数学建模培训讲座（微分方程模型）

1、第1章 传染病模型的分析与建立PAGE 4数学建模培训讲座（微分方程模型）一一般类的微分方程模型1.铅球掷远模型 不考虑阻力，设铅球初速度为，出手高度为，出手角度为，（1）试建立掷远距离与和的函数关系式，并在一定的条件下，求最佳出手角度，（2）比较结果对初速度和出手角度的灵敏性，（3）若考虑展臂动作，改进上述模型。解：（1）建立坐标系铅球运动方程：解得：令，即，解得，（取正）从而令，得，即 （1）所以最远距离为 （2）（2）即考虑弹性和的绝对值大小（3）设运动员展臂过程中用的力为常数（与无关），则铅球在方向的加速度为，则设展臂过程中铅球运动的距离为，展臂前铅球速度为，则出手速度为 （3）设肩高

2、为，臂长为，肩恰好在场地边界，据（1）则掷远为其中用（1）式计算时，用（3）式，且一般，于是给定，就可讨论和的影响。2考古问题考古、地质等方面的专家常用测定法（称碳定年代法）去估计文物或化石的年代，长沙市马王堆一号墓于1972年8月出土，其间测得出土的木炭标本的的平均原子脱变速度为次/分钟，又已知新砍伐烧成的木炭中的平均原子脱变速度为次/分钟，的半衰期为年，试估计该墓的年代。假定：（1）现代生物体中的脱变速度与马王堆一号墓墓葬时代的生物体中的脱变速度相同；（2）时刻的脱变速度与该时刻的含量成正比；（3）设时刻生物体内的含量为；（4）设生物体死亡时刻为，其的含量为；（5）的半衰期为。建模：据假设

3、知：解得：又因为，所以，所以，从而即由于，所以所以所以将代人上式得即长沙市马王堆一号墓为2000年前的。3 广告效益模型在当今这个信息这会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用。当生产者生产出一批产品后，下一步便去思考如何更快更多地卖出产品。由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中大受经营者的青睐。请建立广告效益模型说明广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果又如何？模型1：独家销售的广告模型假设：（1）商品的销售速度会因广告而增加，当商品在市场趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时销售速度开始下降（2）商品销售速度的变化率是随销售率的增加而减少（自然衰减）,为衰减因子;（3）设为时刻商品

4、的销售速度，,表销售速度的上限；为广告作用随时间增加而自然衰减的衰减因子；为时刻的广告水平（以费用表示），他对的影响系数为建模：由假设（1），当销售到某时刻时，无论怎样做广告，都无法阻止销售速度的下降，故选择的广告策略为其中为常数。在时间内，设用于广告的花费为，则，代入模型并化简：令则有解得：其中为任意常数。结合初始条件得当时，由于，因此模型变为：其解为：结合初始条件：时，得综上可得：模型2：竞争销售的广告模型假设：（1）有两家公司销售同一商品，而市场容量，并假设其中为常数；（2）每一公司销售量的增加是与可获的市场成正比，比例系数为，；（3）设是销售量，可获得的市场，则由假设（2）得将上述两式

5、相除得其中，解得其中为积分常数。所以所以其中。解得从而也得：4 控制体重的模型问题：北京晚报1990年10月9日第6版：“刘寿斌面向未来”一文中说道：“由于赛前减体重过多，体力不济，使他在自己最拿手的抓举比赛中，两次失败，屈居亚军。”那么正确的减重应该怎样？解：用热量平衡方程解决此问题假设：（1）每天的饮食可产生热量为A（千卡）； （2）用于新陈代谢所消耗的热量为B（千卡）；（3）人体活动所消耗的热量为C体重（千卡）；（4）增重或减重的热量主要由脂肪提供，每公斤脂肪转化的热量为D（千卡）；（5）表示时刻的体重（公斤）；（6）表示时刻的体重（公斤）。考虑这段时间内的热量平衡等式所以得体重变化问题

