350766342.2 函数的单调性与最值解析版

1、 .2 函数的单调性与最值一、温故知新夯实基础1函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间2函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件(1)对于任意的，都有；(2)存在，使得(3)对于任意的，都有；(4)存在，使得结论为最大值为最小值3. 函数单调性的常

2、用结论(1)对在D上是增函数，在D上是减函数(2)对勾函数的增区间为和，减区间为和(3)在区间上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(4)函数的单调性与函数和的单调性的关系是“同增异减”考点一 求函数的单调区间1函数的单调增区间是（）A和B和C和D和【答案】C【分析】由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案【详解】解：由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C2若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是_，单调递减区间是_【答案】 ， ，【分析】根据

3、函数图象，可直接写出函数的单调区间，即得答案.【详解】由函数图象可得：单调递增区间为：，；单调递减区间为：，故答案为：，；，3已知函数，判断并证明在区间上的单调性【答案】单调递增，证明见解析【分析】利用单调性的定义证明，先任取，且，然后作差，变形，判断符号，即可得结论.【详解】在区间上单调递增，理由如下：任取，且，因为，所以，所以所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增考点二 利用函数的单调性求解1定义在上的偶函数满足：对任意的有则（）ABCD【答案】A【分析】由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果.【详解】因为满足，对任意的有，所以在上单调递减且为偶函数，则由可得，即故选:A2已知奇函数

4、在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（）A（，2）（0，2）B（2，0）（2，）C（，2）（2，）D（2，0）（0，2）【答案】C【分析】首先根据题意得到函数在上单调递减，且，再结合单调性解不等式即可.【详解】因为奇函数在上单调递减，且，所以函数在上单调递减，且，所以当，满足，当，不满足，当，不满足，当，满足，综上：的解集为.故选：C3若，则不等式的解集是（）ABCD【答案】D【分析】对函数 进行求导, 可得出函数的单调性, 再得出函数的奇偶性, 利用充分必要条件的定义判断可得选项.【详解】由题意可得: 恒成立,所以函数在上单调递增，又 ,所以函数是奇函数，当即，所以，解得故选：D.考点三

5、复合函数的单调性1函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】D【分析】根据复合函数的单调性即得.【详解】由题知的定义域为，令，则，函数单调递增，当时，关于单调递减，关于单调递减，当时，关于单调递增，关于单调递增，故的递增区间为故选：D2函数的单调递减区间为（）ABCD【答案】A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A3函数的单调递增区间是（）A（3，+）B（，3）C（4，+）D（，2）【答案】D【分析】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调

6、性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”.【详解】先考虑定义域：，解得或，是开口向上的抛物线，对称轴为x=3，在上单调递增，在上单调递减，函数是由 和复合而成的，是减函数，根据复合函数同增异减的原理，当 时 是增函数，故选：D.（多选）4已知函数，下列结论正确的是（）A定义域、值域分别是，B单调减区间是C定义域、值域分别是，D单调减区间是【答案】BC【分析】首先根据题意得到，从而得到函数的定义域为，结合二次函数的性质得到函数和单调减区间是，再依次判断选项即可.【详解】要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为因为，时，或时，所以因为抛物线的对称轴为直线，开口向下，所以的单调减区间是故

7、选：BC5（多选）下列关于函数的结论正确的是（）A单调递增区间是B单调递减区间是C最大值为2D没有最小值【答案】AC【分析】先求的定义域排除选项B，再利用一元二次函数的性质与复合函数的单调性求得的单调性，进而求其最值.【详解】要使函数有意义，则，得，故B错误；函数由与复合而成，当时，单调递增，当时，单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故,又，所以，故A，C正确，D错误故选：AC.6函数的单调减区间为_.【答案】#【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.【详解】函数是由函数和组成的复合函数， ，解得或，函数

8、的定义域是或，因为函数在单调递减，在单调递增，而在上单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间故答案为：.7函数的单调递增区间是_.【答案】【分析】先求出函数的定义域，再根据的单调性即可得出.【详解】令，解得或，所以函数的定义域为，而函数的对称轴是，故函数的单调递增区间是.故答案为：.考点四 解析式含参数的函数的单调性1函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】由分段函数单调性列不等式组求解【详解】，故在上单调递减，由题意得解得，故选：B2若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】【分析】变形给定的不等式，构造二次函数，利用二次函数在闭区

9、间上的最大值不大于0求解作答.【详解】，令，依题意，而函数是二次项系数为正的二次函数，因此有，即，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：3已知，函数，若存在最小值，则的取值范围是_.【答案】【分析】利用分段函数的单调性及最值求解即可.【详解】解：当，即时，在上单调递增，故无最小值，不符合题意；当时，在上单调递减，所以，又在上的最小值为，要使存在最小值，还需，解得，故；当时，要使存在最小值，还需：，因为，所以无解综上的取值范围为.故答案为：.4若函数在区间上为减函数，则的取值范围是_.【答案】【分析】根据复合函数的单调性，分类讨论对数底数的范围，结合二次函数的单调性及真数大于0求解即可.【详解

10、】令，当时，是增函数，由在区间上为减函数，则在上为减函数，故，解得，当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，解得，综上，的取值范围是.故答案为：考点五 函数的最值1若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（）A2B2或C3D3或【答案】B【分析】注意讨论的情况，然后利用一次函数的单调性分类讨论可求得.【详解】依题意，当时，不符合题意；当时，在区间上单调递增，所以，得；当时，在区间上单调递减，所以，得综上，a的值为故选: B.2函数在区间上的最大值为（）ABCD【答案】B【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值根据

11、对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以故选：B3已知函数 ，且.(1)求m；(2)判断的奇偶性；(3)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(4)并求函数在上的值域.【答案】(1)；(2)函数为奇函数，证明见解析；(3)函数在上单调递增，证明见解析；(4).【分析】（1）代入，即可求解的值；（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，结合，可证明函数为奇函数；（3）利用定义法判断函数的单调性即可；（4）根据函数的单调性求解函数的值域即可.（1）解：，且，解得.（2）解：函数为奇函数，证明：由（1）得，定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数.（3）解：函数在上单调递增，证明：设，则， ，故，即，所以函数在上单调递增.（4）解：由（3）得函数在上单调递增，故函数在上单调递增，又，所以函数在上的值域为.4已知函数(1