选修2-2第1章第3-4节-导数的应用

1、文档编码 : CC1M3N5B1Z7 HL7F1T7M10A4 ZR4P2K6E3S7选修 22 第 1 章第 34 节导数的应用（理）（学案含答案）年级 高 学科 数学 版本 苏教版 二（理）课程 选修 22 第 1 章第 34 节导数 标题 的应用 一、学习目标：1. 通过数形结合的方法直观明白函数的单调 性与导数的关系, 能娴熟利用导数争辩函数的单 调性；会求某些简洁函数的单调区间；2. 结合函数的图象,明白函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简洁多项 式函数的极大（小）值,以及在指定区间上的最 大（小）值；二、重点、难点 重点：利用导数判定函数的单调性；会求一 些函数的极

2、值与最值； 函数极值与最值的区分与 联系；难点：利用导数解决函数问题时有关字母讨 论的问题；三、考点分析：1. 近几年各地高考题始终保持对导数学问的 考查力度,表达了在学问网络交汇点出题的命题 风格,重点考查导数概念、 单调性、极值等传统、常规问题, 这三大块内容是本专题的主线,在学 习中应以此为基础开放, 利用问题链呈现题目间 的内在联系, 总结解题的通法通解, 如利用导数 处理函数单调性问题时,可设计这样的问题链：已知函数求单调区间知函数在区间上单调求 第 2 页参数 如函数不单调如何求参数；2. 导数内容是新课标新加学问,增加了更多的变量数学, 拓展了学习和争辩的领域, 在学习中要明确导

3、数作为一种工具在争辩函数的单调性、极值等方面的作用, 这种作用不仅表达在导数为解决函数问题供应了有效途径,仍在于它使同学把握了一种科学的语言和工具,能够加深对函数的深刻懂得和直观熟识；3. 要有意识地与解析几何（特殊是切线、最值）、函数的单调性,函数的最值极值,二次函数,方程,不等式,代数不等式的证明等进行交汇,综合运用； 特殊是一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、 切线问题的典型问题, 以及一些实际问题中的最大（小）值问题；一、函数的单调性与导数：1. 设函数y f x 在区间 a b 内可导,假如 f x 0,那么函数y f x 在区间 ,a b 上是单调递增函数； 如果 f x 0,

4、那么函数 y f x 在区间 a b 上是单调递减函数；假如 f x 0,那么函数y f x 在这个区间内是常数函数；2. 用导数法确定函数的单调性的步骤是：（1）一般方法：先求出定义域, 再求出函数的导函数 f x ；求解不等式 f x 0,求得其解集,再依据解集写出单调递增区间；求解不等式fx0,求得其解集,再依据解第 3 页集写出单调递减区间；yf x 的单调区间：yfx 的间断点（即fx 在定义域内的无定义点）和各实数根依据从小到大的次序排列起来；在数轴上把yfx 的定义域分成如干个小区间；利用 “ 穿轴法 ” 观看 f x 在各小区间上的符号,从而判定 f x 在各个小区间上的增减性

5、；二、函数的极值1. 函数极值的定义一般地,设函数 f（x）在点 x0邻近有定义,假如对 x0 邻近的全部的点, 都有 f（x）f（x0）,就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极大值,记作y极大值 f（x0）,x 0是极大值点；假如对 x0 邻近的全部的点,都有 f（x）f（x0）.就说 f（x0）是函数 f（x）的一个微小值,记作 y 微小值 f（x0）,x0 是微小值点； 极大值与极小值统称为极值2. 判别 f（x0）是极大、微小值的方法：如 x 中意 f x 0 0,且在 0 x 的两侧 f x 的导数异号,就 x 是 f x 的极值点,f x 0 是极值,并且假如 f x 在 x 两

6、侧中意 “ 左正右负 ” ,就 0 x 是 f x 的极大值第 4 页点,f x 0 是极大值；假如 f x 在右正 ” ,就 x 是 f x 的微小值点,0 x 两侧中意 “ 左负f0 x是微小值 . 3. 求可导函数 f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间,求导数f（x）（2）求方程 f（x） 0 的根（3）用函数的导数为0 的点,顺次将函数的定义域分成如干小开区间, 并列成表格 .检查 f（x）在方程根左右的值的符号, 假如左正右负,那么 f（x）在这个根处取得极大值； 假如左负右 正,那么 f（x）在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号,那么 三、函数的最大值与最小值f（x）

7、在这个根处无极值1. 函数的最大值与最小值：fx在a,b在闭区间a, 上图象连续不断的函数上必有最大值与最小值；2. 利用导数求函数的最值步骤：设函数 f x 在（a,b）内可导,在闭区间 a, 上图象连续不断,求函数 f x 在 a, 上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求 f x 在 , a b 内的极值；（2）将 f x 的各极值与 f a 、f b 比较,得出函数 f x 在 a, 上的最值,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值；学问点一：导数与函数的单调性例 1 设 f x 是函数 f x 的导函数,将 y f x 和y f x 的图象画在同一个直角坐标系中,不行能正确选项（）

