远程教育学院高等数学模拟试卷

1、文档编码 : CX5T8M5C8M6 HX3J8H8Y5V4 ZX9Q3K1Q2V9高等数学 一 模拟试卷第一套得分评卷人选择题： 1-10 小题,每道题4 分,在每道题给出的四个选项中,只有一项市符合题目要求的；1. 设函授 f xxx ,x ,0 就 x=0 处连续,就a 等于（）ln 1ax=0 A 0 B . 12C. 1 D. 2 2. 设 y=sin 2x, 就 y 等于（）. A. cos 2x B. cos 2x C. 2cos 2x D. 2cos 2x 3.过曲线 y=xln x 上M0点的切线平行与直线y=2x, 就切点M0的坐标是（A. （1, 0） B.（e,0） C

2、.（e,1 ） D.（ e,e）4. 设 fx为连续函数,就xf tdt等于（）aA. ft B. ft- fa C. fx D. fx- fa 5. 如x 为 fx的极值点,就（）A.fx 0必定存在,且f0 x=0 B. f0 x必定存在,且fx 0不愿定等于零 C. f0 x不存在,或fx0=0 D. fx 0必定不存在6.1xdx等于（）sin2A. 1xc B. 1xcC. cotxc D. cotxcsinsin1 : x 2 y 3 z 1 07. 平面 的位置关系为（）2 : 2 x y 2 0A. 垂直 B. 斜交 C.平行 D. 重合8. 设 z=tanxy, 就 z 等于

3、（）xA.cos y2 xy B. cos 2 xy y C.1 y xy 2 D. 1 y xy 2n k9级数 1 2（ k 为非零正常数） （）n 1 nA.确定收剑 B. 条件收剑 C. 发散 D. 收剑性与 k 有关10 微分方程 y y 0 的通解为（）x x x xA y= e B. y= e C. y=C e D. y=C e得分 评卷人二、填空题： 11-20 小题,每道题 4 分,共 40 分；sin 3 x11求 lim x x . 2x 112lim x 1 x 1 . xe13设 y= ,就 y = . 1 x214. 设 fx= x , 就 f x . 15. 1

4、21 xx 2 dx .16. 设 z= x 23 xy 2 y 2 y,就 z = . x17. 设 x dx F x C , f sin x cos x dx . n18. 幂级数 n. x 的收敛半径为 . n i19. 微分方程y9y0的通解为 . 20. 曲线y3 x6x的拐点坐标为 . 得分评卷人三、解答题： 21-28 小题,共 70 分,解答时应写出推理、演算步骤 .21. （此题满分8 分）. 运算1dxxln22. 此题满分 8 分 设xasint2求dyfx存在,求 fx. yt32 tdx23（此题满分8 分）设z3 xy2 2yx,求2z. xy24（此题满分8 分）

5、求y2y8y0的通解 . 25. （此题满分8 分）将fx31x开放为 x 的幂级数26. （此题满分10 分）设fx x33xlim x 2fx ,且lim x 227. 此题满分 10 分 求曲线yx21在点（ 1,2）处的切线方程,并求该曲线与所求切线及x=0所围成的平面图行的面积. 28. （此题满分10 分）设区域 D为x2y24 ,y,0运算x2y2dxdy .D参考答案与详解一、选择题：每道题 4 分,共 40 分1C 【解析】此题考查的学问点为函数连续性的概念0. lim x 2fxf0 ,由由函数边连续性的定义可知, 如fx在x处连续,就有题设lim x 0fxlim x 0

6、ln1x|xlim x ox1x可知应有 a=1, 故应选 C. 2.D 【解析】此题考查的学问点为复合函数求导数的链式法就 . y sin 2 x ,就 y cos 2 x 2 x 2 cos 2 x .可知应选 D 3.D 【解析】此题考查的学问点为导数的几何意义 . 由导数的几何意义可知,如 y f x 在点 x 处可导,就曲线 y f x 在点 x 0 , f x 0 处必定存在切线,且切线的斜率为 y f x 0 由于 y x ln x , 可知y 1 ln x,切线与已知直线 y 2 x 平行,直线的斜率 1k 2,可知切线的斜率k k 1 2 从而有1 ln x 0 2 ,可解得

