高中数学课件定积分的概念

1、第一章导数及其应用本章内容1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第一章 小结1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程1.5.3 定积分的概念(第一课时)1.5.3 定积分的概念(第二课时)1.5.1曲边梯形的面积返回目录1. 课本中的曲边梯形是指的什么样的图形?2. 求曲边梯形的面积是基于什么样的思想?学习要点3. 求曲边梯形面积的具体步骤是怎样的? 问题1. 如图, 你能求出 x=1, x=2, y=0 和 y=x2 所围成的图形的面积吗

2、? 如果一个运动物体的位移函数 S(t)=0.5t2+t, 你能求出它的瞬时速度吗? 反之, 如果一个运动物体作变速直线运动, 它的速度函数是v(t)=-t2+2, 你能求出这个物体在某段时间内所经过的路程是多少吗?Oxy12y=x2 我们可以求各边为直边的多边形面积, 如图中有一边是曲边, 该如何求得面积呢? S(t) 的瞬时速度, 我们可以用导数求得, 按速度 v(t) 在某段时间内运动所经过的路程又怎样求得呢?将要学的定积分为我们解决这类问题.Oxyaby=f(x)f(a)f(b) 如图的阴影部分近似于一个梯形, 但有一腰是曲线段, 我们称这个图形为曲边梯形.这个图形的面积怎样求呢?思想

3、:将图形分成无数多的小块.每小块近似于直边梯形, 可用直边梯形求面积.这无数小块之和即为整块面积.下面取 a=0, b=1, f(x)=x2 为例.OxyS1y=x2 如图是抛物线 y=x2 与直线 x=1, y=0 围成的曲边多边形. 对这个图形求面积 S, 我们用无数个矩形的面积之和逼近曲边多边形的面积. 请看几何画板的动态效果. 如图是抛物线 y=x2 与直线 x=1, y=0 围成的曲边多边形. 对这个图形求面积 S, 我们用无数个矩形的面积之和逼近曲边多边形的面积. 请看几何画板的动态效果.OxyS1y=x2 如图是抛物线 y=x2 与直线 x=1, y=0 围成的曲边多边形, 对这

4、个图形求面积 S,我们将按以下四个步骤进行:(1) 分割;(2) 近似代替;(3) 求和;(4) 取极限.Oxy1y=x2(1) 分割 在区间 0, 1 上等间隔地插入 n-1 个点, 将区间分成 n 个小区间:记第 i 个区间为 (i=1, 2, , n), 其长度为 过各分点作 x 轴的垂线, 将图形分成了 n 个小曲边梯形, 各面积分别记作:S1, S2, , Sn,则Oxy1y=x2Oxy1y=x2(2) 近似代替 把每一个小曲边梯形的面积用一个矩形的面积代替, 第 i 个矩形的宽为高为则第 i 个矩形的面积为当分点无限多, 即 n 无限大时, Si就几乎等于Si.Oxy1y=x2(2

5、) 近似代替 把每一个小曲边梯形的面积用一个矩形的面积代替, 第 i 个矩形的宽为高为则第 i 个矩形的面积为当分点无限多, 即 n 无限大时, Si就几乎等于Si.Oxy1y=x2(3) 求和 将n个近似代替的小矩形面积求和 当 n 无限大时, Sn 就近似等于 Sn. 这时, Sn 是 Sn的不足近似值.(3) 求和 将n个近似代替的小矩形面积求和 当 n 无限大时, Sn 就近似等于 Sn. 这时, Sn 是 Sn的过剩近似值.Oxy1y=x2第 i 个矩形的高也可取Oxy1y=x2(4) 取极限Oxy1y=x2如图,当 n 趋向无限大时,无限小, 趋近于 0,此时小矩形与小曲边梯形的误

6、差接近于 0, 即 Sn 等于 Sn.即阴影部分面积为(4) 取极限如图,当 n 趋向无限大时,无限小, 趋近于 0,此时小矩形与小曲边梯形的误差接近于 0, 即 Sn 等于 Sn.即同样得阴影部分面积为Oxy1y=x2Oxy1y=x2可以证明, 取 f(x)=x2 在区间上任意一点 xi 处的值 f(xi) 作为近似值, 都有Oxyaby=f(x)f(a)f(b) 一般地, 对右下图的曲边梯形, 我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求面积.Oxy1y=x2【小结】1. 曲边梯形 由函数曲线 y=f(x) 和直线 x=a, x=b, y=0所围成的图形.2. 求曲边梯形面积的基本思想