6、的微分方程解得结果分析：理论上增重、减重都可能的。因为所以只需调节好，都能达到自己的理想体重，但需要医生，营养师，生物学家等一起完成；（2）时，导致死亡；（3）（只吃不活动），也会导致死亡；（4）刘寿斌减重的数学问题是明确的，即已知：，要达到的理想值，期限，求的最佳组合，使这要靠医生，营养师，教练和运动员共同完成。二竞赛类模型1 人口增长数学模型 它是动植物的生长基本模型，在其它模型中可直接应用。基本模型(2个)人口模型的研究始于1798年马尔萨斯（Malthus）人口论的出版，书中提出了著名的影响深远的Malthus人口模型，1838年P.F.Verhust对malthus模型进行了修正，得

7、到了logistic模型影响人口增长的因素很多：人口基数，出生率与死亡率的高低，人口男女比例，人口年龄组成，工农业生产水平的高底，营养条件，医疗水平，人口素质，环境污染还涉及到各民族的风俗习惯，传统观念，自然灾害，战争，人口迁移等，对人口增减有很大影响如果一开始把众多因素都考虑，则无从下手先把问题简化，只考虑影响人口增长的主要因素增长率（出生率与死亡率之差）及人口基数其余因素暂不考虑，建立一个较粗略的数学模型在此基础上逐步考虑次要因素，进而建立一个与实际更加吻合的人口模型一Malthus模型英国人口统计学家Malthus（17661834）在担任牧师期间，查看了教堂100多年人口出生的统计资料

8、，他发现这样一个现象，即人口出生率是一个常数于是在1798年人口原理一书中，提出了闻名于世的Malthus人口模型1假设（1）为时刻人口总数，（2）表示人口的年增长率（常数）2建模与求解其解为3分析检验Malthus模型表明：人口以为公比，按几何级数增加与实际情况是否吻合据1961年全世界人口总数为，而在此之前的10年人口按每年2%的速度增长因此于是这个公式非常准确地反映了在17001994年期间世界估计人口总数因为这一期间世界人口大约每隔35年增长一倍，而由上述公式可得每隔34.6年增长一倍再考察Malthus人口模型是否符合未来的实际情况由Malthus模型可推出：2510年世界人口总数将

9、是人，此时人均占地（全世界所有陆地、海洋面积计算在内），到2635年人口总数将为人，此时人均占地显然，这些数字说明Malthus 人口模型对未来预测是不正确的二Logistic模型Malthus模型为什么只符合人口的过去，而不能预测未来的增长规律，其原因是：当人口总数不太大时，人口总数的增长的Malthus模型是正确的，但当人口总数非常大时，地球上的各种资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用将越来越明显如果当人口总数较小时，人口增长率可以看成常数的话，那么当人口增长到一定程度后，这个增长率就要随人口的增加而减少因此应对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设作修改：我们在线性方程的右

10、端加上一项“”（对一般的生物而言，此项称为竞争项），从而重新建立数学模型如下：其中、称为生命系数（Vital Coefficients）这个模型是荷兰数学家费胡斯特（Verhulst）发现的当然（2.4）式中 “” 一项可改为“”，其中为最大容量。一般来说，常数同相比是很小的其解为模型的检验分析当时，。即无论初值如何，人口总数最终将趋近于。当时，所以是时间的单调递增函数。由于，所以当时，曲线是凹的，当时，曲线是凸的，即当时，人口总数是加速增加的，当时，人口总数是减速增加的。2最优捕鱼策略（1996年全国大学生数学建模竞赛试题）为了保护人类赖以身存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发

11、必须适度一种合理、简化的策略是：在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益考虑对某种鱼（鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量之比）为渔业管理部门规定：每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等

12、）固定不变，这时单位时间捕捞量与各年龄组鱼群的条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数，通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼的和4龄鱼，其中两个捕捞强度系数之比为0.42:1渔业上称这种方式为固定努力量捕捞（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞作业5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：（条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高1.模型假设：（1）渔场是非开放式渔场，不与其他

13、水域发生关系，从而构成独立的生态群落；（2）鱼群是一个独立的种群，不存在与其他生物的竞争；或者虽有竞争，其影响只局限在鱼的死亡率内；（3）同一年龄组的个体之间是同质的，只考虑平均水平，不讨论个体差异；（4）各年龄组的鱼经过一年后进入高一级的年龄组，但4龄鱼经过一年后仍视为4 龄鱼；（5）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄性不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差异；（6）鱼的自然死亡可在一年内的任何时刻发生，产卵可在每年后4个月的任何时刻发生，两者在各自的时间段内是均匀分布的；（7） 对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式（即单位时间捕鱼量与该年龄的鱼总量成正比，比例系数为捕捞强度系数），每年的捕捞强