7、 x 0 e , 从而知y 0 x 0 ln x 0 e ln e e故切点 M 0 的坐标为（ e.e ）, 可知应选 D. 4.C 【解析】此题考查的学问点为可变上限积分的求导性质 . 这是一个基本性质：如fx为连续函数,就xf tdt必定可导,且x 与牛顿 - 莱axftdtfx . a此题常见的错误是选D,这是由于考生将积分的性质xf tdtfa布尼茨公式bfx dxFxFa 混在了一起而引起的错误；a5.C 【解析】此题考查的学问点为函数极值点的性质 . 如 0 x 为函数 y f x 的极值点,就可能显现两种情形：（1）f x 在点 0 x 处不行导,如 y x 在点 0 x =0

8、 处 f x 不行导,但是点 0 x =0为 f x x 的极值点 . 2 f x 在点 x 可导,就由极值的必要条件可知,必定有 f x 0此题常见的错误是选 A,其缘由是考生将极值的必要条件：“ 如 f x 在点 0 x 可导,且 0 x 为 f x 的极值点,就必有 f x 0 0 认为是极值的充分必要条件 . 6.D 【解析】此题考查的学问点为不定积分基本公式. 由于1xdxcotcC可知应选 D sin27A 【解析】此题考查的学问点为两平面的关系 . 两平面的关系可由两平面的法向量 n 1,n 2 间的关系确定 . 如 n 1 n 2,就两平面必定垂直 . 如 n 1/ n 2,A

9、 1 B 1 C 1 D 1时,两平面平行 . A 2 B 2 C 2 D 2当 A 1 B 1 C 1 D 1时,两平面重合 . A 2 B 2 C 2 D 2如 1n 与 n 即不垂直,也不平行,就两平面斜交 . 由于n 1 ,12 3, ,n 22 0,1, ,n 1n 2,0可知n 1n 2,因此12,应选 A. 8B 【解析】此题考查的学问点为偏异数运算. xyxcosyxy,由于ztanxy,因此xy）z1xcos22可知应选 A 9A 【解析】此题考查的学问点为无穷级数的收剑性是. n11收剑由于n1unn11 nk,u nk,n11p=2 的 p 级数从而n2n2n2n2n1k

10、,收剑,可知所给级数确定收剑. n210 D 【解析】此题考查的学问点为一阶微分方程的求解. 仍可以仿可以将方程认作可分别变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；二阶线性常系数齐次微分方程,并作为特例求解. Cex.解法一将方程认作可分别变量方程. 分别变量dydx,y两端分别积分dydx ,或 Y=CexylnyxC,解法二将方程认作一阶段性微分方程. 由通解公式可得yepxdxq xepxdxdxCedx0edxdxC解法三认作二阶段常系数线性齐次微分方程特例求解：特点方程为r10,特点根为r,1 , 方程通解为yCex,二、填空题：每空 4 分,共 40 分. 11 0 【解析】此题

11、考查的学问点为无穷小的性质. 为有对于lim xsin3x,其期限过程为x,可知所给极限不能利用重要极限公式xlimsin.1这是考生经常犯错误的题目. 当 x时,sin3x不存在极限,由于当x时,1 为无穷小,且 xsin3x界变量,由于“ 有界变量与无穷小之积仍为无穷小”,lim xsin3xlim x 81sin3 x0 xx12 2 【解析】此题考查的学问点为极限的运算由于分子的极限lim3x10分母的极限lim x1 0,因此所给极限不能利用极限的商的运算法就来求解,lim x 1x21lim x 1x1 x1 lim x 1x1 2. x1x1或利用洛必达法就可得132 xe2li