7、 (1) 大块分小块, 每块近似矩形, 即可有矩形求各块面积. (2) 块数无限多时, 每小块矩形几乎等于小梯形.(3) 这无数小块之和即为整块面积.【小结】3. 求曲边梯形面积的基本步骤(1) 分割: 将区间 0, a 分割成 n 等分, 每等分宽为(2) 近似代替: 每个小曲边梯形面积用矩形面积代替, 第 i 个矩形面积为(3) 求和: 将 n 个小矩形的面积相加(4) 取极限: 将 n 个小矩形面积和取极限练习: (课本42页) 求直线 x=0, x=2, y=0 与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积.解:(1) 分割: 将区间 0, 2 分成 n 等分, 每一等分为(2) 近似代替

8、: 用小矩形面积Si 近似代替小曲边梯形的面积SiSi(3) 求和:(4) 取极限:1.5.2汽车行驶的路程返回目录 1. 给定一个变速运动关于时间 t 的速度函数, 它的图象是什么? 2. 在速度函数图象的坐标系中, 用什么表示某段时间内所经过的路程?学习要点3. 怎样求变速运动的路程? 问题2. 我们知道, 汽车以速度 v 作匀速直线运动时, 经过时间 t 所行驶的路程为 s=vt. 如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)= -t2+2 ( t 的单位: h, v 的单位: km/h), 那么它在 0t1 这段时间内行驶的路程 s (单位: km) 是多少?Otss=2t

9、(图1) 图 1 是匀速运动中, v=2 时路程与时间的函数图象. 图 2 是变速运动中, 速度与时间的函数图象, 速度与时间的乘积即为路程. 在 0t1 这段时间内行驶的路程即为影阴部分的面积.1Otvv=-t2+2(图2) 问题2. 我们知道, 汽车以速度 v 作匀速直线运动时, 经过时间 t 所行驶的路程为 s=vt. 如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)= -t2+2 ( t 的单位: h, v 的单位: km/h), 那么它在 0t1 这段时间内行驶的路程 s (单位: km) 是多少?Otss=2t(图1) 求变速运动的路程, 类似于求曲边梯形的面积.四个步骤:

10、(1) 分割(2) 近似代替(3) 求和(4) 取极限1Otvv=-t2+2(图2) 问题2. 我们知道, 汽车以速度 v 作匀速直线运动时, 经过时间 t 所行驶的路程为 s=vt. 如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)= -t2+2 ( t 的单位: h, v 的单位: km/h), 那么它在 0t1 这段时间内行驶的路程 s (单位: km) 是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2)(1) 分割 在区间 0, 1 内插入 n-1 个分点, 分成 n 个小区间每 个区间长度为则第 i 个小区间的路程为si, 问题2. 我们知道, 汽车以速度 v 作匀

11、速直线运动时, 经过时间 t 所行驶的路程为 s=vt. 如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)= -t2+2 ( t 的单位: h, v 的单位: km/h), 那么它在 0t1 这段时间内行驶的路程 s (单位: km) 是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2)(2) 近似代替以宽为 高为的小矩形面积si 近似代替si,即 问题2. 我们知道, 汽车以速度 v 作匀速直线运动时, 经过时间 t 所行驶的路程为 s=vt. 如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)= -t2+2 ( t 的单位: h, v 的单位: km/h), 那么它在

12、 0t1 这段时间内行驶的路程 s (单位: km) 是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2)(3) 求和n 个小矩形的面积和为 问题2. 我们知道, 汽车以速度 v 作匀速直线运动时, 经过时间 t 所行驶的路程为 s=vt. 如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)= -t2+2 ( t 的单位: h, v 的单位: km/h), 那么它在 0t1 这段时间内行驶的路程 s (单位: km) 是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2)(4) 取极限当 n 趋向于无穷大时, sn趋向于 s,的路程为汽车在 0t1 这段时间内行驶 问题2.