14、度系数保持不变，且捕捞只在前8个月进行为了模型的表达，特作以下符号说明： 时刻龄鱼的数量； 第年初龄鱼的数量； 第年底龄鱼的数量； 每条龄鱼的平均重量，其值向量表为（单位：克）； 自然死亡率，值为0.8（1年）； 4龄鱼的平均产卵量，值为个； 第年度的产卵总量（单位：个）； 对龄鱼的年捕捞量（单位：条）； 对龄鱼的捕捞强度系数，满足； 年总收获量，即为（单位：克）；2.模型的建立与求解基本模型我们首先建立基本模型来对鱼群的变化及每年收获量进行描述因为不捕捞1、2龄鱼，则1、2龄鱼第年的生长变化满足：（）解得，3、4龄鱼第年的生长变化满足：（）解得，其中从而得由假设4知：到年底，第龄鱼全部转化为

15、第龄鱼（），同时由孵化产生1龄鱼，所以其中，为第年度的总产卵量，且此外，我们可求出每年对3、4龄鱼的总捕捞量为其中，（1）（3）式刻画了鱼群各年龄组每年的变化情况，（4）式是每年在捕捞强度系数为（）下的总收获量，它们一起构成了我们的基本模型年度生产最优模型为实现可持续捕获，即要求，并在此前提下获得最大年收获量，由基本模型，即得年度最优模型利用，即等与时间无关，化简得利用mathematica软件求极值得（克）此外，各龄鱼组鱼群数为显然均是关于的函数，解中的任一方程，可得，此表示当捕捞强度系数达到时，将导致种群灭绝，达到新的平衡点即零点，故为为实现可持续捕获，应使另外，由与的图可看出，捕捞量是的

16、函数故我们可知盲目增大捕捞强度并不能增加捕获量3 食者与被食者的数学模型20世纪20年代，意大利生物学家V棣安考纳（Dancona）在研究相互作用的各种鱼类总数变化时，收集了第一次世界大战前后意大利阜姆港收购的食肉鱼（鲨鱼）在各种鱼类总量中所占百分比数据如下表：191419151916191719181919192019211922192311.9%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.9%14.8%10.7%他惊奇地发现了：在战争期间，鲨鱼的百分比急剧增加，如何解释这一现象呢？棣安考纳认为其原因是战争期间捕鱼量大大降低了，所以鲨鱼得到了更多的食物，于是它们迅速地繁

17、殖起来但这种解释还不能令人满意，因为战争期间被食者也因捕鱼量减少而总数增加了为什么在战争期间食者与被食者的比例发生了这么大的变化？为什么捕鱼量的降低对鲨鱼更有利？对于这种现象，棣安考纳不得不去找他的同事著名的意大利数学家V沃特拉（Volterra），希望沃特拉能建立一个食者与被食者的数学模型，从而解释上述现象并对下列问题加以讨论：（1）如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，试建立两种群依存的模型，并讨论平衡点及稳定性。（2）如果两个种群都不能独立生存，共处时可以相互提供食物而生存，试建立两种群共存的模型，并讨论共存的可能性。沃特拉把所有鱼分为两类：食用鱼与食肉鱼（如鲨鱼）并记分别表

18、示食用鱼与食肉鱼的总数量假设：1.只考虑被食用鱼的存在，不考虑食肉鱼的存在，并假定食用鱼本身竞争不激烈，即食用鱼的增长遵循马尔萨斯生物总数增长规律：，常数2.考虑食肉鱼的存在时，食用鱼的增长速度将减缓，减缓速度与食肉鱼及自身数量成正比。3.由与食用鱼的存在，为食肉鱼提供饮食，因而食肉鱼的增长速度将增加，增加速度与食用鱼及自身数量成正比。所以其解为定理1当时，方程表示一组封闭曲线其形状如图，即方程的解都是时间的周期函数证明参见文1定理2设是方程的周期解，其周期为，则的平均值是的平衡解所谓方程组的平衡点就是方程的解当且仅当时，称平衡点是稳定的此时称为方程的平衡解如果以平衡点为中心，用过轴和轴的直线

