几何体内切球与外接球表面积、体积

1、一、由球定义确定球心（球心到多面体各顶点距离相等）一、由球定义确定球心（球心到多面体各顶点距离相等）1.正方体、长方体外接球的球心是对角线的交点2.正棱柱的外接球的球心是上下底中心连线的中点。3.直棱柱外接球的球心是上下底面外心连线的中点。4正三棱锥外接球的球心在其高线上，可利用R2 = r2 + h2求解。二、长方体的外接球（2013辽宁）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4, AB0AC, AA1 = 12，则球 O 的半径为.在四面体ABCD中，AB, AC, AD两两垂直，AB= p3 ,AD=2,AC=5，则该四面体外接球的表面积为.如图，在

2、三棱锥O- ABC 中,三条棱OA,OB,OC两两垂直，且OA OB OC ,若已知棱锥中含线面垂直关系，则（h为锥体的高）若已知棱锥中含线面垂直关系，则（h为锥体的高）5若棱锥侧面是有公共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外界球的球心二、构造长方体1正四面体、三条侧棱两两垂直、三组对棱分别相等，均可构造长方体2已知棱锥中含线面垂直关系（侧棱与底面垂直）、三个侧面两两垂直三、由球的性质确定球心，即：球心O与截面圆心连线垂直截面，进而由1R2 =r2 + h2求解R,r2 +一、构建正方体求解三棱锥有关问题若正三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半 TOC o

3、1-5 h z 径之比为.已知正三棱锥P-ABC,点P, A, B, C都在半径为目勺的球面上.若PA, PB, PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为.已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为込,则该三棱锥外接球的体积是4已知球O是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O 的截面面积为（） 厂_4 n _ n 63A.B.C.nD.弋一n6363分别经过三条棱OA,OB,OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S , S , S ,则S , S , S的大小关123123系为.&已知点P A B, C, D是球0表面上的点，PA丄平面ABCD,四边形AB

4、CD是边 长为2、吕正方形.若PA二246,则A0AB的面积为半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（）A.p5n：6B. p6n：2C. n：2D. 5n：12三、正四面体的外接球和内切球 TOC o 1-5 h z 正四面体的内切球、与棱相切的球、外接球的三类球的半径比为.正四面体ABCD的外接球的体积为4由n，则正四面体ABCD的体积是正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为4，则这个球的表面积是.13半径为1的球面上的四点A,B, C,D是正四面体的顶点，则A与B两点与球心连线的夹角余弦值为.四、由球的定义确定球心位置将长、宽分别为4和3的长方形ABC

5、D沿对角线AC折起，得到四面体A BCD,则四面体A BCD的外接球的体积为.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同 TOC o 1-5 h z 一个球面上，六棱柱的体积为6，底面周长为3,那么这个球的体积为.O个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球0的球面上，则该圆锥的体积与球0的体积的比值为.五、利用球的截面性质求球的半径已知矩形佔仞 的顶点都在半径为4的球o的球面上，且AB = 6,BC = 2y/3 ,则棱锥O-的体积为 .正三棱锥的高为1,底面边长为2拆，内有一个球与它的四个面都相切（如 图）.求：（1）这个正三棱锥的表面积；（2）这个正三

6、棱锥内切球的体积.19.三棱锥D-ABC满足：仙为球O的直径，若该三棱锥的体积为萌，BC=3, BD=, ZCBD=9Q,则球 O 的体积为 20. 2017课标1,文16】已知三棱锥S4BC的所有顶点都在球0的球面上，SC是球0的直径.若平面SC4丄平面SCB, SA=AC, SB=BC,三棱锥S4BC的体积为9,则球0的表面积为2012高考真题新课标理口】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求 面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2.则此棱锥的体积为（A（2011年高考辽宁卷理科12）已知球的直径SC=4, A,B是该球球面上的两点，AB= 5/3 , Z

7、ASC = ZBSC = 30,贝ij棱锥 S-ABC 的体积为（） TOC o 1-5 h z （A） 3爲（B） 23（C）相（D） 1三棱锥P-ABC中，底面AABC是边长为2的正三角形，PA丄底面ABC ,且PA=2,则此三棱锥外接球的半径为（） 正三棱锥的高为1,底面边长为2品，棱锥的内切球的表面积为.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABCAB=2l2, ZACB= 90。，为球O的直径，且PA=4,则点F到底面ABC的距离为（） TOC o 1-5 h z A. a/2B. 22C. /3D. 2书（2019全国I理12）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球0的球面

8、上,PA=PB=PC,1BC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点，ZCEF=90,则球0的 体积为A. 8671 B. 4需兀 C. 2拆71D.品（2019天津理口）已知四棱锥的底面是边长为花的正方形，侧棱长均为店.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥 底面的中心，则该圆柱的体积为.若三棱锥S-ABC所有顶点都在球0表面上，SA丄平面ABC ,SA = 2爲,AB = 1, AC = 2, ZBAC = 60。则球 o 的表面积。若三棱锥S-ABC所有顶点都在球0表面上，SA丄平面ABC , SA=2, AABC是边长为1的正三角形，则球

9、0的表面积 o四点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=2,心2迈,若四面体A-BCD体积最4一大值为3，则其外接球表面积为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，三角形PAD是边长为2的正三角形，E是BC中点，PE=1,贝IJ四棱锥P-ABCD外接球的表面积为。已知三棱锥 D-ABC 中，AB = BC = 1, AD = 2, BD =, AC =迈,BC丄4D,则三棱锥的外接球的表面积为（）A.馮IB. 6兀C. 5兀D. 8兀（浙江卷14）如图，已知球0点面上四点A、E、C、D, DA丄平面AEC, AE丄EC,DA=AB=BC=3 ,则球0点体积等于可（福建卷15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为柘，则其外接球的表面积是9兀（2016新课标III理）在封闭的直三棱柱ABC-ABC内有一个体积为V的球,1 1 1若丄BC, AB = 6, BC = S,则V的最大值是(A) 4 n若丄BC, AB = 6, BC = S,则V的最大值是(A) 4 n(B)9兀2(C) 6 Ji(D)32ti2018全国三卷10设A, B, C, D是同一个半径为4的球的球面上四点,