13、 我们知道, 汽车以速度 v 作匀速直线运动时, 经过时间 t 所行驶的路程为 s=vt. 如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)= -t2+2 ( t 的单位: h, v 的单位: km/h), 那么它在 0t1 这段时间内行驶的路程 s (单位: km) 是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2) 一般地, 如果物体做变速直线运动, 速度函数为 v = v(t), 那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法, 求出它在 atb 内所作的位移 s.【小结】变速运动的路程(1) 变速运动的速度函数是一条曲线. (2) 变速运动的路程是速度函数曲线与

14、时间段 t=a, t=b 以及横轴所围成的曲边梯形的面积. (3) 求变速运动的路程就是求曲边梯形的面积, 基本步骤为: 分割; 近似代替; 求和; 取极限.练习: (课本45页)第 1、2 题. 1. 在上面的第二步 “近似代替” 中, 如果我们认为在每个小时间间隔 (i=1, 2, , n)上, 汽车近似地以时刻 处的速度 作匀速行驶, 从而得到汽车行驶的总路程 s 的近似值, 用这种方法能求出 s 的值吗? 若能求出, 这个值也是 吗?解:能得出,取小区间的右端点的函数值 为小矩形的高,则近似代替为 2. 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶, 设汽车在时刻 t 的速度为 v( t ) = -

15、t2+5 ( t 的单位: h, v 的单位: km/h), 试计算这辆汽车在 0t2 这段时间内汽车行驶的路程 s (单位: km).解:(1) 分割,将区间 0, 2 分割成 n 个小区间,第 i 个区间为其长度为(2) 近似代替,第 i 个小区间的路程si,用 近似代替(3) 求和,(4) 取极限,即这段时间汽车行驶的路程为1.5.3定积分的概念(第一课时)返回目录 1. 什么是定积分, 它是一些什么运算的组合?2. 定积分的几何意义是什么?学习要点 问题1. 以上求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程有什么共同点? 它们解决问题的方法都是基于一个什么思想? 两个问题的解题过程都是四步:

16、 分割、近似代替、求和、取极限. 其基本思想都是: 将整体分割, 便于用已有的方法近似代替, 然后再取和的极限逼近整体值. 以上两个问题中的函数 f(x)=x2 和 v(t)=-t2+2 在所求区间内的图象都是连续不断的. 象这样, 如果函数 y=f(x) 在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线, 那么我们就把它称为区间 I 上的连续函数. 一般地, 如果函数 f(x) 在区间 a, b 上连续, 用分点 a=x0 x1xi-1xixn=b 将区间 a, b 等分成 n 个小区间, 在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点 xi (i=1, 2, , n), 作和式这里, a 与 b

17、分别叫做积分下限与积分上限, 区间 a, b 叫做积分区间, 函数 f(x) 叫做被积函数, x 叫做积分变量, f(x)dx 叫做被积式.当 n 时, 上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分, 记作 即 上一节求曲边梯形面积, 就是求函数 f(x)=x2 在区间 0, 1 上的定积分, 即 求速度为 v(t) = -t2+2 在 0t1 这段时间内行驶的路程 s, 就是求函数 v(t) = -t2+2 在区间 0, 1 上的定积分, 即 定积分 的几何意义是曲线 y=f(x) 与直线 x=a, x=b, y=0 所围成的曲边梯形的面积.Oxyab

18、y=f(x)f(a)f(b) 问题2. 根据定积分的几何意义, 你能用定积分表示图中阴影部分的面积 S 吗?Oxyaby=f1(x)y=f2(x)ABCDMNS=SABNM-SDCNMSABNM=SDCNM =例1. 利用定积分的定义, 计算 的值.分析: 定积分定义的计算形式, 与我们求曲边多边形面积, 以及求变速直线运动的路程的形式相同:(1) 分割;(2) 近似代替;(3) 求和;(4) 取极限.例1. 利用定积分的定义, 计算 的值.解:令 f(x)=x3,(1) 分割,将区间 0, 1 等分成 n 个小区间每个小区间的长度为(2) 近似代替、求和,取(3) 取极限,不取极限时, Si