19、将平面的第一象限分为四个区域，如图所示根据折四个区域内和的符号，即可得到食用鱼和食肉鱼增减变化规律下面考虑捕鱼业对食用鱼和食肉鱼关系的影响：据假设我们修正的微分方程组当时，方程组与方程组完全一样，只是把换成了，换成了因而，方程组中，的平均值为这个结果说明：中等捕鱼量时，实际上会增加食用鱼的数量，减少食肉鱼的数量，反之，如果降低捕鱼量，反而回增加食肉鱼的数量，减少食用鱼的数量这就是沃特拉（Volterra）原理：要减少强者，只需捕获弱者利用沃特拉（Volterra）原理既可解释棣安考纳（Dancona）所提问题，也可解释生活中所碰到的问题。问题（1）模型：，平衡点及稳定性如下：平衡点稳定条件不稳

20、定不稳定不稳定时稳定由此可知：时稳定，两种种群分别趋近非零的有限值，否则趋向无穷。问题（2）模型：平衡点及稳定性如下：平衡点稳定条件稳定不稳定由此可知：点稳定，即两种种群均终将灭亡。4 SARS的传播模型2003年全国数学建模竞赛A题SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学

21、模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。附件1：SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003在病例数比较多的

22、地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。1 模型与参数 假定初始时刻的病例数为，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的

23、作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。参数K和L具有比较明显的实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。该参数放在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这

24、个值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备，此时K值比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则K值需要做更多的调整。2 计算结果 2.1 对

25、香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期，由于诊断标准等不确切，在3月17日之前，没有找到严格公布的数据。我们以报道的2月15日作为发现第一例病人的起点，2月27日从报道推断为7例。3月17日后则都是正式公布的数据。累积病例数在图1中用三角形表示。我们然后用上述方法计算。4月1日前后（从起点起45天左右）是疫情高峰时期，在此之前我们取K=0.16204。此后的10天，根据数据的变化将K逐步调到0.0273，然后保持2.2 对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日，到今年2月下旬达到高峰，经过了约100天。在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。总体上看，

26、广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广东的爆发和高峰都不强烈。但广东的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例，而同样过程香港只用了约40天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。比较好的拟合结果是，在高峰期之前（t 101天），K=0.0892；2.3 对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913。这个值比香港的0.16204来得低，说明北京初期的爆发程度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近60天，而香港是

27、45天，这就造成了累积病例数大大超过香港。从图2图1 对香港疫情的拟合图2 对北京疫情的分析图3是计算的日增病例数。后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得的。这就是说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话，就可以在高峰期后的40天（从起点起100天）左右，即6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢，需要有关方面作具体分析。图3北京日增病例走势分析3 结论 每个病人可以造成直接感染他人的期限平均

28、在20天左右，这个值在不同地区和不同疫情阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆发情况比广东和北京都剧烈，但控制效果明显比较好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，则有望在6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。而累积总病例数将达到3100多。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。附件2：北京市疫情的数据( 据： HYPERLINK /Resource/Detail.asp?ResourceID=66070 /R

29、esource/Detail.asp?ResourceID=66070 )日 期已确诊病例累计现有疑似病例死亡累计治愈出院累计4月20日33940218334月21日48261025434月22日58866628464月23日69378235554月24日77486339644月25日87795442734月26日988109348764月27日1114125556784月28日1199127559 784月29日1347135866834月30日1440140875905月01日15531415821005月02日16361468911095月03日17411493961155月04日180

30、315371001185月05日189715101031215月06日196015231071345月07日204915141101415月08日213614861121525月09日217714251141685月10日222713971161755月11日226514111201865月12日230413781292085月13日234713381342445月14日237013081392525月15日238813171402575月16日240512651412735月17日242012501453075月18日243412501473325月19日243712491503495月20

31、日244412251543955月21日244412211564475月22日245612051585285月23日246511791605825月24日249011341636675月25日249911051677045月26日250410691687475月27日251210051728285月28日25149411758665月29日25178031769285月30日252076017710065月31日252174718110876月01日252273918111246月02日252273418111576月03日252272418111896月04日252271818112636月

32、05日252271618113216月06日252271318314036月07日252366818314466月08日252255018415436月09日252245118416536月10日252235118617476月11日252325718618216月12日252315518718766月13日25227118719446月14日2522418919946月15日2522318920156月16日2521319020536月17日2521519021206月18日2521419121546月19日2521319121716月20日2521319121896月21日25212191

