2023届高考数学练习（湖南专版）-考点04 三角函数的图象与性质（解析版）

1、考点04 三角函数的图象与性质 1.已知函数f（x）sin（x+）（0，0）满足f（x+）f（x），f（）1，则f（）等于（）ABCD【解答】解：f（x）sin（x+）+）sin（x+） 解得2k（kZ），当k1时，f（x）sin（2x+），f（）sin（2+）1，解得2k1+（k1Z）（不合题意），当k2时，f（x）sin（4x+），f（）sin（4+）1，解得2k2+（k2Z），当k21时 ，所以f（x）sin（4x+），f（）sin（4（）+）sin（），故选：C【知识点】三角函数的周期性 2.已知函数f（x）sin（x+）（0，）的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A

2、f（1）f（0）f（2）Bf（0）f（2）f（1）Cf（2）f（0）f（1）Df（2）f（1）f（0）【解答】解：函数的最小周期是，得2，则f（x）sin（2x+），f（x）关于中心对称，2（）+k，kZ，即k+，kZ，当k0时，即f（x）sin（2x+），则函数在，上递增，在，上递减，f（0）f（），12，f（）f（1）f（2），即f（2）f（1）f（0），故选：D【知识点】三角函数的周期性 3.设函数在，的图象大致如图所示，则f（x）的最小正周期为（）ABCD【解答】解：由图象知函数的周期T（），即，得，f（x）cos（x+），当0时，函数f（x）的图象是ycosx向左平移得到，由五点对应

3、法得+，即+，即，则f（x）的最小正周期为T，故选：C【知识点】三角函数的周期性 4.已知函数，xR，则（）Af（x）的最大值为1Bf（x）在区间（0，）上只有1个零点Cf（x）的最小正周期为D为f（x）图象的一条对称轴【解答】解：函数sin2xcos2x2（sin2xcos2x）2sin（2x），可得f（x）的最大值为2，最小正周期为T，故A、C错误；由f（x）0，可得2xk，kZ，即为x+，kZ，可得f（x）在（0，）内的零点为，故B错误；由f（）2sin（）2，可得x为f（x）图象的一条对称轴，故D正确故选：D【知识点】三角函数的最值、二倍角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的周

4、期性 5.已知函数，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）ABCD【解答】解：函数sin（+），+，2，f（x）sin（2x+）cos2x，令2xk，求得x，kZ，则函数f（x）的图象的对称轴方程为 x，kZ，故选：C【知识点】正弦函数的奇偶性和对称性 6.已知函数f（x）Asin（2x）（A0），若函数f（xm）（m0）是偶函数、则实数m的最小值是（）ABCD【解答】解：函数f（x）Asin（2x）（A0），若函数f（xm）Asin（2x2m）（m0）是偶函数，则 2m+最小为，则实数m的最小值为，故选：A【知识点】正弦函数的奇偶性和对称性 7.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x

5、R，都有f（x+4）f（x）+f（2）成立，那么函数f（x）可能是（）ABCDf（x）2cos2x【解答】解：f（x+4）f（x）+f（2），f（2+4）f（2）+f（2），f（2）0，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）0f（x+4）f（x）+0f（x），f（x）是以4为周期的函数f（x）2cos2x1+cosx，以4为周期的函数故选：B【知识点】余弦函数的对称性、正弦函数的奇偶性和对称性 8.已知函数f（x）sin（x+）的图象关于y轴对称，则实数的取值可能是（）ABCD【解答】解：ysin（x+）的图象关于y轴对称，则k+，kZ，当k0时，的一个值是故选：C【知识点】正弦函数的奇

6、偶性和对称性 9.函数f（x）2sin2（x）（0）的最小正周期为则f（x）在，上的最小值是（）A1+BC2D1【解答】解：f（x）2sin2（x）1cos（2x），0，函数的最小正周期T，得1，则f（x）1cos（2x），x，2x，1cos（2x），即11cos（2x）2，即函数的最小值为1，故选：D【知识点】正弦函数的图象 10.已知函数，若函数F（x）f（x）3的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn，则x1+2x2+2x3+2xn1+xn（）AB21CD42【解答】解：令2x+k（kz），可得xk+（kz），即函数的对称轴方程为xk+（kz），又f（x）的周期为T，

