函数的单调性与极值

1、 第三章 中值定理和导数的应用1 中值定理2 洛必达法则3 函数的单调性与极值3 函数的单调性与极值(一) 、函数的单调性(二) 、函数极值的定义(三) 、函数的最值1、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题.第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的.证：应用拉氏定理,得注若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多有限个不可导点，而在其余点处均有则由连续性，结论仍成立此判定法则对其它各种类型的区间仍适用例如,例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处

2、的导数符号来判别一个区间上的单调性2、单调区间求法引入:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:例2解单调区间为例3解-+不存在0+例4证例5证明证利用单调性证明不等式的步骤：1、函数极值的定义(二) 、极值的定义及其求法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着

3、点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.2、函数极值的求法定理 (必要条件)例如,定义.)()0)(的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf=注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf注这个结论又称为费马定理如果一个可导函数在所讨论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明.由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保

4、持一定的符号，则问题即可得到解决.定理(函数取得极值的第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例5解列表讨论极大值极小值图形如下定理(第二充分条件)证例6解图形如下注意: （1）（2）函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例7解例8证（不易判明符号）而且是一个最大值点， (三) 、函数的最大值、最小值定义 (极值)1. 最值与极值的关系在上图中：极大值点：极小值点最小值最大值f(b)（1）最大、最小值点在极值点及区间端点中找，极值点在开区间内找（2）极大值未必大于极小值注意:（4）f (x)在(a,b)内有唯一的极大(小)值而没有极小(大) 值，则该极大(小)值为最大(小)值.f(b)f(a)（3）(a,b)上f (x)的极大(小)值未必是a,b上f (x)的最 大(小)值，反之最大(小)值未必是极大(小)值2.最值的求法步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大那个就是最大值,哪个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例9解计算比较得hR答:x=20时平均成本最小.例12某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元