33、22316月22日2521219122576月23日252121912277附件3：北京市接待海外旅游人数（单位：万人）年1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16

34、.511.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.511.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.713.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.915.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2一 问题分析与假设在一般的传染病传播过程中，一个地区人口总数可以近似看作常量（传染病传播时间短），但是本文不用人口总数，用不同的人群数变化进行建模，有初始人群总数便可

35、再次，人群均匀分布，个体没有差异；原发病人与他所传染的病人人数相比数量非常小，因此可以假定病人是由病毒源传染而得病又由于人体自身健康状况不定，病人的潜伏期各有不同，但传染病病毒的潜伏期已经具有传染能力，故可以认为潜伏期内的人群算做单独的一类人群另外，病人一旦被证实，如有传染病特征即使是疑似（发热咳嗽等），立即隔离；或者使其传染他人的能力消失，以保证其重新回到传染系统中的易感人群根据一般传染病的特点，绝大部分传染病模型是将人群分为三类：病人、健康人与病愈免疫或死亡者由于各种传染病的传染强度不同，预防和控制的方法手段也有不同现把人口分为五类人群：易感人群（普通健康人）、疑似人群（具有传染病症状的人

36、）、患病人群、潜伏人群（本身是患病，但是并未确诊为病例，也未确诊为疑似患者）、退出人群（病愈免疫或死亡者）它们的关系如下：为了建立数学模型的方便，假设各类人群在单位时间内的数量变化均具有线性性质现引入一些符号：易感人群S疑似人群Q患病人群I潜伏人群E易感人群S疑似人群Q患病人群I潜伏人群E退出人群RI(Infectious):患病人群R(Recovered):退出人群; Q(Quarantine):疑似人群（隔离仓室）;E(Exposed):潜伏人群；a: 单位时间内患病人群的退出比例；b: 单位时间内易感人群的病毒携带率;c: 单位时间内易感人群被确诊为疑似病例占普通人的比例；d: 单位时间

37、内疑似病例被确诊为普通人的转化率；e: 单位时间内疑似病例被确诊为病人的比例；t: 表示时间，以天为单位二 传染病模型的建立根据各类人群的关系和模型假设可建立以下微分方程组：初值为要解方程组，关键是确定方程组中的参数（传染病阶段不同，参数也不同）三 SARS传播模型传染病的传播带有一定的随机性，则假设模型的参数是随机变量，本章我们结合2003年SARS传播数据（北京），计算出参数每天对应的值，利用概率分布对参数进行估计，最后确定参数的值，从而得到SARS传染病传播数学模型的具体形式3.1 实际数据的散点图图3-1是根据中华人民共和国卫生部2003年公布的北京市疫情数据（自4月22号起）绘制的散

38、点图，可以对各类实际数据的公布有个直观的了解图3-1 疫情数据（自4月22号起）绘制的散点图3.2 实际数据总体分析在SARS爆发初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度认识不够，使得早期的传播感染很快，一般满足形如的指数分布规律.早期传播中，平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天，则L可理解为平均每个病人在被发现前后可造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关只有医疗机构能有效缩短这个参数，为了简单我们把L固定在20天这个数字上6在图2-1中“实际数据图”可以看

39、出：现有患病人数（即当日病人数）在时间t=20至t=30之间达到高峰，所以利用L=20作为一个阶段进行分析于是SARS传播过程分为以下三个阶段：第一阶段（上升阶段）：t=0至t=20此段时间病情基本没有人为因素干预，属于快速上升阶段第二阶段（意识阶段）：t=20至t=40此段时间人们逐渐意识到此病的危害性和严重性，开始自觉自发的防护，政府制定到应对措施已经颁布，正在层层落实过程中，疫情有所控制和缓冲第三阶段（下落阶段）：t=40至t=65疫情在政府严格有效的控制和人们的自觉防范过程中，SARS的传播得到有效控制，疫情处于稳定而略有起伏的衰退阶段3.3 模型参数的确定和求解根据我们所搜集的统计数