7、令k+，可得k8，所以函数在x0，上有8条对称轴根据正弦函数的性质可知，x1+x22，x2+x32，xn1+xn2，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，x1+2x2+2x3+2xn1+xn（+）2，故选：C【知识点】正弦函数的图象 11.已知函数f（x）2sin（x+）+h的最小正周期为，若|f（x）|在上的最大值为M，则M的最小值为（）ABC1D【解答】解：引理，若f（x）在其定义域上的最大值、最小值分别为a，b，|f（x）+h|有最大值为M，则M的最小值为证明：|f（x）+h|f（x）（h）|可视为yf（x）与yh的距离，则Mmax|a（h）|，|

8、b（h）|，M的最小值为，此时h，函数f（x）2sin（x+）+h的最小正周期为，2，当x时，2x+，+，则|f（x）|2sin（2x+）（h）|，令g（x）2sin（2x+），则|f（x）|可视为曲线g（x）上一点到直线yh的距离，由g（x）的特征可知，在0，必存在一个极值点，记为x0，根据g（x）曲线的对称性可设g（x0）2，则g（x）在0，x0上单调减，在x0，上单调增，由xx0为g（x）的对称轴，知x0，x离x0越远，g（x）越大，记为0，中距x0较远的一个，则|x0|，g（）maxg（0），g（），g（）g（），由引理知Mmin故选：D【知识点】三角函数的周期性 12.若函数f（x）

9、Asin（x+）的部分图象如图所示，则函数f（x）图象的一条对称轴是（）AxBxCxDx【解答】解：函数f（x）Asin（x+）的部分图象，它的一个对称中心的横坐标为x，故它的一条对称轴为 x，令一条为 x，故选：B【知识点】正弦函数的奇偶性和对称性 13.函数ycos2x的单调减区间是（）ABC2k，+2k，kZD【解答】解：由2x2k，2k+，可得xk，k+，（kZ），函数ycos2x的单调递减区间是k，k+，（kZ）故选：A【知识点】余弦函数的单调性 14.已知函数f（x）asinx+cosx的一条对称轴为x，则函数g（x）sinxacosx的一条对称轴可以为（）AxBxCxDx【解答】

10、解：f（x）（sinx+cosx），令cos，sin，则f（x）（sinxcos+cosxsin）sin（x+），f（x）的一条对称轴为x，+k+，即k+，kZ，g（x）sinxacosx（sinxcosx）（sinxsincosxcos）cos（x+），由x+m，mZ，得xmmk+（mk），m，kZ，当mk1时，对称轴为x，故选：B【知识点】正弦函数的图象 15.已知f（x）2sin（x+）（0，0）的图象关于直线x对称，若存在x1，x2R，使得对于任意x都有f（x1）f（x）f（x2），且|x1x2|的最小值为，则等于（）ABCD【解答】解：对于函数f（x）2sin（x+），对任意xR，都

11、有f（x1）f（x）f（x2），且|x1x2|的最小值为，则T，2，可得f（x）2sin（2x+），又f（x）2sin（x+）的图象关于直线x对称，2+2k+，kZ，可得2k+，kZ，0，故选：B【知识点】正弦函数的奇偶性和对称性、三角函数的最值 16.函数f（x）1+sinxcosx的最小正周期为【解答】解：f（x）1+sinxcosx1+sin2x，可得f（x）的最小正周期为T故答案为：【知识点】三角函数的周期性、二倍角的三角函数 17.函数f（x）sin2xcos2x+1的最小正周期为【解答】解：f（x）sin2xcos2x+11cos2x，T故答案为：【知识点】二倍角的三角函数、三角函

12、数的周期性 18.若函数ycos（x+）为奇函数，则最小的正数【解答】解：函数ycos（x+）为奇函数，因为函数ycos（x+）sinx是奇函数，所以故答案为：【知识点】诱导公式、正弦函数的奇偶性和对称性 19.曲线的一个对称中心的坐标为（3，0），则的最小值为【解答】解：曲线的一个对称中心的坐标为（3，0），则3+k，kZ，令k1，可得的最小值为，故答案为：【知识点】正弦函数的奇偶性和对称性 20.已知函数f（x）cos（2x+）（|）的一个对称中心是（，0），则的值为【解答】解：f（x）的一个对称中心是，2+k+，kZ，得k，kZ，|，当k0时，故答案为：【知识点】余弦函数的对称性 21.