19、 (i=1, 2, , n) 的和是定积分的近似值, 即练习: (课本48页)只一题.练习: (课本48页)计算 的值, 并从几何上解释这个值表示什么.解:(1) 分割, 把区间 0, 3 等分成 n 个小区间小区间长度为(2) 近似代替、求和,取(3) 取极限,=4.练习: (课本48页)计算 的值, 并从几何上解释这个值表示什么.解:(1) 分割, 把区间 0, 3 等分成 n 个小区间小区间长度为(2) 近似代替、求和,取(3) 取极限,=4.几何意义表示的是: 由曲线 y=x3 与直线 x=0, x=2, y=0 所围成的曲边梯形的面积 S=4.【小结】1. 定积分(1) f(x) 在

20、区间 a, b 上连续.(2) n 等分区间 a, b, 每等分宽(3) 每等分取点 xi, 得区间高 f(xi).(4) 作小区间面积和(5) 求 n时的极限 这个极限就叫函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分, 记作 即f(x)dx 叫做被积式.x 叫做积分变量.函数 f(x) 叫做被积函数.a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限.【小结】2. 定积分各部分名称区间 a, b 叫做积分区间.【小结】3. 定积分的几何意义 定积分 的几何意义是曲线 y=f(x) 与直线 x=a, x=b, y=0 所围成的曲边梯形的面积.习题 1.5第 3、4、5 题,A 组 3. 利用定积分的定义,

21、 证明 其中 a, b 均为常数且 ab.证明:把区间 a, b 等分成 n 个小区间在小区间内任取 xi 都有= b-a.如图, 矩形ABCD的面积等于 b-a,xyOab1y=1ABCD习题 1.5A 组4. 试用定积分的几何意义说明 的大小.xyO1AB-1定积分 的几何意义是由曲线和直线 x=0, x=1 和 y=0 所围成的图形的面积(如图).这是半径为 1 的圆的解: 5. 计算下列定积分, 并从几何上解释这些值分别表示什么. (1) (2) (3)解:(1)把区间 -1, 0 等分成 n 个小区间小区间长度为取几何表示为由曲线 y=x3 和直线 x=-1, x=0, y=0 围成

22、的曲边梯形的面积的相反数.xyO1-1y=x3 5. 计算下列定积分, 并从几何上解释这些值分别表示什么. (1) (2) (3)解:(2)把区间 0, 1 等分成 n 个小区间小区间长度为取两面积相等,其和为0.由(1)得下面求几何表示如图,符号相反, xyO1-1y=x3 5. 计算下列定积分, 并从几何上解释这些值分别表示什么. (1) (2) (3)解:(3)把区间 1, 2 等分成 n 个小区间小区间长度为取由(2)得下面求 5. 计算下列定积分, 并从几何上解释这些值分别表示什么. (1) (2) (3)解:(3)把区间 1, 2 等分成 n 个小区间小区间长度为取由(2)得下面求

23、几何表示如图,x 轴上边的面积减去 x 轴下边的面积. xyO1-12y=x31.5.3定积分的概念(第二课时)返回目录 1. 什么是定积分的不足近似值和过剩近似值?2. 定积分的运算有哪些性质?学习要点问题3. 记得定积分的定义吗?(1) 分割;(2) 近似代替, 求和;(3) 取极限. 问题4. 如果给定一个数 n, 将所给连续的区间分割成 n 等分, 经过近似代替, 求和. 得到的和是定积分吗? 为什么?给定了数 n, 就不能对求得的和求极限了.所以求得的和不是定积分, 只是定积分的近似值.看下面的例题:解: 例(补充). 将区间 0, 1 分割成 n 个的小区间, n 取下列各值时,

24、求 的近似值, 并比较哪个值更接近 (1) n=100; (2) n=10000.n=100时, 第 i 个小区间是小区间长度是Oxy1f(x)=x3当 xi 取 时, 求得的是定积分的不足近似值 (如图).0.245025.(1)解: 例(补充). 将区间 0, 1 分割成 n 个的小区间, n 取下列各值时, 求 的近似值, 并比较哪个值更接近 (1) n=100; (2) n=10000.n=100时, 第 i 个小区间是小区间长度是(1)Oxy1f(x)=x3当 xi 取 时, 求得的是定积分的过剩近似值 (如图).0.255025.解: 例(补充). 将区间 0, 1 分割成 n 个