40、据，以北京的数据来说明模型中参数的确定与分析方法a为单位时间内退出者（死亡与病愈）占患病人群的比例，其计算公式：根据公式与北京市疫情中心对每日疫情的公布数据，我们计算出每天对应的a值，用Excel画出曲线分布图，如图3-2所示图3-2 我们在实际预测的计算中，不可能每日调整a值，这就需要根据疫情在每个阶段时间内的传播情况，确定a的大致取值由图3-2中利用概率分布统计可知：第一阶段a值主要分布在0.0050.012之间，可以大致取0.008为a的值；第二阶段a值主要分布在0.020.035之间，可以大致取0.03为a的值；第三阶段a值主要分布在0.0150.03之间，可以大致取0.025为a的值

41、.b为单位时间内易感人群的病毒携带率，其计算公式：根据公式与北京市疫情中心对每日疫情的公布数据，我们计算出每天对应的b值，也用Excel画出曲线分布图，如图3-3所示图3-3 b值曲线在实际预测的计算中，同样不可能每日调整b值，这就需要根据疫情在每个阶段时间内的传播情况，确定b的大致取值由图3-3中利用概率分布统计可知：第一阶段b值主要分布在0.00000020.0000018之间，可以大致取b=0.000001；第二阶段b值主要分布在0.00000350.0000075之间，可以大致取b=0.000005；第三阶段b值主要分布在0.00000350.0000065之间，可以大致取b=0.00

42、00045；c为单位时间内健康老百姓被确诊为疑似病例的比例根据公式与北京市疫情中心对每日疫情的公布数据，我们计算出每天对应的c值，如图3-4所示图3-4 c同理，由图3-4中利用概率分布统计可知：第一阶段c值主要分布在0.0000090.000013之间，可以大致取0.000011为c的值；第二阶段c值主要分布在0.00000150.000004之间，可以大致取0.000004为c的值；第三阶段c值主要分布在0.00000010.0000005之间，可以大致取0.0000003为c的值；d为单位时间内疑似病例被确诊为普通人的转化率，其计算公式：根据公式与北京市疫情中心对每日疫情的公布数据，我们

43、计算出每天对应的d值，如图3-5所示图3-5 d值曲线同理由图3-5中利用概率分布统计可知：第一阶段d值可以大致取0.02为值；第二阶段d值可以大致取0.05为值；图3-6e值曲线第三阶段d值可以大致取0.45为值；e为疑似病例被确诊为病人的比例，其计算公式：同样，根据公布数据画出每日e的变化，如图3-6图3-6 e值曲线由图3-6利用概率分布统计可知：第一阶段e值主要分布在0.020.06之间，可以大致取0.04为e的值；第二阶段e值主要分布在0.010.03之间，可以大致取0.02为e的值；第三阶段可以大致取0.005为e的值；3.4 SARS传播模型具体形式我们可以求得模型为：其中，且参

44、数如下表：四 模型的结果分析4.1 SARS传播模型的结果分析用所建立的模型和北京的实际数据，我们分析得到i(t)、r(t)的变化图4-1 i(t)的变化曲线趋势如图4-1、图4-2，其中点表示实际数据，实线表示模型计算结果(源程序附文后)图4-2 r(t)的变化曲线从图中可以看出：（1）预测结果和实际结果吻合很好，同时因为建模时考虑的因素较多，当然反映的情况就更全面，具有更强的理论指导意义（2）由于模型描述的SARS传播的中、后期行为，故理论结果的中、后期情况与实际情况吻合程度也很高（3）由图形中还发现，病人数量早期增加很快，究其原因可能是早期人们对病毒认识不足，没有进行控制和其他管理，导致

45、病毒在早期传播快相反，经过一段时间后，政府和卫生部门采取了有效的控制措施，同时注重医疗卫生水平的提高，导致总的病人数增加速度放慢，故从曲线上反映趋于平坦（4）由于模型没有总体解析表达式，因此在求值时可操作性差些，但模型的预见性更强，更能反映SARS传播的全过程（5）模型结果反映出如果继续保持现在的医疗卫生水平和管理水平，北京乃至全国都不会再爆发大规模的SARS流行情况4.2 模型优缺点分析模型根据现有的数据资料设置变量，各变量之间关系明确，且各个参数可比较方便地得到，再利用曲线拟合使得分析更加具有说服力.模型的重点在于分析规律和进行预测.因为已知数据受很多随机因素的影响，规律性受到干扰，所以其