13、函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为【解答】解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x0时，2x+；当xa时，2x+2a+，2a+，0a，故答案为：；【知识点】正弦函数的单调性、三角函数的周期性 22.将函数f（x）2sin（2x）向左平移个单位后得函数g（x），则g（x）在0，上的最大值是【解答】解：将函数f（x）2sin（2x）向左平移个单位后，得函数g（x）2sin（2x+）2sin（2x+）的图象，在0，上，2x+，故当2x+时，函数g（x）取得最小值为1；当2x+时，函数g（x）取得最大值为故答案为：【知识点】函数y

14、=Asin（x+）的图象变换、正弦函数的单调性、三角函数的最值 23.已知函数f（x）2sinxcosx（0）的最小正周期为（）求的值；（）求f（x）的单调递增区间；（）若，（），求sin2的值【解答】解：（）f（x）2sinxcosxsin2x，最小正周期；（）f（x）sin2x，由，解得，kZf（x）sin2x的递增区间为，kZ；（）f（x）sin2x，又，又，sin20，则【知识点】正弦函数的单调性、二倍角的三角函数 24.已知函数f（x）（cosx+sinx）cosx（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）当时，求函数f（x）的值域【解答】解：（1）函数f（x）（cosx+sinx）

15、cosxcos2x+sinxcosx+sin2xsin（2x+）+，故它的最小正周期为（2）当时，2x+，），故当2x+时，f（x）取得最小值为+0；当2x+时，f（x）取得最大值为 +，故函数的值域为0，【知识点】二倍角的三角函数、三角函数的周期性 25.已知函数f（x）2sin（x+）（0，0）为偶函数，且函数yf（x）图象的两相邻对称轴间的距离为（1）求的值；（2）求函数的对称轴方程；（3）当时，求函数yf（x）的值域【解答】解：（1）f（x）2sin（x+）是偶函数，则+k（kZ），解得+k（kZ），又因为0，所以，所以2cosx，由题意得2，所以2，故f（x）2cos 2x，因此2c

16、os；（2）由f（x）2cos2x，得，所以，即，所以函数的对称轴方程为；（3）由f（x）2cos2x，当时，2x0，cos2x1，1，则yf（x）的值域为2，2【知识点】正弦函数的奇偶性和对称性 26.若函数f（x）cos（x+），0，|）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为，且时f（x）有最小值（1）求f（x）的解析式；（2）若，求f（x）的值域【解答】解：（1）函数f（x）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为，f（x）的周期为T，即，2；又x时f（x）有最小值，f（）cos（+）1，+2k+，解得2k，|，f（x）cos（2x）；（2）x，2x，当2x时，f（x）取得最小值1，当2x

17、时，f（x）取得最大值，f（x）的值域是1，【知识点】余弦函数的图象 27.已知函数求函数f（x）在0，上的单调递减区间【解答】解由已知得：，由，kZ，可得kZ，又x0，函数f（x）在0，的单调递减区间为0，和，【知识点】正弦函数的单调性 28.已知函数f（x）a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（）139（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；（3）是否存在正整数n，使得f（x）0在区间0，）内恰有2021-2022个根若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）函数f（x）a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，令x，得 a+4+913

18、9，解得a9；（2）f（x+）9|sin（x+）|+|cos（x+）|+4sin2（x+）+99（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9f（x），所以，f（x）的最小正周期为（3）存在正整数n4039，使得f（x）0在区间0，）内恰有2021-2022个根f（x）的最小正周期为，x0，），由f（x）0，解得x0，令+1，解得：n4042n4042，或4041【知识点】三角函数的周期性、两角和与差的三角函数 29.已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x（）求函数f（x）的最小正周期；（）当x时，求f（x）的值域【解答】解：（）f（x）2sinxcosx+2cos2xsin2x+cos2x2sin（2x+），函数f（x）的最小正周期T；（）当x时，2x+，sin（2x+），1，f（x）2sin（2x+）的值域为，2【知识点】三角函数的最值、三角函数的周期性、两角和与差的三角函数 30.已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；