12、m x 1x21lim x 12x2x11 1x 【解析】此题考查的学问点为函数商的求异运算考生只需熟记导数运算的法就可知yx exu 1uvuvx v2vx x ex e 111x22 xe 1x 2此题中有些考生仍不会运用求异法就,误以为uvuv,uuex.的错误 . vv因此显现y1exx,y 1x ex 这是由于考生没把握基本学问才显现的错误14 2 【解析】此题考查的学问点为二阶导数的运算2. ,fxx2xfx 2x2 ,151ln5,. 22【解析】此题考查的学问点为定积分的换算法. 由于被积函数1x2分母为二次函数,分子为一次函数,本例有多种解法x解法一利用凑微分,留意到xdx1

13、dx21d1x2,可得2221x2dx12112dx212d 1x21x21x211x21ln1x221ln52122解法二令t12 x,就dt2xdx,当 x=1 时, t=2;当 x=2 时, t=5 有的考生填为121x2dx5l,1.1dtt1x2,就 dt=2xdx, 得到1x2t221lnt51ln5. 2222ln2 ,这个错误的缘由是引人变量221x2dx12ldt1lnt2. 1x21t211ln2 .2这里的错误在于进行定积分变量替换,积分区间没做变化16 2x+3y 【解析】此题考查的学问点为偏导数的运算. y. 由于z2 x3 xy2y2y ,可得z2x3x17Fsin

14、xC.【解析】此题考查的学问点为不定积分的换元法由于x dxFxC,令usin x ,就ducosxdxfsinxcosxdxfuduFuCFsinxC18 0 【解析】此题考查的学问点为幂级数的收剑半径 . 所给幂级数为不缺项情形a nn ,.lim nann1lim n n1 .9x. an .因此收剑半径为0.19yCe9x,【解析】此题考查的学问点为求解可分别变量微分方程分别变量1dy9dx,y两端分别积分1dy9dx ,ylny9xC1,yCe20（0,0）【解析】此题考查的学问点为求曲线的拐点 . 依求曲线拐点的一般步骤,只需（1）先求出 y（2）令 y =0 得出1x,kx .

15、kx 的两侧 y 异（3）判定在点1x,x 2,xk两侧 y 的符号是否异号, 如在号,就点x k,fx k为曲线yfx的拐点 . yx36 x ,y3 x2,6y6x .令 y =0,得到 x=0.当 x=0 时, y=0. 当x0时, y0；当x0时,y0.因此点（ 0,0）为曲线yx36x的拐点. 此题显现较多的错误为：填x=0.这个错误产生的缘由是对曲线拐点的概念不清楚；拐点的定义是：连续曲线 y f x 上的凸与凹的分界点称为之曲线的拐点 .其一般形式为（x 0 , x 0 ,这是应当引起留意的,也就是当判定 y 在 x 的两侧异号之后,再出 f x 0 ,就拐点为（x 0 , f

16、x 0 .留意极值点与拐点的不同之处！三、解答题：共70 分. 21解：x1xdx1dlnxlnlnxClnlnx【解析】此题考查的学问点为不定积分的换元积分运算留意flnx1dx,通常引入变换tln x.x本例求x1xdx,可以令tln x .就dt1 dx x.lnx1dx xdtlntClntlnlnxC也可以不写出新变元,利用凑微分法运算：x1xdxdlnxlnlnxClnlnx此题中显现的主要问题是不定积分运算丢掉任意常数 C. 22解：dx a cos tdtdx 23 t 4 tdtdy2dx dt 3 t 4 t. dt dx a cos tdt【解析】此题考查的学问点为参数方程形式的函数的求导 . dy只需依公式 dy dt,先分别求出 dx ,dy 即可 . dt dx dt dtdtz 323.解：y 4 xy ,x2z 3 y 24 x .x y224. 解 ： 特点方程为 r 2 r 8 0特点根为 r 1 2 , r 2 42 x 4 x方程的通解为 y C 1 e C 2 e .n1 1 1 1 x n x25解：3 x 3 1 x 3 n 0 3 n 0 3 n 1,3x1 1 , 即 3 x 3 .326. 解：设 A limf x , 就x 2f x x 3 3 Ax .两端当 x 2 时取极限lim