25、的小区间, n 取下列各值时, 求 的近似值, 并比较哪个值更接近 (1) n=100; (2) n=10000.(2)n=10000时, 第 i 个小区间是小区间长度是当 xi 取 时, 求得定积分的不足近似值 (如图).0.249999992499.Oxy1f(x)=x3解: 例(补充). 将区间 0, 1 分割成 n 个的小区间, n 取下列各值时, 求 的近似值, 并比较哪个值更接近 (1) n=100; (2) n=10000.(2)n=10000时, 第 i 个小区间是小区间长度是当 xi 取 时, 求得定积分的过剩近似值 (如图).0.2500500025.Oxy1f(x)=x3

26、解: 例(补充). 将区间 0, 1 分割成 n 个的小区间, n 取下列各值时, 求 的近似值, 并比较哪个值更接近 (1) n=100; (2) n=10000.(2) 更接近于若求 的精确值, 得(1) 的不足近似值 0.245025,过剩近似值 0.255025.(2) 的不足近似值 0.249999992499,过剩近似值 0.2500500025. 问题3. 定积定 成立吗? 你能根据定积分的几何意义进行解释吗?等式成立. (如图)Oxyacy=f(x)ABCDEFb表示 ACFE 的面积,表示 EFDB 的面积,表示 ACDB 的面积,而 ACDB 的面积等于 ACFE 与 EF

27、DB 的面积和,定积分有如下的性质:(1)(2)(3)习题 1.5第 1、2 题.A 组习题 1.5A 组1. 求 的近似值 (取 xi 为小区间的左端点): (1) 把区间 1, 2 平均分成100等份; (2) 把区间 1, 2 平均分成500等份; (3) 把区间 1, 2 平均分成1000等份;解:设 f(x)=x-1,(1)把区间 1, 2 平均分成100等份,第 i 个小区间为小区间长度为取则=0.495.0.495.习题 1.5A 组1. 求 的近似值 (取 xi 为小区间的左端点): (1) 把区间 1, 2 平均分成100等份; (2) 把区间 1, 2 平均分成500等份;

28、 (3) 把区间 1, 2 平均分成1000等份;解:设 f(x)=x-1,(2)把区间 1, 2 平均分成500等份,第 i 个小区间为小区间长度为取则=0.499.0.495.0.499.习题 1.5A 组1. 求 的近似值 (取 xi 为小区间的左端点): (1) 把区间 1, 2 平均分成100等份; (2) 把区间 1, 2 平均分成500等份; (3) 把区间 1, 2 平均分成1000等份;解:设 f(x)=x-1,(3)把区间 1, 2 平均分成1000等份,第 i 个小区间为小区间长度为取则=0.4995.0.495.0.499.0.4995.习题 1.5A 组1. 求 的近

29、似值 (取 xi 为小区间的左端点): (1) 把区间 1, 2 平均分成100等份; (2) 把区间 1, 2 平均分成500等份; (3) 把区间 1, 2 平均分成1000等份;解:设 f(x)=x-1,把区间 1, 2 平均分成 n 等份,小区间为取=0.5.若0.495.0.499.0.4995.逐渐靠近 0.5.xyOy+x-112ABC定积分表示如图的直边三角形的面积,其值为 0.5. 2. 一辆汽车在司机猛踩刹车后 5 s 内停下. 在这一刹车过程中, 下面各速度值被记录了下来:037121827速度(单位: m/s)543210刹车踩后的时间(单位: s)求刹车踩下后汽车滑过的距离的不足近似值 (每个 xi 均取为小区间的右端点) 与过剩近似值 (每个 xi 均取为小区间的左端点).解:如图,sm/sO1234527181273xi 取小区间的右端点时, 所得滑行距离 s 的不足近似值为s181+121+71+31= 40. 2. 一辆汽车在司机猛踩刹车后 5 s 内停下. 在这一刹车过程中, 下面各速度值被记录了下来:037121827速度(单位: m/s)543210刹车踩后的时间(单位: s)求刹车踩下后汽车滑过的距离的不