8、第 5 页思路分析：由 f x 的图象可观看出 f x 在不同区间的符号,从而判定出 f x 在不同区间的单调性,因此可以依据 f x 的图象大致得到 f x 的图象；解题过程： 如图, A、B、C 三个图中两条曲线可分别作为 y f x 和 y f x 的图象,符合题意；对于 D,如上一条曲线为 y f x 的图象,就 y f x 为增函数,不符合；如下一条曲线为 y f x 的图象,就 y f x 为减函数,也不符合；应选 D；解题后反思：（1）此题从直观的角度考查了可导函数的单调性与其导数的关系,通过对 f x的图象提炼函数 f x 的信息,考查数形结合思想和识图、用图的才能,以及分析问

9、题、解决问题的才能；（2）应用导数信息确定原函数的大致图象,是导数应用性问题的常见题型, 关键是把握原函数图象在 f x 的图象与 x轴交点处的切线的斜率为0,由 f x 在不同区间的符号能判定出原函数的单调区间；f x 例2 已 知 向 量ax2,x1, b1x t 如 函 数a b在区间1,1 上是增函数,求t的取值范畴；就f思路分析： 已知f x 在区间1,1 上单调递增,x 在此区间上确定有fx0恒成立,因此只需要用分别参数法转化为最值问题即可；解题过程： 依定义f x x21x t x13 xx2txt ,就fx3x22xt. 第 6 页如fx 在1,1 上是增函数,就fx0在1,1

10、 上恒成立；即 t 3 x 22 x在区间 1,1 上恒成立；令函数 g x 3 x 22 x,由于g x 的图象的对称轴为 x 13,为开口向上的抛物线,故使 t 3 x 22 x在区间 1,1 上恒成立,只须 t g max x g 1 5；而当 t 5 时, x 在 1,1 上中意 f x 0,即f x 在1,1 上是增函数；故t的取值范畴是t5；解题后反思：（1）此题考查了已知函数的单调区间,求参数的取值范畴,平面对量运算、不等式在区间上恒成立的方法, 考查了对学问的综合运用才能和迁移才能；（2）在已知函数 f x 是增函数（或减函数）,求参数的取值范畴时,应令 f x 0（f x 0

11、）恒成立,应用不等式恒成立的理论学问解决参数的取值范畴；然后检验参数的取值能否使 f x 恒等于0,假如 f x 恒等于 0,就在该点处参数的值必需舍去；学问点二：利用导数求函数的极值与最值例 3 已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为 y13x381 x 234,就使该生产厂家猎取最大年利润的年产量为（）A. 13 万件 B. 11 万件 C. 9 万件 D. 第 7 页7 万件 思路分析： 由题意,先对函数y 进行求导,解出极值点, 然后再依据函数的定义域, 把极值点和区间端点值代入已知函数, 比较函数值的大小,求出的最大值即为最大年利润的年产量；

12、解题过程：y x 281,令 y 0 解得 x 9（9舍去）；当 0 x 9 时,y 0；当 x 9 时,y 0,就当 x 9 时,y 取得最大值,应选 C；解题后反思：此题考查利用导数求最值问题及其在实际问题中的应用, 运算才能是特殊重要的；a例 4 R ；已知函数f x x2fax2 a2x 3 a exR 其中（1）当a0时,求曲线yf x 在点1,f1处的切线的斜率； x 的单调区间与极（2）当a2时,求函数3值；思路分析：（1）把 a 0 代入到 中化简得到的解析式,求出,由于曲线的切点为（ 1,f（1）,所以把 x1 代入 中求出切线的斜率；（2）令0,求出的 x 的值为 x2a和

13、 xa2,分两种情形争辩：当 2 a 2 时和当 2 a 2 时,争辩 f x 的正负得到函数的单第 8 页调区间,依据函数的增减性即可得到函数的最 值；故f解题过程：（1）当a0时,fx x2ex,x x22 x ex, 1 3 e；3 ；所以曲线yfx在点 ,1f 1 处的切线的斜率为2a（2）fx x2a2 x2 a24 aex；令fx0, 解 得x2 或a2； 由a2知 ,3a2；以下分两种情形争辩； 如 3 2 ,就 2 a 2；当x变化时,fx,fx的变化情形如下表：ffx,2 a2 a2a,a2a2a2,f x 0 0 fx 极大值微小值所 以f x 在,2a,a2,内 是 增

