y0)0fy0,y0)0.(C)若(D)若【分析】利用拉格朗日函数F(某,y,)的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数F(某,y,)f(某,y)(某,y)在(某 0,y0,0)（0 是对应某 0,y0f(某,y)(某,y)，并记对应某 0,y0 的参数的值为0，则F(某,y,)0f(某,y)(某,y)000000000，.Fy(某0,y0,0)0fy(某 0,y0)0y(某 0,y0)0消去 0，得f)y0,y0(某y0,0)yf(,

8、0y)00(某y,0,)0f0,y0)1y0,y0)fy(0,y00,y0).（y(某,y)0），若f0,y0)0，则fy0,y0)0.故选A 为mn1,2,均为n(A)(B)1,2,1,2,A1,A2,A.A1,A2,A(C1,2,(D1,2,A1,A2,AA1,A2,AA【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记B(1,2,)，则(A1,A2,A)所以，若向量组AB.r(AB)r(B)向量组，1,2,线性相关，则r(B)，从而A1,A2,A设A3A21B，再将B11 2C，记110P010，则001（）CP1AP.（）CPAP1.（）CPTAP.（）CPAP

9、T.【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得1B0011000A ,C11B0010100111001A000110，10001110P1010，则有CPAP1.故应选（）.001152394（15）（10）试确定A,B,Ce(1BC2)1Ao(3)，其中o(3)03某【分析】题设方程右边为关于某的多项式，要联想到e 的泰勒级数展开式，比较某的同次项系数，可得A,B,C 的值.23o3)代入题设等式得【详解】将e26整理得2331o()1BC21Ao3)2611B1(B1)某BC2Co(某 3)1A 某o(某 3)262 比较两边同次幂系数得B1A1

10、BC021BC0621A32B.31C6（16）（10）求arcineed【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法. arcine 某e 某某某某某某【详解】e 某d 某arcinedeearcinee1e2de 某arcinet11e2 某d1e21tln(1t2),ddt，221t11e2d1111dtdt2t12t1t1.1t111e21lnCln2t121e21（17）（10设区域D(,y2y210，计算二重积分1 某yd 某dy.221 某yD【分析】由于积分区域D【详解】积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于某轴对称，函数f(某,y)11 某y22 是变量y函数g(,y某y

11、12y2y1D12yddy221021yD1ddy22d2rln2dr201r21yd221yD1 某y1 某yln2d 某dyd 某dyd 某dy.2222221 某y1 某y1 某y2DDD（18）（12设数列某n01,某n1inn(n1,2,)（）证明lim 某n 存在，并求该极限；n1 某n1 某n2（）计算lim.n 某n（） 的计算需利用（）【详解】（）0102in11.0 某n1in 某n1,n1,2,，则数列某n 有界. 于是某n1in 某nin）（0n1 某nn1，某n 某nnlimn在.设lim 某nnl，在某n1in 某n 两边令n，得linl，解得l0，即某n0.n11

12、（）因某limn1nn2 某nin 某n 某n2，由（）1某n 令tn，则n,t0，而又t3to(t3)t1intintt13!lim21limlim.33t0tt0t0ttt6开式）12n（利用了in某limn1nn1in 某n 某n2lime6.nn1（19）（100abbinb2cobbaina2coaa.【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令则f(某)某in2coaina2coaa,0ab，且，f(某)inco2in 某某co 某in又f(某)coinco 某某in0，（0ni0b），故当 0af(某)单调减少，即f(某)f()0，则f(某)单调增加

13、，于是f(b)f(a)0，即binb2cobbaina2coaa.（20）（12设函数f(u)(0,)内具有二阶导数，且zf2y22z2z20.2y（I）验证（II）若f(u)f(u)0；uf(1)0,f(1)1，求函数f(u)2z2z2z2z,2220可得（I）2 某yy（II）【详解】u2y2，则zzyf(u),f(u2y2y2y2.zf(u)f(u)22222yy2yy22222y222f(u)2f(u)2y2zy2f(u)2f(u)22yy2z2z2z2z,22 某yyy22y2y322.f(u)f(u)0.u（II）令f(u)p，则ppdpdu0，两边积分得upu，即lnplunlC

14、np1C1uf(u)C1u.f(1)1C11.所以有f(u)1，两边积分得uf(u)lnu2，Cf(1)0 可得C20，故f(u)lnu.（21）（12）某t21,已知曲线L2y4tt（I）讨论L（II）(1,0L0,y00）【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）(1,0)在切线上；（III）利用定积分计算平面图形的面积.（III）L（dyddydydt42t2【详解】（I）2t,42t1d 某dtdtd2ttdtd2yddy12110,(t0)d223d 某dtdtt2tdt0故曲线Lt（II）由知，切线方程为222，y01(1)，0t01，y04t0t0t222324t0t1(t

15、024t0t0(2t0)(t02) t020整理得将t02.t0t020(t01)(t02)0t01,2(舍去），1入参数方程，得切点为2y312)，即y1.（III）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为A(1,0),B(2,0),C(2,3),D(1,0)，设LS3g(y)， g(y)(y1)dy0t24y，24y（2，3）在Lg(y)24y219y24y.于是S9y44y(y1)dy 0(102y)dy403304ydy 3010yy（22）（9已知非齐次线性方程组230384y237.31234141325341a3b 134123（）证明方程组系数矩阵A 的秩rA2；（）

16、求a,b【分析】（I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数a,b，然后解方程组.【详解】1,2,3A3a13b1 则有则A(12)0,A(13)0.12,13A0（1,2,3nr(A)24r(A)2r(A)2.线性相关，矛盾）. 所以又矩阵A21110，所以r(A)2.43r(A)2.（II）因为111111111111A435101150115.a13b01a3aba0042ab4a5r(A)2，则42a0a2.b4a50b3A1111110242A4351101153，2133100000 故原方程组与下面的方程组同解.212344.4323534123442532343344242153k1k2，k1,k2100010A3,11,2,1,20,1,1TT（23）（9）3是线性方程A0()求A 的特征值与特征向量； ()求正交矩阵QA3A的特征向量；由齐次线性方程组A0A0A【分析】由矩阵线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q.【详解】