茆诗松概率论与数理统计教程第二章 (4)课件

1、 第四节 常用离散分布1. 二项分布2. 泊松分布3. 超几何分布4. 几何分布和负二项分布本章前几节介绍了随机变量及概率分布的基本概念. 随机变量有千千万万个, 相应的概率分布也很多, 但在实际研究中得到广泛应用的并不多.本节和下节, 我们开始介绍一些最常用的概率分布: 常用的离散分布和连续分布. 本节首先介绍常用的离散分布:二项分布, 泊松分布, 超几何分布, 几何分布与负二项分布. 注意: 在讲授每一种分布时, 情大家尤其弄清楚符合该分布的变量的意义, 即该分布或变量的适用情形. 1. 二项分布(Binomial Distribution)二项分布的适用情形.进行n重独立的伯努利试验,

2、统计在这n次试验里总共取得的”成功”的次数, 记为随机变量X, 则X称为二项分布的变量, X的概率分布称为二项分布, 记为 XB(n,p), 或 Xb(n,p). 回忆一下, 每次伯努利试验只有两种结果, 分别称为”成功”和”失败”, 且”成功”的概率是一个固定值pX的可能的取值为0,1,2,n, 所以X是一个离散随机变量.二项分布变量X的概率分布列p(X=k)=?分析: 分两步求以n=4, k=2为例, 欲求p(X=2)=?例一，有一批玉米种子，出苗率为0.67。现任取6粒种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率是多少？例二，设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率

3、都是0.01, 且一台设备的故障只能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由4人维护, 每人负责20台; 其二是3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解: 第一种方法配备工人: 第二种方法配备工人: 所以, 在第二种维护方式中尽管任务重了(每个人平均维护27台), 但工作效率不仅没有降低, 反而提高了. 在n重伯努利试验里,如果记第i次试验的”成功”次数为Xi, 则所以可以看出, 一个二项分布的变量就是n个独立同分布的二点分布变量之和.二项分布变量的数学期望和方差证明: (重要技巧: 这时我们想在求和里凑一个某个二项分布的分布列, 从而最

4、终消去求和号; 从求和号分析, 可以凑B(n-1,p).)实际应用中泊松分布的一些例子:在单位时间里星空出现的流星数;某一地区一个时间间隔内发生的交通事故的次数;某地区在一天内邮递遗失的信件数;每升饮用水中的大肠杆菌数;一平方米内玻璃上的气泡数.例三，显微镜下观察一种悬浮液中的某种颗粒，据前人报告，平均每张样片可以观察到3个微粒，问在一次观察中看到3个微粒的概率是多大？少于3个微粒的概率是多少？所以, 月初进货12件时, 能以93.6%的把握满足顾客的需求.泊松分布变量的数学期望和方差证明: (重要技巧: 这时我们想以某种方式最终消去求和号; 从求和的式子分析, 可以联想到e的泰勒展开.)二项

5、分布的泊松近似对此, 可以利用下面的泊松定理得到n很大, p很小时的泊松近似公式来帮助我们进行计算. 泊松分布有一个非常实用的特性, 即在某些特殊情况下, 可以作为二项分布的近似. 泊松近似公式:由下表可以看出泊松公式的近似程度.显然, 当n越大, p越小时, 近似程度就越好. 例五，已知某种疾病的发病率为0.001, 某单位共有5000人, 问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率有多大?例六(选讲)，已知某种昆虫的产卵数X服从泊松分布P(), 而每个卵能孵化成幼虫的概率为p, 且各卵的孵化是相互独立的, 试求该昆虫能育成的幼虫数Y所服从的概率分布.超几何分布在产品的抽样检验中起着重要作用

6、. 设有N个产品, 其中M个为次品. 若从中非放回地取n个, 则其中含有的次品数X服从超几何分布, 记为3. 超几何分布(Hypergeometric Distribution)超几何分布的适用情形.超几何分布变量的概率分布列.超几何分布变量的数学期望和方差.目的最终还是凑另一个超几何分布列,以消去求和号一个类似的, 更为繁琐的证明步骤可以得出超几何分布的二项近似首先,我们仔细看一下, 在此抽样问题中, 放回式抽样与非放回式抽样的区别: 例七(选讲)，用某仪器检验电子元件, 若元件是正品, 经检验也是正品的概率为0.99; 若元件是次品, 经检验也是次品的概率为0.95. 当某批元件出厂时,

7、只随机抽检两只, 若两只皆检验为正品, 则可出厂. 现送来50只元件, 其中有4只次品, 求这50只元件能出厂的概率.进行一系列的伯努利试验, 每次试验”成功”的概率为p, 则首次出现”成功”时共进行的试验次数X称为几何分布的变量, 记为4. 几何分布与负二项分布(Geometric Distribution and Negative Binomial Distribution)几何分布的适用情形.容易推出几何分布变量X的概率分布列为实际应用中几何分布的一些例子:要招聘一名o型血的人做科学实验, o型血的比率为0.4, 则首次找到o型血的人时面试的人数XGe(0.4);某产品的不合格率为0.05, 则首次查到不合格品时的检查次数YGe(0.05);某射手的命中率是0.8, 则首次击中目标时的射击次数ZGe(0.8).几何分布的数学期望和方差.在进行一系列的伯努利试验时, 如果记第r次”成功” 出现时共进行的试验次数为X, 则X是服从负二项分布的变量, 记为负二项分布的适用情形.负二项分布是几何分布的延伸, 也称巴斯卡分布.容易推出负二项分布变量X的概率分布列为这是因为在前k-1次伯努利试验里恰好出现r-1次”成功”的概率第k次伯努利试验为”成功”的概率负二项分布的数学期望和方差.例八，一电视台将送出演唱会门票给第8个打