14、函 数 , 在2 a,a2 内是减函数；函 数 f x 在 x 2 处 取 得 极 大 值f2a, 且2 a3 ae2a；函 数fx在xa2处 取 得 极 小 值fa2, 且a2 4 3 a e a 2；如 3 2 ,就2 a2,当x变化时,fx,fx的变化情形如下表：fx,a2a2a2,2 a2a2 a,0 0 x fx 极大值微小值第 9 页aa所 以fx在,a2 ,2a,内 是 增 函 数 , 在,22 a内是减函数；f函 数fx在xa2处 取 得 极 大 值fa2, 且2 43 a ea2；函 数fx在x2 处 取 得 极 小 值f2a, 且f2 a3 ae2a；解题后反思： 此题主要

15、考查导数的几何意义、导数的运算、 利用导数争辩函数的单调性与极值等基础学问, 考查运算才能及分类争辩的思想方法；例 5 已知 a 为实数,f x x 2 4 x a （1）如 f 1 0,求 f x 在2,2上的最大值和最小值；（2）如f x在（,2和2,）上都是递增的,求 a 的取值范畴；思路分析：（1）依据利用导数求函数的最值的步骤去求解；（2）当函数 f（x）在给定的区间上递增时,就在该区间上恒有 f 0,从而得到关于 a 的不等式；解题过程：（1）由原式得 f x x 3ax 24 x 4 a ,由 f 1 0 得 a 12,此 时 有f x x 24 x 12 , f x 3 x 2

16、x 4；由 f x 0 得 x 43 或 x1,当 x在 2,2 上变化时,f , f x 的变化如下表x 2, 1 1 1, 43 43 43 ,2第 10 页f x 00极大 微小值f x 递增 值92 递减 5027 递增所以 f（x）在 2,2上的最大值为 9 最小 2值为 50 ；27（2）方法一：f x 3 x 2 2 ax 4 的图象为开口向上 且 过 点 （ 0, 4 ） 的 抛 物 线 , 由 条 件 得f 2 0 , f 2 0 , 即 8 4 a4 a 80 0.2a2.所以 a 的取值范畴为 2,2. 方法二：令 f x 0 即 3 x 22 ax 4 ,02由求根公式

17、得：x 1,2 a a3 12 x 1 x 2 所以 f x 3 x 22 ax 4 在 , x 和 x 2 , 上非负；由题意可知,当 x2 或 x2时,f x 0,从而 x12,x22,即2 a12a6解不等式组得： 2a2；2 a126a .a 的取值范畴是 2,2；解题后反思：（1）极大值,微小值是否就是最大值, 最小值,要与区间两端点的函数值进行比较,才能下结论；（2）在已知函数 f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范畴时,应令f 0 或 f 0 恒成立,解出参数的取值范畴,然后检验参数的取值能否使 f （x）恒等于 0,如能恒等于 0,就参数的这个值应舍去,如 f （x）不恒为

18、 0,就由 f 0 或 f 0,x , a b 恒成立解出的参数的取值范畴确定；第 11 页（北京高考）已知函数f x xk2xf x 1 e,求 ke k（1）求f x 的单调区间；,都有（2）如对于任意的x0,的取值范畴；思路分析：（1）求导,对k 分类争辩,解fx0fx0得出函数的单调区间；（2）不等式f x e恒成立问题转换为最值问题；解答过程：x（1）f 1k x 2k 2 e k,令 f 0, x k ,当 k 0 时,f x 与 f 的情形如下表：所以,f x 的单调递增区间是 , k 和 , ；单调递减区间是 k k ,当 k 0 时,f x 与 f x 的情形如下表：所以,f

19、 x 的单调递减区间是 , k 和 k , ；单调递增区间是 , k ；k 1（2）当 k 0 时,由于 f k 1 e k e,所以不会有 x 0, , f x 1e；当 k 0 时,由（1）知 f x 在 0, 上的最大值是24 kf k e2所以 x 0, , f x 1e等价于 f k 4 ke e,解得12 k 0；故当 x 0, , f x 1 e时, k 的取值范畴是 2,0）；第 12 页解题后反思： 利用求导对含有参数的函数求 最值的时候, 应留意参数对最值的影响, 确定要 分类争辩, 对于不等式恒成立问题, 常转化为最 值问题；已知 f（x）ax3bx2cx（a 0）在 x1 时取得极值,且 f（1） 1；（1）试求常数 a、b、c 的值；（2）试判定 x1 是函数的微小值仍是极 大值,并说明理由；错解分析： 此题难点是在求导之后, 不会应 用 f（1）0 的隐含条件,因而造成明白决问 题的最大思维障碍；思路分析： 考查函数 f（x）是实数域上的可 导函数, 可先求导确定可能的极值, 再通过极值 点与导数的关系, 建立由极值点 x1 所确定的 相等关系式,运用待定系数法求值；解：（1）f（x）3ax22bxcx1 是函数 f（x）的极值点,x1 是方程 f（x） 0,即 3ax22bxc0 的两根；由根与系数的关系,得2