四川省成都市北新中学2023年高一数学理期末试题含解析

1、四川省成都市北新中学2023年高一数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则等于 （A） （B） （C）(0,0),(1,1) （D）参考答案：B2. 若等比数列的各项均为正数，前项的和为，前项的积为，前项倒数的和为，则有（ ）A B C D参考答案：C3. 若，是第三象限的角，则等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】先由同角三角函数的关系求出的正弦值，再利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可.【详解】因为，是第三象限的角，所以，故选A.4. 计算的值（ ）（A）0 （B

2、）1 （C）2 （D）3参考答案：C5. 正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )A.3,+)B. (,3C. (,6D. 6,+)参考答案：D【分析】先用基本不等式求的最小值，再根据配方法求二次函数的最大值.【详解】， 当且仅当，即时，“=”成立，若不等式对任意实数恒成立，则，即对任意实数恒成立， 实数的取值范围是.故选D.【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立.6. 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a0），对于任意的x1，x2（x1x2），则与的大小关系是（）ABC =D无法确定参考答案：A【考点】二次函数的性质【专题】转化思想；数学模型法；函数的性

3、质及应用【分析】分析函数的凸凹性，可得结论【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a0）为凹函数，故任意的x1，x2（x1x2），都有，故选：A【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键7. 正方体内切球和外接球半径的比为（）A1：B1：C：D1：2参考答案：B【考点】LR：球内接多面体【分析】设出正方体的棱长，利用正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，分别求出半径，即可得到结论【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a则a=2r内切球，r内切球=； a=2r外接球，r外接球=，r内切球

4、：r外接球=1：故选B8. 已知，若，则的最小值是（ ）A6 B7 C.8 D9参考答案：C设，则， ，即整理得：当且仅当 当且仅当时取.解得或（舍去）即当时，取得最小值8.故选C.9. 下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射的是( )A. B .C.D.参考答案：D对于A选项，在B中有2个元素与A中x对应，不是映射，对于B选项，在B中没有和A中的元素0对应的象，对于C选项，在B中没有与A的元素0对应的象，对于D选项，符合映射的概念， 故选D.10. 下列说法正确的是()A若ab，cd，则acbdB若，则ac，则|a|b|a|cD若ab，cd，则acbd参考答案：C解析：选C.A项：a，

5、b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|0，所以|a|b|a|c成立；D项：同向不等式不能相减二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知则 .参考答案： 略12. 已知，则的最小值为_参考答案：2【分析】首先分析题目，由已知，求的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用基本不等式代入已知条件，化简为不等式，解不等式即可，【详解】解：由题可得： （当且仅当时取等号），整理得：，即：，又：，所以： （当且仅当时取等号），则：的最小值是2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。1

6、3. 不等式恒成立，则a的取值范围是 参考答案：（2，2）【考点】指数函数单调性的应用【专题】综合题；转化思想；演绎法【分析】本题从形式上看是一个指数复合不等式，外层是指数型的函数，此类不等式的求解一般借助指数的单调性将其转化为其它不等式，再进行探究，本题可借助y=这个函数的单调性转化转化后不等式变成了一个二次不等式，再由二次函数的性质对其进行转化求解即可【解答】解：由题意，考察y=，是一个减函数恒成立x2+ax2x+a2恒成立x2+（a2）xa+20恒成立=（a2）24（a+2）0即（a2）（a2+4）0即（a2）（a+2）0故有2a2，即a的取值范围是（2，2）故答案为（2，2）【点评】本

7、题考点是指数函数单调性的应用，考查利用单调性解不等式，本题是一个恒成立的问题，此类问题求解的方法就是通过相关的知识进行等价、灵活地转化，变成关于参数的不等式求参数的范围，这是此类题求解的固定规律，题后应好好总结本题的解题思路及其中蕴含的知识规律与技巧规律14. 将表示成指数幂形式，其结果为_参考答案：a4 略15. 若对任意的,不等式恒成立，则实数a的取值范围为 参考答案： 或 16. 设为锐角，若cos(+ )= ,则sin(2+)的值为_。参考答案：略17. =_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在等腰直角ABC中， ，M是

8、斜边BC上的点，满足 （1）试用向量 来表示向量；（2）若点P满足 ，求 的取值范围参考答案：【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）由题意画出图形，直接利用向量加法的三角形法则得答案；（2）设 ，由题意求得 ，然后直接展开向量数量积求得 的取值范围【解答】解：（1）如图， ，= = ；（2）设 ， ， ，则 19. （本小题满分16分）如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边BC的三等分处（靠近B点），BC=3百米，BCCD，百米，.（1）求ABE区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH

9、至道路ED上，求当水管CH最短时的长参考答案：由题在中，由即所以百米分所以平方百米分记，在中，,即，所以分当时，水管长最短在中，=百米分20. 已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a?2xa），其中f（x）是偶函数（） 求实数k的值；（） 求函数g（x）的定义域；（） 若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的定义域及其求法【分析】（I）令f（x）=f（x）恒成立，根据对数的运算性质解出k；（II）令a?2xa0，对a进行讨论得出x的范围；（III）令f（x）=g（x），使用对数的运算性质

10、化简，令2x=t，则关于t的方程只有一正数解，对a进行讨论得出a的范围【解答】解：（I）f（x）的定义域为R，f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，f（x）=f（x）恒成立，即log4（4x+1）kx=log4（4x+1）+kx恒成立，log4=2kx，即log4=2kx，42kx=4x，2k=1，即k=（II）由g（x）有意义得a?2x0，即a（2x）0，当a0时，2x0，即2x，xlog2，当a0时，2x0，即2x，xlog2综上，当a0时，g（x）的定义域为（log2，+），当a0时，g（x）的定义域为（，log2）（III）令f（x）=g（x）得log4（4x+1）x=log4

11、（a?2x），log4=log4（a?2x），即2x+=a?2x，令2x=t，则（1a）t2+at+1=0，f（x）与g（x）的图象只有一个交点，f（x）=g（x）只有一解，关于t的方程（1a）t2+at+1=0只有一正数解，（1）若a=1，则+1=0，t=，不符合题意；（2）若a1，且4（1a）=0，即a=或a=3当a=时，方程（1a）t2+at+1=0的解为t=2，不符合题意；当a=3时，方程（1a）t2+at+1=0的解为t=，符合题意；（3）若方程（1a）t2+at+1=0有一正根，一负根，则0，a1，综上，a的取值范围是a|a1或a=321. （14分）已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在上的最值及取最值时x的值参考答案：考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 ，由此求得它的周期（2）根据函数f（x）的解析式为 ，由，求得x的范围，可得函数的增区间（3）根据x的范围，以及正弦函数的定义域和值域求得函数的最值解答：（1）因为=（1分）=，（3分）所以f（x）的最小正周期.（4分）（2）因为，由，（6分）得，.（7分）所以f