46、变化情况不能较好地表达总体的规律性，进而不能对疫情进行较准确的预测，我们只能对已有数据进行统计平均.从总体的平均规律入手，没有局限于仅对现有数据的模拟，而得到的曲线只较好的代表现有数据的总体变化规律.微分方程模型在控制状态后的过渡期和稳定期两个阶段，只改变其中不相关参数和初值，即可得到较好的模拟和合理的预测.当然模型也有缺点：模型忽略了人口流动和交通工具传播的影响.模型各参数对现有数据进行统筹分析，这在医疗水平和防护力度不变的假设下能较好地代表SARS的传播和控制规律；但实际情况必会随着时间推移有较大的变化.针对此问题我们知道，退出率a的物理意义的获取方式有一定的误差.随着病人人数的减少，a必

47、有特定的变化趋势，且我们的统筹分析并不是非常到位.微分方程对SARS传播会因数值解的不确定性，只能对不太长的阶段进行预测（不超过500天），而预测时间较长则会出现曲线抖动情况.4.3 模型的改进我们先看病人数（）的变化情况，观察图4-3，我们发现第三阶段的病人数很少，而我们求出来的a值却明显很大.微分方程组中的，其中参数a此时再用一个小的常数代替显然不符合实际情况.解决方法：在此阶段只有把a看成时间的函数，设 （1）图4-3病人数（）的变化情况其中为特定常数，则方程（1）变为： （2）由于方程（1）在第三阶段（即t=40以后）的前部分有较好拟合性，所以我们可以假设在时有即：（a在第三阶段取0.

48、025）.于是我们可以令：从而有.当后，只有通过多次的计算来拟合曲线才能得到参数，这里就不细解了.4.4 模型的几个注记4.4.1 关于图4-1中的虚线问题在实际疫情期间为了防止病毒源的广泛传播，国家采取了“早发现，早隔离”的办法对疑似患者进行隔离的治疗观察，所以在疑似人群向易感人群的转化过程中用虚线标出，可以不存在4.4.2 模型相关分析1 医院感染现象我们所建模型都是假设在医院防护措施得当、预防意识强且同一般传播过程进行分析.事实上，非典后期医护人员的感染率大幅度下降，究其原因是前期医院人员本身问题，不会影响SARS传播的一般规律.为了更好预测医院感染情况，我们查阅资料后知道：医院是感染S

49、ARS的高发区， （1）其中为特定常数，则方程（1）变为： （2）由于方程（1）在第三阶段（即t=40以后）的前部分有较好拟合性，所以我们可以假设在时有即：（a在第三阶段取0.025）.于是我们可以令：从而有.当后，只有通过多次的计算来拟合曲线才能得到参数，这里就不细解了.4.4 模型的几个注记4.4.1 在实际疫情期间为了防止病毒源的广泛传播，国家采取了“早发现，早隔离”的办法对疑似患者进行隔离的治疗观察，所以在疑似人群向易感人群的转化过程中用虚线标出，可以不存在4.4.21 医院感染现象我们所建模型都是假设在医院防护措施得当、预防意识强且同一般传播过程进行分析.事实上，非典后期医护人员的感

50、染率大幅度下降，究其原因是前期医院人员本身问题，不会影响SARS传播的一般规律.为了更好预测医院感染情况，我们查阅资料后知道：医院是感染SARS的高发区，一旦和SARS患者接触或者一起生活过，如果防范意识不强，隔离措施不到位，则SARS病毒就会乘机而入.我们可以认为医护人员被感染的概率明显比普通人高，通过数据可得到传染概率是普通大众场所的倍数关系.于是分析医院的发展趋势时按倍数考虑就可完成相关的转换.2基本传染数R的分析基本传染数即单个人平均传染健康人的个数.如果不加控制，SARS很可能成为一个在世界范围流行的传染病；但是通过良好的基本公共卫生措施的干预，SARS并没有严重到不可控制的程度.科学家常用“基本传染数”（Basic Reproduction Number,用R表示）评估一种传染病的传播潜力.例如，当R=2时，就意味着平均一个传染病人能够传染2个健康人.然而我们知道SARS的传染性会加入人为因素的影响，在SARS爆发之初，基本传染数大约是2.7，但随着SARS病人与